Studio di funzione

STUDIO DI UNA FUNZ

1. DOMINIO

Scrivere il dominio di una funzione significa trovare i valori delle x che rendono reale la funzione e che la fanno esistere.

- Funz. intere: Qualunque funzione intera di qualunque grado senza radici ha dominio ℝ.

- Funz. fratte: Le funzioni fratte esistono se il denominatore è diverso da zero.

Dominio= ℝ - {valori che annullano il denominatore}

- Funz. irrazionali: Le radici di indice pari esistono se l’argomento della radice è positivo o nullo.

Dominio = {valori che rendono il radicando ≥ 0}

Le radici di indice dispari esistono sempre.

Dominio = ℝ

- Funz. logaritmiche: I logaritmi esistono se il loro argomento è strettamente positivo.

Dominio = {valori che rendono l’argomento > 0}

NO

- Funz. esponenziali: Esistono sempre purché esista l'esponente.

Dominio = ℝ (esponente)

Es1. y = 3x³ - 2x² + 3

Dominio = ℝ

Es2. y = (3x² - 5) / (x - 2)

Dominio = ℝ - {2} = (-∞, 2) U (2, +∞)

ES 1

y = ^{3x - 1}/_{x² - 5x + 6}

D ⇒ x² - 5x + 6 ≠ 0

x₁,₂ ≠ ^{5 ± √25 - 24}/₂ ⇒ ^{5 ± 1}/₂

D = ℝ - {2; 3} = (-∞, 2) ∪ (2, 3) ∪ (3, +∞)

ES 3

y = ^{x² - 5x + 2}/_{4x² - 4x + 1}

D ⇒ 4x² - 4x + 1 ≠ 0

x₁,₂ ≠ ^{2 ± √16 - 16}/₄ ≠ ²/₂

D = ℝ - {²/₂} = (-∞, 2) ∪ (2, +∞)

ES 4

y = ^{x + 7}/_{x² + x + 3}

D ⇒ x² + x + 3 ≠ 0

x₁,₂ ≠ ^{-1 ± √1 - 12}/₂

Δ < 0 ⇒ ∀x ∈ ℝ

D = ℝ

ES 5.1

y = √x + 3

D ⇒ x + 3 ≥ 0 ⇒ x ≥ -3

D = [-3; +∞) ; ∀x ∈ ℝ / x ≥ -3

ES 5.1

y = √1 - x²

D ⇒ 1 - x² ≥ 0 ⇒ x² ≤ 0

valori interni -1 ≤ x ≤ 1

D = [-1, 1] = {∀x ∈ ℝ / -1 ≤ x ≤ 1}

ES 5.1

y = √^{x² + x - 2}/_{x² - 4x + 5}

D ⇒ ^{x² + x - 2}/_{x² - 4x + 5} > 0

N > 0: x₁,₂ ≠ ^{-1 ± √1 + 8}/₂

f : -----⁺³/₂---------^-2

x ≤ -2 ; x ≥ 1

D > 0: x₁,₂ = ^{4 ± √16 - 20}/₂ ⇒ ∀x ∈ ℝ

5 ASINTOTI

sono rette a cui il grafico della func tende senza mai toccarli

• S_i calcolano i limiti agli estremi del dominio:

se _limx→±∞ f(x) = l (l° finito, anche zero)

y=l as orizzontale

se _{limx→x₀⁺} g(x) = ±∞

x=x₀ as verticale

per l'as vert devo decrivere il lim per x che tende ai n° esclusi del D.

Perció x ϵ D=ℝ non c’è as vert! come x ϵ D=[a, b] (intervallo chiuso)!

se _limx→±∞ g(x) = ±∞ non c’è as oriz ma potrebbe esserci as obliqua.

m = _limx→∞ f(x)⋅¹/_x

q = _limx→∞ (g(x)-mx)

SE 7 AS. ORIZ NON ESISTE AS OBL

SE 7 AS OBLIQUO NON ESISTE AS. ORIZ

ES 1

D=ℝ → posso avere solo as. oriz o obliquo _limx→±∞ g(x)

D=R─{m} → _limx→±∞ f(x) mi da as oriz o as obl.

_{limx→x°⁺} m ± g(x) mi da as vert

y = f(g(x))

y' = f'(g(x)) · g'(x)

y = f(g(h(x)))

y' = f'(g(h(x))) · g'(h(x)) · h'(x)

y = ln sen cos (2x³ + x² - 2x + 1)

y' =

¹/_{sen cos (2x³ + x² - 2x + 1)}

- cos cos (2x³ + x² - 2x + 1) ·

[sen (2x³ + x² - 2x + 1) (6x² + 2x - 2) - - cos cos (2x³ + x² - 2x + 1) · sen (2x³ + x² - 2x + 1) · (6x² + 2x - 2)]

_{sen cos (2x³ + x² - 2x + 1)}

I Si pone la derivata prima uguale a zero.

f'(x) = 0

II Si studia il segno della derivata prima:

f'(x) > 0

dove f'(x) > 0 => la funt. è crescente

dove f'(x) < 0 => " " " decrescente

Supponiamo che x_o sia un valore del dominio che annulla la derivata prima.

(x_o, f(x_o)) max rel

(x_o, f(x_o)) min rel

(x_o, f(x_o)) p.to di flesso f_g attrib. assse x

(x_o, f(x_o)) p.to di flesso a la erte dicembre