Scarica il documento per vederlo tutto.
Scarica il documento per vederlo tutto.
Scarica il documento per vederlo tutto.
Scarica il documento per vederlo tutto.
Scarica il documento per vederlo tutto.
Scarica il documento per vederlo tutto.
Scarica il documento per vederlo tutto.
Scarica il documento per vederlo tutto.
Scarica il documento per vederlo tutto.
Scarica il documento per vederlo tutto.
Scarica il documento per vederlo tutto.
Scarica il documento per vederlo tutto.
Scarica il documento per vederlo tutto.
Scarica il documento per vederlo tutto.
Scarica il documento per vederlo tutto.
Scarica il documento per vederlo tutto.
Scarica il documento per vederlo tutto.
Scarica il documento per vederlo tutto.
Scarica il documento per vederlo tutto.
Scarica il documento per vederlo tutto.
Scarica il documento per vederlo tutto.
Scarica il documento per vederlo tutto.
Scarica il documento per vederlo tutto.
Scarica il documento per vederlo tutto.
Scarica il documento per vederlo tutto.
Scarica il documento per vederlo tutto.
Scarica il documento per vederlo tutto.
Scarica il documento per vederlo tutto.
vuoi
o PayPal
tutte le volte che vuoi
IN = Numeri interi positivi
N = {0, 1, 2, 3, ...}
Principio di induzione:
- P(1): 3 è dispari V
- P(2): 6 è dispari F
Supposizione che:
- P(i) sia vera
- Se P(m) è vero allora è vero P(m+1)
Allora P(m) è vero per ogni m naturale.
La somma dei primi n numeri dispari è un quadrato perfetto.
P(m): i=1m Σ(2i+1) = m2
P(1): i=1 V
Suppongo P(m) vero, dim. P(m+1)
i=1m Σ(2i+1) = i=1m Σ(2i+1) + 2m + 1 = m2 + 2m + 1 = (m+1)2
P(m) = 1+2+3+...+m = m(m+1)/2 = ∑i=1m i
P(2) = 1+2 = 2(2+1)/2 = 3
P(m+1) = ∑i=1m+1 i = ∑i=1m i + (m+1) = m(m+1)/2 + (m+1) = (m+1)(m+2)/2
P(m+1) = (m+1)(m+2)/2
N ⊆ Z ⊆ Q ⊆ R ⊆ C
Q è denso → dati 2 numeri a < b ∈ Q, ∃ c compreso tra a e b
ancora appartenente a Q
a, b ∈ Q
a < c = (a+b)/2 < b
√2 non è una frazione
√2 ∈ C \ Q
l+1 per assurdo
Supponiamo che √2 ∈ Q, quindi che √2 = m/n ed m primo
fra loro. Allora m/n = 2, cioè m2 = 2n2.
A sinistra un numero
a comparire un numero pari di volte nella scomposizione in fattori primi,
destro è dispari a comparire un numero pari di volte il che
è impossibile per il teorema fondamentale dell'aritmetica
Sottoinsieme A∈R con un maggiorante ⇒ limitato superiormente
A munerato →
Teorema fondamentale di R
Ogni sottoinsieme di R limitato superiormente ha un estremo superiore (completezza)
Def: Dato un insieme A∈R inferiormente limitato, L è estremo inferiore di A s e:
- L è minorante
- ∀ ε>0 ∃ un num x ∈ A / x0 e 1
x = 1 + 1/M
∀ ε>0 ∃ x ∈ A / x = 1 + ε
min 1
τ ∉ ω3 √3 / M+1 > i + 3
1 / 2M - ε
M > 1 / ε
(ℝ, C)
1 → ℚ = (ℚ, 0)
(0; 1), (0; 1) → (0·0 -1·1; 0·1 + 1·0) → (-1, 0)
Z = 2̅ • 2̅ =
Num immaginario complesso
Z = (a; b)
a = parte reale di z (Re(z)) b = parte immaginaria di z (Im(z))
(a; b) - 1 = uniti immaginari (i)
i2 = -1
(a; b), - (z̅; q̅) + (a; b) = z̅ + (0; i), i = b
a = 1 % 5
Forma algebrica
(3 + 7i) + (5 - 3i) = (3 + 5) + (7 - 3) i = 8 + 4i;
(z̅t̅) + (5 - 4i) = 10 + 8i - 5i + i = 6 + 13i;
Assiomi e proprietà di campo
Un insieme k dotato di due operazioni, l'addizione e moltiplicazione, si dice CAMPO se valgono le seguenti proprietà:
- a, b, c ∈ k a + (b + c) = (a + b) + c Associativa (addizione)
- (ab)c = a(bc) Associativa (moltiplicazione)
- a, b ∈ k a + b = b + aa · b = b · a Commutativa
- a ∈ k a + 0 = a 0 · a = 0a · 1 = a 1 · a = a Elemento neutro
Significato di |z-w|, z, w ∈ &Complexe;
|z-w| = distanza fra i punti che rappresentano z e w
z = a+ib → (a;b)
w = c+id → (c;d)
z-w = (a-c) + (b-d) → (a-c;b-d)
|z-w| = √( (a-c)2 + (b-d)2 ) = distanza tra due punti
- A = { z ∈ &Complexe; / |z-iw| < |z-i| }
- B = { z ∈ &Complexe; / |z-i| = |z+2| }
FUNZIONI
Dato due insiemi A e B, si dice funzione di A in B ogni relazione che associa ad ogni elemento x di A uno e un solo elemento di B.
