Studio di funzioni razionali fratte

Name: Studio di funzioni razionali fratte
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Revisionato il 27/05/2026

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Più di 30 esercizi sullo studio di funzioni razionali fratte completi, dal dominio fino ai flessi con il grafico. I calcoli sono svolti passo passo e sono chiarissimi, oltre ad essere …

Esame Analisi matematica 1

Facoltà Ingegneria dell'informazione

Dal corso del Prof. Moscariello Gioconda

Università Politecnico di Milano

A.A. 2019-2020

53 pagine

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Estratto del documento

2.2 Esercizio 17

f(x) = ^{1 - 3x}/_{x - 1}

DOMINIO:
x - 1 ≠ 0 ➔ x ≠ 1 ➔ D = ℝ - {1}
SIMMETRIE:
f(-x) = ^{1 + 3x}/_{-x - 1} ≠ f(x) ➔ NO pari

f(-x) = ^{1 + 3x}/_{-x - 1} ≠ -f(x) ➔ NO dispari
INTERSEZIONI CON GLI ASSI:
- x = 0 ➔ (0, -1) ∈ f(x)
- y = 0 ➔ ¹/₃
SEGNO:
f(x) > 0 ➔ 1 - 3x > 0 ➔ x < ¹/₃

f(x) < 0 ➔ x > ¹/₃ ∨ x > 1
LIMITI:
lim_{x → ±∞}f(x) = [^∞/_∞] = lim_{x → ±∞}x(¹/_x - 3)

lim_{x → ±∞}x(¹/_x - 3) = -3

y = -3 Asintoto orizzontale

2.2 Esercizio 17

f(x) = ^{1 - 3x}/_{x - 1}

DOMINIO: x - 1 ≠ 0 → x ≠ 1 → D = R - {1}
SIMMETRIE: f(-x) = ^{-1 + 3x}/_{-x - 1} ≠ f(x) → NO pari f(-x) ≠ f(x) → NO dispari
INTERSEZIONI CON GLI ASSI: x = 0 → (0, -1) ∈ f(x) y = 0 → y = 0 → x = 1/3 → (1/3, 0) ∈ f(x)
SEGNO: f(x) > 0 → 1 - 3x > 0 → x < 1/3 x - 1 > 0 → x > 1
LIMITI: lim_x→±∞ f(x) = lim_x→±∞ x(¹/_x - 3) / x(1 - ¹/_x) = -3 y = -3 Asintoto orizzontale

lim_x→1⁻ f(x) = ^-2⁄_0⁻ = +∞

lim_x→1⁺ f(x) = ^-2⁄_0⁺ = -∞

x = 1 Asintoto verticale

6) DERIVATE:

f '(x) = ^{-3(x-1) - (1-3x)}⁄_(x-1)² = ²⁄_(x-1)²

f'(x) > 0 ∀ x ∈ D ⟹ ↗(x)

f''(x) = ^-4(x-1)⁄_(x-1)³ = ^-4⁄_(x-1)³

f''(x) = 0 ⟹ ∄ x ∈ D ⟹ NO flessi

f''(x) > 0 ⟹ x-1 < 0 ⟹ x < 1

f''(x) < 0 ⟹ x-1 > 0 ⟹ x > 1

+ | -

∪ * ∩ f''(x)

f(x)

x=1

y=-3

2.3 Esercizio 18

()= x−1 / x²−2+2

Dominio: x²−2+2 ≠ 0
Simmetrie: (−) ≠ () (−) ≠ −()
Intersezioni con gli assi:
- x=0 y=() y=0 ()
- y=0 y=() x−1=0
- x=0 y=0 x=1/2
- x=0 y=0 x=1/2 (0${1\over2}) ∈ ()
- x=0 y=0 ()
- x=1 (1,0) ∈ ()
Segno: ()>0 → x>1
Limiti:
- lim_x→+∞()= ∞
- lim_x→+∞()= ∞ x(1−1/x) / x²(1−2/x+2/x²)=0

6) Derivate :

f'(x) = (x² - 2x + 2 - (x-1)(2x-2)) / (x² - 2x + 2)² =

= x² - 2x + 2 - 2x² + 2x + 2x - 2x / (x² - 2x + 2)²

= -x² + 2x / (x² - 2x + 2)²

f'(x) > 0 -> -x² + 2x > 0 -> x(x-2) > 0 ->

f'(x) > 0 -> 0 ≤ x ≤ 2

f'(x) < 0 -> x < 0 V x > 2

(0, ½) MIN , (2, ½) MAX

2.4 Esercizio 19

f(x) = (_2x/^x²-1)

Dominio: x²-1 ≠ 0 → x ≠ ±1D = R - {±1}
Simmetrie: f(-x) = _-2x/^x²-1 = -f(x) → f(x) dispari
Intersezioni con gli assi:
- x = 0(0,0) ∈ f(x)
- y = 0y = 0 → 2x = 0 → x = 0
Segno:f(x) > 0 → N > 0 → x > 0D > 0 → x < -1 ∨ x > 1-1+1++|-|+o|o|o+|-|+
- N: {f(x) > 0 → -1 < x < 0 ∨ x > 1}
- D: {f(x) < 0 → x < -1 ∨ 0 ≤ x < 1}
- f(x)
Limiti:

lim _x→±∞ f(x) = 0 → y=0 asintoto orizzontale

lim _x→-1^- f(x) = ±∞ → x=-1 asintoto verticale

lim _x→1^± f(x) = ±∞ → x=1 asintoto verti

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