Studio funzione 24 01 17 prova D

Analisi Matematica 1 - Prova Scritta 24/03/17

Studio di Funzione

f(x) = (-²/₃x - 1)e²/ₓ

1. Insieme di Definizione
   • Df(f) = {x ∈ ℝ / x ≠ 0}
2. Studio di Parità e Disparità
   • {(-²/₃ x - 1)e²/ₓ ≠ f(x) (la f_unzione non è pari)}
   • -(-²/₃ x - 1)e²/ₓ ≠ f(x) (la f_unzione non è dispari)}
3. Intersezioni con gli Assi
   • Intersezione con l'asse delle x: f(x) = 0 ⇒ {(²/₃x - 1) e²/ₓ = 0 ⇒ x = ³/₂}
   • Intersezione con l'asse delle y: O = (0,0)
4. Studio del Segno
   • f(x) > 0 in Df(f) {f(x) = (-²/₃ x + 1)e²/ₓ > 0 ⇒ x > -³/₂}
5. Studio della Derivata Prima
   • f '(x) = d/dx [(-²/₃x - 1)e^-2/ₓ)] = 2e^-2/ₓ(x² + 2x - 3)/3x²
   • (Derivata di un prodotto con una funzione composta) d/dx [((-²/₃ x - 1)e^-2/ₓ)]
   • d/dx [u ⋅ v] = v du/dx + u dv/dx u = e^2x v = 2x-1 / 3

\left(-\frac{1}{3} \frac{1}{x} \right) \frac{d}{dx} \left(e^{\frac{2}{x}}\right) + e^{\frac{2}{x}} \frac{d}{dx} \left(-\frac{1+\frac{2}{x}}{3}\right) =

dove \quad \frac{d}{dx} \left(e^{\frac{u}{x}}\right) = \frac{de}{du} \frac{du}{dx}, \quad u = \frac{1}{x}, \quad \frac{d}{du} \left(e^{u}\right) = e^{u}

= e^{\frac{2}{x}} \frac{d}{dx} \left(-\frac{1+x}{3}x\right) + \left(-\frac{1+\frac{2}{x}}{3}\right) e^{-\frac{2}{x}}\frac{d}{dx}\left(\frac{2}{x}\right)

=e^{\frac{2}{x}}\left(\frac{d}{dx} - \frac{1}{3}(x)\right) + \frac{1}{dx}(x) e^{- \frac{2}{x}}\left(-\frac{1+\frac{2}{x}}{3}\right)

= e^{-3x}\left(\frac{1}{dx}\left(-\frac{1+\frac{2}{x}}{3}x\right)\right)

= le^{\frac{-2}{x}}\left(-\frac{1+\frac{2}{x}}{3}x\right) \frac{1}{x^2}

=2e^{\frac{2}{x}}\left(-\frac{1+\frac{2}{x}}{3}x\right)

= x^2+e^{\frac{2}{x}}\left(\frac{d}{dx}\left(1+\frac{2}{x}\right)\right)

Da cui otteniamo

f'(x) = \frac{2e^{\frac{1}{x}}}{3}

-2 \lim_{X \to +\infty} e^{{\frac{2}{X}}} \left( \frac{(X - e^{\frac{2}{X}}X) - 3}{3} \right) =

-2 \lim_{X \to +\infty} \left( X - e^{\frac{2}{X}} X \right) \frac{1}{3}

-2 \lim_{X \to +\infty} \frac{X e^{\frac{2}{X}} (e^{\frac{2}{X}}-1)}{3} =

-2 \frac{\lim_{X \to +\infty} \frac{X (e^{\frac{2}{X}}-1)}{3}}{\lim_{X \to +\infty} \frac{e^{\frac{2}{X}}}{X}} = 1

-2 \frac{\lim_{X \to \infty} \left(\frac{2 \left(1 - X \right)}{X}\right)}{3} =

[...] Applicare la Regola di De l'Hopital

\frac{0}{0}

\lim_{X \to \infty} \left(2^{\frac{2}{X}}-1\right) - \lim_{X \to \infty} \frac{\frac{d}{dX}\left(e^{\frac{2}{X}}-1\right)}{\frac{d}{dX}\left(\frac{1}{X}\right)}

= -\lim_{X \to \infty} \frac{2 e^{\frac{2}{X}}}{X^2} = -\frac{1}{X^2}

= -\lim_{X \to \infty} \frac{2 e 2X}{X}

Quindi

-2 \frac{\lim_{X \to +\infty} e^{\frac{2}{X}}}{3} = -\frac{7}{3}

Asintoto obliquo y = \frac{2}{3} x - \frac{7}{3}