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1.2 Esercizio 37

f(x) = 1 / √(4 - x2)

  1. Dominio:

    • 4 - x2 > 0
    • √(4 - x2) ≠ 0

    -2 < x < 2 → D = (-2, 2)

  2. Simmetrie: f(-x) = f(x) → f(x) pari

  3. Intersezioni con gli assi:

    • x = 0
    • f(x) = 1/2
    • (0; 1/2) ∈ f(x)
    • f(x) = 0 → ∅
    • 1 ≠ 0

  4. Segno:

    • N > 0 → √ > 0 ∀ x ∈ D
    • D > 0 → √(4-x2) > 0 ∀ x ∈ D
    • { f(x) > 0 ∀ x ∈ D }

  5. Limiti:

    limx→-2- f(x) = limx→2- f(x) = 1/0+ = +∞

    x = ±2 Asintoti verticali

  6. Derivate:

1.2 Esercizio 37

f(x) = 1/√4-x2

  1. DOMINIO:4-x2 ≥ 0√4-x2 ≠ 0-2 < x < 2 → D = (-2, 2)

  2. SIMMETRIE: f(-x) = f(x) → f(x) PARI

  3. INT. CON GLI ASSI:x = 0f(x) = 1/2 (0; 1/2) ∈ f(x)f(x) = 01 = 0 → ∅

  4. SEGNO:N > 0 → λ > 0 ∀x ∈ DD > 0 → √4-x2 > 0 ∀x ∈ D{f(x) > 0 ∀x ∈ D}

  5. LIMITI:limx→-2+ f(x) = limx→2- f(x) = 1/0+ = +∞x = ±2 ASINTOTI VERTICALI

  6. DERIVATE:

f'(x) = - 1/2√(4-x2) ⋅ (-2x) ⋅ 1/|4-x2|

= x / |4-x2|√(4-x2)

f'(x) > 0

N > 0 → x > 0, D > 0 → -4 < x < 4

< -4               0               4 >

f'(x) <

f(0) = 1/2 - 0 (0;1/2) MIN

f''(x) = 1/√(4-x2)3 + x(-3/2) (-2x)/(4-x2)5

= 1/√(4-x2)3 + 3x2/√(4-x2)5

f''(x) > 0 ∀ x ∈ D

-4              0                  4

f(x) No FLESSI

x = -2                         x = 2

O

5

1.3 Esercizio 38

f(x) = √((x-1)/(x+1))

  1. Dominio:

x-1/x+1 > 0 → x > 1

D = (-∞, -1) ∪ [1, +∞)

  1. Simmetrie:

f(-x) ≠ f(x) no pari

f(-x) ≠ -f(x) no dispari

  1. Int. con gli assi:

x = 0 & ∈ D → f(x) = 0

(1, 0) ∈ f(x)

  1. Segno:

f(x) ≥ 0 ∀ x ∈ D

  1. Limiti:

lim (x→±∞) f(x) = lim (x→±∞) √((1 - 1/x) / (1 + 1/x)) = 1 → y = 1 asintoto orizzontale

lim (x→-1) f(x) = √(2/0) = +∞ → x = -1 asintoto verticale

6) Derivate:

f'(x) = 1/2 (x-1)/(x+1)-2 (x+1-x+1)/(x+1)2

= 1/(x+1)2 [(x+1)/(x-1)]

f'(x) > 0 ∀ x ∈ D → f(x) ≠

limx→±1 f'(x) = ±∞ → in x = 1 TANGENTE VERTICALE

f''(x) = -2(x+1)-3 [x+1/x-1 + 1/(x+1)2 1/x (x+1)/(x-1)2 2x/(x-1)2

1/(x+1)2 [1/x+1 sqrt{?/x+1} + sqrt{?/x+1}]

x < -1 → f''(x) > 0 → f(x) ∪

x > 1 → f''(x) < 0 → f(x) ∩

NO FLESSI

1.4 Esercizio 39

f(x) = √((1-x)/(1+x))

  1. Dominio:

    • 1-x ≥ 0
    • 1+x > 0

    D = [-1, 1]

  2. Simmetrie: f(-x) = √((x+1)/(x-1))

    • f(x) ≠ f(-x) No pari
    • -f(x) ≠ f(-x) No dispari

  3. Intersezione con gli assi:

    • x = 0 → (0, 1) ∈ f(x)
    • f(x) = 0 → x = 1 (1, 0) ∈ f(x)

  4. Segno:

    f(x) ≥ 0 ∀ x ∈ D

  5. Limiti:

    lim (x→-1+) f(x) = √(2/0+) = +∞ → x = -1 Asintoto verticale

  6. Derivate:

f'(x) = 1/2 ( 1-x/1+x )-1/2 = -1-x-1+x

----------------------------------------- =

(1+x)2

= √1+x/1-x · 1/(1+x)2

f'(x) < 0 ∀ x ∈ D →

lim f'(x) = -∞ → IN x = 1 TANGENTE VERTICALE

x→1-

f''(x) = -1/2 [ 1+x/1-x ]1/2 [ -x+x+1

------------------------------------ (1+x)-1 (1-x)-2 (1+x)1/2 (-2) (1+x)-3

= -1/2 [ -x/1+x - x2/(1-x)2 (1+x)2 + 2 √1+x/1-x 1

-----------------------------------------

(1+x)3

f''(x) > 0

con -1 < x < 1 divido per [ 1-x/(1+x)3 ]

e moltiplico per (1+x)2 > 0)

