Successioni - Appunti di Analisi 1

SUCCESSIONE

capitolo 3

una successione di numeri reali è una funzione a: N → ℝ.

la notazione della funzione è a_n.

Esempio a_n = 2n - 3

a₀ = -3

a₁ = -1

a₂ = 1

a₃ = 3

tutti i termini possono essere graficati.

il grafico è un insieme discreto di punti.

una successione è:

• LIMITATA INF se esiste un m, tale che a_n ≥ m ∀ n ∈ N
• LIMITATA SUP se ∃ M t.c. a_n ≤ M ∀ n ∈ N
• LIMITATA se ∃ m, M t.c. m ≤ a_n ≤ M ∀ n ∈ N

la successione 1/(n+4) ai primi termini 1, 1/5, 1/6, 1/7 è limitata: sia infatti 0 ≤ a_n ≤ 1

DEF

si dice che una successione a_n possiede definitivamente una certa proprietà se esiste un N ∈ N

t.c. si soddisfa quella proprietà per ogni n ≥ N

ovvero

che i termini a quella successione godano di quella proprietà da un certo termine in avanti

ES: 2n - 3

→ -3, 1, 2, 3, 3, 3, 6 definitivamente positiva perché da a₂ in avanti è positiva

CONVERGENZA

o

DIVERGENZA

calcolo del limite di una successione (che si indica con lim a_n o lim a_n)

È equivalente a chiedere che tipo di comportamento ha la successione quando n tende a diventare

molto grande

1) se, fissato un qualunque numero Hεℝ (anche enorme), 4.3 le definizione un succo

∀ H Є R, ∃ n ≤ t.c. ∀ n > n t

DIVERGE a ±∞ e si scrive lim con n _{n ∞ o an ≠ ± ∞}

ESEMPIO

da successione (prima o poi i termini della successione si avvicinano a o

non) DIVERGE a +∞

Se fissato un qualunque numero H ∈ ℝ (anche molto negativo) an < H definitivamente

I simboli ∀H ∈ ℝ, ∃ no n₀, ∀n > n₀ an < H

DIVERGE A -∞ O si scrive lim n→+∞ an = -∞

ESEMPIO {n³} DIVERGE A -∞

2. Convergenza →

Se esiste un numero reale ℓ ∈ ℝ e vale questa proprietà: fissato un qualunque numero reale ε > 0 (anche "piccolissimo") |an - ℓ| < ε

Si dice che la successione converge

E lim n→+∞ an = ℓ oppure an→ℓ

ESEMPIO lim n→+∞ 1/n+1 = 0

Se l=0 la successione è infinitesima

3. Se non si verifica nessuno dei casi precedenti lim n→+∞ an ≇ succ ε indeterminata o irregolare

continua a saltare tra -1 e 1 anche quando n è molto grande

ⁿ² n²1

_{lim nn→∞} 2n² + 1  2n²  2n(1 + ₁) 

  2n² + 1  n²   2n

n²

_lim  1    1_lim 1

n→∞

n³n0   

_n→∞

(3n³2n + 4)     (+∞ -∞) 

_{lim n→∞} 3n³  (1 - _2ⁿ + _4ⁿ³) = +∞

GERARCHIA DEGLI  INFINITI

  (log_an)^α<<a_n^<<n^γ_a              n ^{nβ_{logδa   an → β δ}}

         con  a > 1

as 1  as 1^siccomea       n²_(n³               (n^{sup3/2) = ³<<10}

Esempio

_{lim^n→∞ (}n³ - n²  &sub - ep)  

_{n^{n -1> → -∞}}

  log₀a^{n∞        an → β δ}

Teorema di Permanenza dei Segni I

Sia {a_n} una succ. di numeri reali t.c. a_n ≥ 0 (≤ 0) ∀n∈ℕ. Supponiamo che a_n ∈ ℝ.Allora a_n ≤ 0 (≥ 0)

Teorema II

Sia {a_n} una succ. assegnata t.c. a_n → ℓ ∈ ℝ. Supponiamo ℓ ≠ 0 Allora a_n ≠ 0 (≠ 0) definitivamente

Teorema Confronto

Sia {a_n} e {b_n} due succ. assegnate t.c. a_n ≤ b_n definitivi.

Allora

1. Se a_n → +∞ ⇒ b_n → +∞
2. Se b_n → -∞ ⇒ b_n → -∞