Studio funzione 6 settembre 17 prova A

Analisi matematica 1 - Prova scritta 06/09/12

Studio di funzione f(x) = (x+1) * sqrt(x) / x

1. Insieme di definizione

   D(f) = {x ∈ ℝ / x ≥ 0, y = -1 < x ≤ 1}

2. Studio di parità e disparità

   La funzione non è né pari né dispari poiché il dominio non è simmetrico.

3. Intersezione con gli assi

   Intersezione con l'asse x

   f(x) = 0 ↔ x sqrt(x) = 0

   (x+1) x sqrt(x) = 0 → x = 0

   x = 0

   Intersezione con asse y (μ=0: (0,0))

4. Studio del segno

   {f(x) > 0 x ∈ D(f)}

   0 ≤ x ≤ 1, y < -1

5. Studio della derivata prima

   f'(x) = d/dx (x sqrt(x+1)) (x+1) → -x² - 3x + 1

   2 sqrt(x(x+1))

6. Studio dei punti critici

   di f(x) = x sqrt(x+1)

   D(f) = {x ∈ ℝ / x ≤ -1 , y = x ≤ 1}

   Alcuni punti interni al dominio sono:

   B(y) = {x ∈ ℝ / x > , y = -1x x }

   Studiamo (x) - x sqrt(x) (x+1) per x x, x

Analisi matematica I - Prova scritta 06/09/13

Studio di funzione f(x) = (x+1) / x√(1-x)

1. Insieme di definizione

   D(f) = {x ∈ ℝ / x≠0, y = -1}

2. Studio di parità e disparità

   La funzione non è né pari né dispari perché il dominio non è simmetrico.

3. Intersezione con gli assi

   Intersezione con l'asse x

   f(x) = 0 ↔ x / (x+1) = 0

   x√(1-x) = 0

   x = 0

   Intersezione con asse y (x=0: 0,0)

4. Studio del segno

   f(x) > 0

   x ∈ D(f)

   0 ≤ x ≤ 1, y < -1

5. Studio della derivata prima

   f'(x) = d/dx (x√(x+1) / x+1)

   = -x² 3x+1 / 2√(1-x)(x+1)²

6. Studio dei punti critici

   di f(x) = x√(1-x)

   D(f) = {x ∈ ℝ / x<-1, y < x ≤ x/3}

   Alcuni punti interni al dominio sono

   B(f) = {x ∈ ℝ / x>-1, y > -1<x ≤ x}

   Studiamo f'(x) = x√(1-x) / x+1 per x<1, y <-x<1

Derivata prima e punti critici

f'(x)= ... X₁=... X₂=...

Per classificare i punti critici di f(x) calcoliamo il segno di f'(x) negli intervalli separati dai punti critici:

• (-∞,-1/2 ... )
• (1/3...)
• (-1 ... )
• (1/2 ... )
• ( ... 1)

Come punti test possiamo prendere x=...

xf'(x)segno

• -4 0.04
• -2 1.5
• ...+0
• 1+3/4...-

Interpretazione del risultato

Intervallo segno f(x) comportamento di f(x)

• (-∞...) - decrescente
• (-1/2 ...) + crescente
• (-1 ...) + crescente
• (1/2 ...) - decrescente

Di conseguenza

xf(x)...1/2 ... min locale

1/2 ...... max locale

Esercizio 1

La funzione f(x) = (2x - 1)^2/3

• [ ] Ha solamente un asintoto verticale
• [ ] Ha due asintoti obliqui distinti
• [ ] Ha due asintoti: uno verticale e uno orizzontale
• [X] Ha un asintoto verticale e uno obliquo

Grafico

Approssimativo della funzione

Esercizio 10

In quali dei seguenti intervalli la funzione f(x) = (2/3)x - 1)e^-2x presenta un flesso

• [ ] In (-1, +∞)
• [ ] In nessuno d'essi
• [X] In (0, 1]
• [ ] In (-∞, 0)