-1/(1-x)2 + 2 [ √1+x/1-x ] > 0 →

→ -1 + 2 - 2x ---------------- > 0 →

(1-x)2

x ≤ 1/2

g''(x) - 1/2 F

g'(x) + 1/2 f

g(1/2) = √3/3 ( 1/2 , √3/3 ) FLESSO

9

y

y = -1

F

O

x

1

10

1.5 Esercizio 40

f(x) = 1/√1-x - 1/√1+x

  1. Domino:
    • 1-x > 0
    • 1+x > 0

    x < 1

    D = (-1; 1)

  2. Simmetrie:

    f(-x) = 1/√1+x - 1/√1-x = -f(x) -> f(x) dispari

  3. Int. con gli assi:
    • x = 0
    • y = 0

    (0,0) ∈ f(x)

  4. Segno:

    f(x) > 0 con (-1 < x < 1)

    1. √1+x > √1-x → √1+x > √1-x → -2x > 0 → x < 0

    f(x) [ -1 | 0 | 1 ]

5) LIMITI:

limx→1- f(x) = 1/2 - 1/0+ = -∞

limx→1+ f(x) = 1/0+ - 1/2 = +∞

x=±1 ASINTOTI VERTICALI

6) DERIVATE:

f'(x) = +1/2 (1-x)-3/2 + 1/2 (1+x)-3/2

= 1/2(1+x)3 + 1/2(1-x)3

f'(x) > 0 in D → ∀ x ∈ D

f'(0) = 1/2 + 1/2 = 1 → y=x TANGENTE IN x=0

f''(x) = 3/4 (1-x)-5/2 - 3/4 (1+x)-5/2

= 3/4(1-x)5 - 3/4(1+x)5

f''(x) > 0 in D → 1+x > 1-x → x > 0

f'(x) | -1 | 0 | +1

f(x) | ∩____∪

(0,0) FLESSO

y

x = 1

O

x

x = -1

13

1.6 Esercizio 41

f(x) = 2√x - x

  1. Dominio:
    • x > 0 → D = [0, +∞)
  2. Simmetrie:
    • f(-x) ≠ f(x) no pari
    • f(-x) ≠ -f(x) no dispari
  3. Int. con gli assi:
    • x = 0 → (0, 0) ∈ f(x)
    • f(x) = 0
      • f(x) = 0
      • 2√x - x = 0 → 2√x = x → 4x = x^2 → x^2 - 4x = 0
      • 2√x - x = 0 → x(x-4) = 0 → x = 0
      • x = 4 → (4, 0) ∈ f(x)
  4. Segno:
    • f(x) > 0 → 2√x - x > 0 (con x > 0)
    • 2√x > x → 4x > x^2 → x(x-4) < 0 → 0 < x < 4
    f(x) │0 4
    • +
    • -

14

5) Limiti:

limx->+∞ f(x) = [+∞ - ∞]

= limx->+∞ x ( 2/√x - 1 ) = -∞

limx->+∞ f(x) = limx->+∞ ( 2/√x - 1 ) = -1 -> m = -1

limx->+∞ ( f(x) - mx ) = limx->+∞ 2√x = +∞ -> NO

Asintoti obliqui

6) Derivate:

f'(x) = 2 ( 1/2√x - 1 ) = 1-√x/x

f'(x)>0 -> 1-√x>0 ->x<1 ->x∈≤1

f'(x) ▲ ⬇

f'(x) ⬇ ▲

f(1)= -1 ⬇ (1, 1) MAX

f''(x)=- 1/2 x-3/2 = - 1/√x3

f''(x) < 0 ∀ x ∈ D -> f(x) ⃝⟶

NO FLESSI

y

MAX

O

x

16

1.7 Esercizio 42

f(x) = √8 - x³

  1. Dominio: 8 - x³ > 0 → x³ ≤ 8 → x ≤ 2 → D = (-∞, 2]
  2. Simmetrie: f(-x) = √8 + x³ ≠ f(x) no pari ≠ -f(x) no dispari
  3. Int. con gli assi: x = 0 f(x) = √8 = 2√2 → (0, 2√2) ∈ f(x) f(x) = 0 → (2, 0) ∈ f(x)
  4. Segno: f(x) > 0 → √8 - x³ > 0 ∀ x ∈ D
  5. Limiti: limy → ∞ f(x) = +∞ limx → -∞ f(x) = limx → -∞ √x²(8/x² - x) = limx → -∞ |x| (8/x² - x) = = -√0⁺ + 0 = -∞ → no asintoti oblìqui

