Appunti di Analisi e Geometria 1 - Lezione

Name: Appunti di Analisi e Geometria 1 - Lezione
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Revisionato il 17/04/2026

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Appunti dalle lezioni del corso di analisi e geometria 1 sui seguenti argomenti:Numeri reali e complessi. Funzioni reali di una variabile reale. Funzioni elementari. Successioni e limiti. …

Esame Analisi e geometria I

Facoltà Ingegneria industriale

Dal corso del Prof. Visigalli Clementino

Università Politecnico di Milano

A.A. 2015-2016

141 pagine

Appunto

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Estratto del documento

Analisi e geometria 1

Numeri interi positivi

N = {0, 1, 2, 3}

Principio di induzione

P(1): 3 è dispari V

P(2): 6 è dispari F

Supponiamo che:

P(k) sia vero
Se P(m) è vero allora è vero P(m+1)

Allora P(n) è vero per ogni n ∈ N

Metodo

(1): 1 = 1 V

∑_i=1^M(2i-1) = M²

P(m+1)

Suppongo P(m) vero, deve dim. P(m+1)

∑_i=1^m(2i-1) = ∑_i=1^M(2i-1) + 2m + 1 = m² + 2m + 1 = (m+1)²

Analisi e geometria 1

Numeri interi positivi

N = {0, 1, 2, 3, ...}

Principio di induzione

P(m): 3m è dispari

P(1): 3 è dispari ✓

P(2): 6 è dispari ✗

Supponiamo che:

P(k) sia vero
Se P(m) è vero allora è vero P(m+1)

Allora P(n) è vero per ogni n ∈ N naturale.

La somma dei primi m numeri dispari è un quadrato perfetto

P(m):

∑(2i-1) = m²

P(1): 1 = 1 ✓

Suppongo P(m) vero, devo dim P(m+1)

∑(2i-1) = ∑(2i-1) + 2m + 1 = m² + 2m + 1 = (m+1)²

P(n)

1 + 2 + 3 + ... + n = (n(n+1))/2 = ∑_i=1ⁿ i

P(2) = 1 + 2 = 2(2+1)/2 = 3

P(m+1): ∑_i=1^m+1 i = ∑_i=1^m i + (m+1) = (m(m+1))/2 + (m+1) = ((m+1)((m+2))/2

P(m+1) = ((m+1)((m+2))/2

Relazioni tra insiemi

N ⊂ Z ⊂ Q ⊂ R ⊂ C

Q: denso ⇒ dati 2 numeri a e b ∈ Q, esiste c ∈ Q compreso tra a e b, dunque appartenente a Q

a, b ∈ Q a ≤ ((a+b)/2) ≤ b

√2 non è una frazione: √2 ∉ Q

Supponiamo che √2 ∈ Q quindi che √2 = p/q con p primo fra loro. Allora √2 = 1/2, cioè m₂ = 2n₂. A sinistra compare un numero pari di volte nella scomposizione in fattori primi di un numero, a destra compare un numero pari di volte, il che è impossibile per il teorema fondamentale dell'aritmetica.

Definizioni di numeri reali

Def: un n^ro reale è un allineamento di cifre decimali.

Proprietà degli intervalli in ℝ

[a,b] = {x ∈ ℝ / a ≤ x ≤ b} CHIUSO E LIMITATO
(a,b] = {x ∈ ℝ / a < x ≤ b} APERTO E LIMITATO
[a,b) = {x ∈ ℝ / a ≤ x < b} APERTO SX CHIUSO DX
(a,b) = {x ∈ ℝ / a < x < b} CHIUSO SX APERTO DX
[a,+∞) = {x ∈ ℝ / x ≥ a} CHIUSO E ILLIMITATO SUPERIORE
(a,+∞) = {x ∈ ℝ / x > a} APERTO
(-∞,b] = {x ∈ ℝ / x ≤ b} CHIUSO E ILLIMITATO INFERIORE
(-∞,b) = {x ∈ ℝ / x < b} APERTO

Intorni

Punto = n^ro reale

Intorno di un punto = intervallo aperto che contiene il punto

Intorno destro = ogni intervallo aperto che ha il punto stabilito come estremo sinistro (o inferiore)

Intorno sinistro = ogni intervallo aperto che ha il punto stabilito come estremo destro (o superiore)

Punto interno = dato un insieme A ⊆ ℝ, il numero x₀ ∈ A si dice punto interno di A se &exists; un intorno di x₀ contenuto in A

Es: x₀=1 (1,5) Intorno sinistro

Es: x₀=0 (0,1)

Altre definizioni

Def. un n^o reale: un allineamento di cifre decimali

Proprietà di ℝ

Punti di una retta

Intervalli

[a,b] = { x ∈ ℝ / a ≤ x ≤ b } CHIUSO E LIMITATO
(a,b) = { x ∈ ℝ / a < x < b } APERTO E LIMITATO
(a,b] = { x ∈ ℝ / a < x ≤ b } APERTO SX CHIUSO DX
[a,b) = { x ∈ ℝ / a ≤ x < b } CHIUSO SX APERTO DX
[a,+∞) = { x ∈ ℝ / x ≥ a } CHIUSO E ILLIMITATO SUPERIORE
(a,+∞) = { x ∈ ℝ / x > a } APERTO
(-∞,b] = { x ∈ ℝ / x ≤ b } CHIUSO E ILLIMITATO INFERIORE
(-∞,b) = { x ∈ ℝ / x < b } APERTO

Intorni

Punto: n^o reale

Intorno di un punto: intervallo aperto che contiene il punto

Intorno destro: ogni intervallo aperto che ha il punto stabilito come estremo sinistro (o inferiore)

Intorno sinistro: ogni intervallo aperto che ha il punto stabilito come estremo destro (o superiore)

Punto interno: dato un insieme A ∈ ℝ, il numero X_o ∈ A si dice punto interno di A se &exists; un intorno di X_o contenuto in A

Es: X_o=1 (1,5) A ⊂ ℝ

Maggiorante e minorante di un insieme

Maggiorante di un insieme: ogni numero K ∈ ℝ che sia maggiore o uguale di ogni elemento di A

K ≥ x ∀ x ∈ A

Minorante: ogni numero K ∈ ℝ che sia minore o uguale di ogni elemento di A

K ≤ x ∀ x ∈ A

Gli insiemi A ⊂ ℝ che non possiedono maggiorante si dicono illimitati superiormente.

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