- A - dominio B insieme di arrivo
- x ∈ A
- f(x) ∈ B (immagine di x)
- y ∈ B
Data una funzione f: A → B, si dice insieme delle controimmagini di y ∈ B, l'insieme delle x ∈ A (f(x) = y).
Data una funzione f: A → B, si dice codominio B' l'insieme delle immagini di tutti gli elementi di A.
SUCCESSIONI
Si dice successione ogni funzione definita in N a valori in R.
- a: N → R
- 2, 4, 8, 16, 32
- 1, 2, 4
- 1/2, 1/4
- 2/3, 4/3
- 2/3, 16
Espressione analitica an = 2n
Il dominio di una successione può anche essere un qualsiasi insieme numerabile.
Una successione a: N → R è superiormente limitata se c'è il suo codominio che vale anche per funzioni f: D → R.
Algebra
Calcolo dei Limiti
Se a = b e c = d e lim allora
- a + b = c + d
- a - b = c - d
- a / m = l a m ≠ 0
- (a)k = (l)k a > 0 l > 0
Es: a = b = 1. a + b = 2 => 2 = 2
+5 = +∞
Se a = b e c = +∞ allora a + b = +∞
a / 0 = 0
a / a (-∞) = a / a = 0
(+∞) / (a) = +∞ l > 0
(+∞) * 0 = 0
(+∞) (-∞) = a * 0 = 0
(+∞) = +∞
(+∞) = a * 0 = 0
(+∞) / (a) = +∞
Forme Indeterminate:
0 / 0, [∞ / ∞], [∞ - ∞], [∞ * 0]
lim n a n log (1 + 1 + n) = a n log (1 + 1 + 1) = 1
lim an = 3M Mn Mn = 3M
lim 3M log (1 + 1 + 1) 3M = 3M (11 - 11) = 3M
FUNZIONI
FUNZIONE INIETTIVA
Una funzione da A in B si dice INIETTIVA se, a coppie di elementi distinti di A, associa elementi distinti.
- x1, x2 ∈ A, x1 ≠ x2
- f(x1) ≠ f(x2)
F: (0; +∞) → R x = f(x) = log x
FUNZIONE INIETTIVA
Se trovo una retta orizzontale che interseca il grafico più di una volta la funzione non è iniettiva
f: R→R x→f(x) = sh x
y = ex - e-x2
ct2 = t
zinz univoco y + √y2+1
y = log (x + √x2+1)
Proprietà delle funzioni continue su intervallo chiuso e limitato
-
Teorema di Weierstrass: Che funzione f: [a, b] → R continua su [a, b] possiede max e min assoluti.
Teorema degli Zeri:
-
Hp: 1) f continua in [a, b] 2) f(a)·f(b) ≤ 0
Dimi: Siano f(a)
Teorema di Darboux: Se f: [a, b] → R è una funzione continua in [a, b], allora esso assume tutti i valori compresi tra i suoi due estremi locali, dato un numero λ ∈ [inf, sup] mostrato sopra.
Dimi: Considero la funzione F: [a, b] → R; F(x) = λ. F(x) = λ
Pendenza media del grafico di una funzione
Pendenza media = ∆y/∆x
f(x1) = f(x0 + h)
Pendenza media = [f(x0 + h) - f(x0)]/h
Φ(h) = [f(x0 + h) - f(x0)]/h
- Il significato geometrico del rapporto incrementale è la pendenza, o il coefficiente angolare della retta secante.
- Una funzione si dice derivabile in x0 punto interno al dominio se esiste finito lim h→0 [(f(x0 + h) - f(x0)]/h. Tale limite prende il nome di derivata di f in x0.
Interpretazione geometrica: La derivata di una f in un punto x0 è la pendenza della retta tangente al grafico di f in x0.
f'(x0) = df/dx⃗x0
Notazione Leibniz
Funzione segno di x
∘ |x| = { 1 per x ≥ 0 -1 per x < 0 }
∘ (sgn x) ∘ (log |x|)’ = { 1 se x > 0 -1 se x < 0 } ∘ (log |x|)’ = = { (log x)’ + + (log(-x))’ - 1 - 1
∘ (log |x|)’ = - 1/x
∘ (ekx)’ = k·ekx
∘ (stx)’ = ctx
∘ (ctx)’ = stx
Derivate di funzioni inverse
Se f: D → R e una funzione invertibile e derivabile in xo e punto inverso con f’(x)o ≠ 0, allora la f-1 inversa f-1 è derivabile in f’(xo)
(f -1)’(yo) 1 f’(xo) Δy y = mx +q m = -Δy/Δx tgα = f ’(xo)
Accedi a tutti gli appunti
Tutor AI: studia meglio e in meno tempo