6) Derivate :

f'(x) = 1/2√8-x3 , (-3x2) = -3x2/2√8-x3

f'(x) < 0 ∀ x ≠ 0 , in x = 0 f'(x) = 0

f'(0) = 2√2

(0;2√2) flesso a tg orizzontale

limx→2 f'(x) = - 12/0+ = -∞ → in x = 2 tangente verticale

1.8 Esercizio 43

f(x) = 3√x-1

  1. Dominio: D = R
  2. Simmetrie:
    • f(-x) ≠ f(x) no pari
    • -f(x) no dispari
  3. Int. con gli assi:
    • x = 0
    • f(x) = -1
    • (0,-1) ∈ f(x)
    • f(x) = 0
    • x = 1
    • (1,0) ∈ f(x)
  4. Segno:
    • f(x) > 0 → x -) 0 → x > 1
    • f(x) = -1 1+
  5. Limiti:
    • lim x -> ±∞ f(x) = ±∞
    • lim x-> ±∞ f(x)/x
    • lim x->±∞ √3/x3/x-1 - 1
    • = 0 → no asintoti obliqui
  6. Derivate:
    • f'(x) = 1/3(x-1)-2/3
    • = 1/3 √3(x-1)2

f'(x) > 0 ∀ x ∈ ℝ - {1}

limx→1 f'(x) = ∞ → in x = 1 tangente verticale

f''(x) = 1/3 (-2/3) (x-1)-5/3

= -2 / 3√(x-1)5

f''(x) > 0 → x - 1 < 0 → x < 1

f''(x) + 0 -

f(x) F

(1,0) flesso a tangente verticale

1.9 Esercizio 44

f(x) = (x - 1) / ( √(x2 + 1) )

  1. Dominio: x2 + 1 > 0 → x ∈ ℜ → D = ℜ
  2. Simmetrie: f(-x) = (-x - 1) / ( √(x2 + 1) ) ≠ f(x) (no pari) ≠ -f(x) (no dispari)
  3. Int. con gli assi: {x = 0 f(x) = -> (0, -1) ∈ f(x) {f(x) = 0 x = 1 → (1, 0) ∈ f(x)
  4. Segno: f(x) > 0 → x → 0 → x > -1 -1 ↑ + + f(x)
  5. Limite: lim x→±∞ [ x(1-x) / √(x2 + 1) (1 + x2) ] = ±1 y = ± 1 Asintoti orizzontali
  6. Derivate: f'(x) = [ √(x2+1) - (x-1) . x / (x2+1) ] / (x2+1) / √(x2+1) = [ x2 + 1 - x2 + x ] / (x2+1)(√(x2+1))

    f'(x) > 0 → 1 + x > 0 → x > -1

    f(x)

    -1 + ↑ ↓ f'(x) = -√2 → (-1, -√2) MIN

21

y

y = 1

O

x

y = -1

MIN

22

1.10 Esercizio 45

f(x) = x/√x - 1

  1. Dominio:
    • √x - 1 ≠ 0 [x ≠ 1]
    • x > 0
    • D = [0; 1) ∪ (1; +∞)
  2. Simmetrie:
    • f(x) ≠ f(-x) no pari
    • -f(x) ≠ f(-x) no dispari
  3. Int. con gli assi:
    • x = 0 → (0, 0) ∈ f(x)
    • f(x) = 0
  4. Segno:
    • f(x) > 0 → N > 0 → x > 0
    • D > 0 → √x - 1 > 0 → x > 1
    N0••D–++N/D–++f(x)
    • (0,1) → f(x) < 0
    • (1, +∞) → f(x) > 0
  5. Limiti:

    limx→1+ f(x) = limx→1- x/√x - 1 = 1/0- = ±∞

    x=1 Asintoto Verticale

limx→+∞f(x)=[∞∞]

=limx→+∞ x/√x(√x−1/√x) = limx→+∞√x=+∞

limx→+∞f(x)−limx→+∞1/√x−1=0 → no asintoti obliqui

g) Derivate

f′(x)=√x−1−x(1/2√x)/(√x−1)2=√x−2/2(√x−1)2

f′(x)≷0 → √x−2≷0 → √x≷2 → x≷4

f′(x)=0 4→f(x)=4→(4,4) min

f″(x)=1/2√x • 2(√x−1)2 − (√x−2) • 4(√x−1)4 • 1/2√x

f″(x)≷0→2(x+1−2√x)−4(x−√x−2√x+2)≷0

2x+2−4√x−x+12√x−8≷0

−2x+8√x−6≷0 → x−4≶3√x

x=t → x=t2, 4t+3≶0 → t1,2=±13

f(x)→0+3

9/2

Flesso

t≶3

1≶x≶9

y

O

x = 1

MIN

F

x

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Scienze matematiche e informatiche MAT/05 Analisi matematica
I contenuti di questa pagina costituiscono rielaborazioni personali del Publisher ProfElettr di informazioni apprese con la frequenza delle lezioni di Analisi matematica 1 e studio autonomo di eventuali libri di riferimento in preparazione dell'esame finale o della tesi. Non devono intendersi come materiale ufficiale dell'università Politecnico di Milano o del prof Moscariello Gioconda.
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