Limiti, studio di funzione, derivate, integrali

ANALISI - PARTE 2

CONTINUA: funzione è continua su un insieme A⊆R se è continua in ogni punto x₀∈A

Quali sono?

Tutte le funzioni elementari e quelle ottenute da loro tramite operazioni algebriche composte sono CONTINUE

✘ dove non presentano problemi di definizione (es: dis, log(≥0))

LIMITI NOTEVO

• * Tutti a zero tranne le due e

Cambi di variabile

Si usa spesso per portarsi ai limiti notevoli.

es: _limx→0⁺ log_(4+sinx) / sinx = …

Cambio variabile:y = sin(x)Se x→0⁺ allora sin(x)→0⇒ y→0

Verso dove tende il nuovo limite.

Criterio funzioni → successioni

Possiamo risolvere le successioni usando funzioni.

es: _limm→∞ m sin(1/m) = … = 1

Limiti teoria

1. Punto isolato: vicino a x₀ non c'è nient'altro (in un intervallo ϵ).
2. Punto di accumulazione: in un intervallo e trovo sempre altri punti vicino x₀.
3. Punto interno: Posso muovermi di ϵ a dx e sx rimanendo in A.

* ±∞ sono pt. di accumulazione per A se A è inf/sup ^illimitato

Derivate

f(x) è derivabile in x₀ se

lim _{h → 0} f(x₀ + h) - f(x₀) = L ∈ ℝ

f(x) differenziabile in x₀ ⇔ f(x) derivabile in x₀

posso approssimare f(x) in x₀ con un polinomio di 1º grado (retta)

Retta tangente a f(x) in x₀

y = f'(x₀)(x - x₀) + f(x₀)

Regole di derivazione

Somma: f(x) ± g(x) ⇒ f'(x) ± g'(x)

Prodotto: f(x) g(x) ⇒ f'(x) g(x) + g'(x) f(x)

Reciproco: ¹/_g(x) ⇒ ^-g'(x)/_(g(x))²

Quoziente: ^f(x)/_g(x) ⇒ ^{f'(x) g(x) - g'(x) f(x)}/_(g(x))²

Composizione: (f ° g) ⇒ (f' ° g) g'

Es. f(x) = (x² + 2)³

f'(x) = 3(x² + 2)² ⋅ 2x

* partire dalla funzione che si scompone per ultimo fino a quella che si fa per prima

Taylor con resto di Lagrange

Formula di Taylor dove l'ultimo membro del polinomio rappresenta un errore.

es: Cos ( ¹ / ₁₀ )?

Cos(x) = 1 - ^x2 / ₂ + ^f(n)(c) / _4! x⁴

Cos( ¹ / ₁₀ ) = 1 - ¹ / ₂ + ¹ / ₁₀₀ + errore

1 - 0,005 = 0,995 (risultato)

limite errore ≤ ¹ / _4! · ¹ / _10⁴ = ¹ / ₂₄ · ¹ / ₁₀₀₀₀ = 4 · 10^-6

Cos( ¹ / ₁₀ ) - 0,995 ≤ 4 · 10^-6 → errore

(La differenza tra il "vero" risultato e quello ottenuto è l'errore)

Cos( ¹ / ₁₀ ) ≈ 0,995000...

3) Grado denominatore = 2

Δ > 0

Δ = 1 + 8 > 0

zeri denom

x = ^{1 ± √3}/₂ <— 2 1 -1

es:

∫(x - 3)/(x² - x - 2) dx

(x - 3)/((x - 2)(x + 1)) = A/(x - 2) + B/(x + 1)

= (A(x + 1) + B(x - 2))/((x - 2)(x + 1))

=(A + B)x + A - 2B)/((x - 2)(x + 1))

1 = A + B

-3 = A - 2B

A = ¹/₃

B = ⁴/₃

A + B è coeff dx —»

A - 2B è valore noto

=¹/₃ 1/(x - 2) + ⁴/₃ 1/(x + 1)

∫(x - 3)/(x² - x - 2) dx = -¹/₃ ∫1/(x - 2) dx + ⁴/₃ ∫1/(x + 1) dx =-¹/₃ ln|x - 2| + ⁴/₃ ln|x + 1| + c″

Δ = 0

es:

∫ x/(x² - 4x + 4) dx = ∫ x/(x - 2)² dx =

=∫(x + 2 - 2)/(x - 2)² dx per dividere

=∫(x - 2)/(x - 2) dx + ∫ 2/(x - 2)² dx =

= ∫ 1 dx + 2 ∫ 1/(x - 2)² dx =

= ln|x - 2| + 2(x - 2)^-1 (-1) + “c″

Δ < 0 (solitamente asiami)

es:

∫ 1/(x² - 2x + 3) dx = ∫ 1/(x² - 2x + 1 + 2) =

=∫ 1/((x - 1)² + 2) = ∫ ^1/2 1/(1 + (x - 1)²/√2) =

=∫ ^1/√2 1/(1 + (x - 1)²/√2) = arcinv(1/(1 + x²))

= y = (x - 1)²/√2

√2dy = dx

∫ ^1/2 1/(x² - 2x + 1 + 2) √2 dx = ^√2/₂⁡ arctan y + “c″ = ^√2/₂⁡ arctan (x - 1)/√2 + c