Appunti sullo Studio di funzione

3° Funzioni Reali di Variabili Reali

Richiami:

def: Sia I⊆ℝ, chiameremo funzione di I a valori in ℝ (f: I → ℝ)

• Ogni corrispondenza che a x∈I fa corrispondere f(x)=y∈ℝ
• La funzione si dice:
  • iniettiva se: x₁≠x₂ f(x₁)≠f(x₂)
  • suriettiva se Imf=I
  • bigettiva se iniettiva e suriettiva

Immagine della funzione f={y∈ℝ : ∃x∈ℝ x→f(x)}=valori assunti dalla funzione

Esempi:

1. • f(x)=x²
   • f:ℝ→ℝ
   • non è iniettiva (ho due controimmagini)

R è il campo di esistenza di f, cioè il più grande sottoinsieme di R dove f ha senso

def: (pari/dispari)

1. I⊆ℝ si dice pari se:
   • I è simmetrico rispetto all'origine, cioè: x∈I↔-x∈I
   • ∀x∈I, f(x)=f(-x)
2. I⊆ℝ si dice dispari se:
   • I è simmetrico all'origine
   • ∀x∈I, f(x)=-f(-x)

Esempi:

1. • f(x)=x
   • f(x)=|x-1|3-2

   in base al conto

2. Funzioni dispari
   • f(x)=sin x
   • f(x)=xᵐ, m∈ℤ
3. Funzioni pari
   • f costante

Def. (Successioni di Limite)

Sia: c ∈ ℝ e f: (U∩D)^*→* ℝ sia definita definitivamente per x→c

f ammette limite finito l ∈ ℝ se per r: U∩D∩S→ℝ tale che x_n → c si ha che x_n ↦ f(x_n) → l per ogni r nei buoni. In particolare, c ∈ D

Esempi:

1. lim_x→3 se tale che tale che x_n∈U(c) (U(c)) dove la funzione f è definita non altra cosa (definiti ristre)

   fatto che x_n→4

2. lim_x→ℓ (x^ℓ) è?

   Prima Cosa: tale si definisce definitivamente per x→n?

   E se l∈ℝ: x²3=3 → f(x)→3

   Quando è definito definitivamente per x→x↦f(x)

Seconda Cosa. Ora consideriamo:Supponiamo che per x_n (in questo caso, ma ha senso ugualmente) e ci chiediamo lim?

lim_x→ℓ (x³⁴) esiste

Allora lim_x→n

Teorema Continuità funzioni elementari

Le funzioni elementari:

• (a_n × f(x) + b_m × g(x))

• (f(x) × g(x))

• (f(x) / g(x) con g(x) ≠ 0)

• (f(g(x)))

• (√f(x))

sono continue nei sotto loro campi di esistenza, cioè D_f ∩ D_g, si ha f una funzionecontinua

non la dimostriamoma fare lo schema a blocchi è inutile

oss: f(x) = sinximmagine

f(x) = 1/4^x con x ∈ R versa f = sin 1/x immagine

1. intervalli introditti dalla continuità classica:
2. 1/x ∈ R

oss: ad esempio _∃[0,∞]immagine

oss: ad esempio _∞ x ∈ R oss: con l'unico range di y, funzione monotona immagine

deve considerare: o cresce se il continuo non è k_n con k₀≈∞

sconsidere abbastanza limite lim sinx

quando se dati si mantengono schietti un punto dell'intorno. limiti dell'intorno

Def. (Punto di D iscontinuità)

se ul ∞ (a,b)∞ ∞

Teorema (Algebra delle Funzioni Continue)

Siano f,g: (a,b) → ℝ e x₀ ∈ (a,b):

1. f±g è continua in x₀
2. f⋅g è continua in x₀
3. ^f/_g è continua in x₀ se g(x₀)≠0
4. k⋅f è continua in x₀, ∀k∈ℝ

OSS: Per la Permanenza del Segno, se sufficientemente vicino a g(x₀)≠0 è di segno costante, con gli stessi segni di g(x₀), allora posso affermare che ^f/_g è contin. in x₀

Lezione 16 23/11/20

Cambiamento di variabile nei Limiti

Esempi:

1. lim sin x = 1: x = a⋅∞
2. lim sin x² = 0^±: x_n = ^p/_q

Teorema

Siano g e h due funzioni tali che sia definita liminflexion g(x)⟹ f⟹x₀=xⁿ: liminf f⟹x³=x²⟹ℝ

Se:

1. ∃ lim a:x = 0∈ℝ ∪ ±∞⟹a+0⇔≤0
2. ∃ lim b:x = a:x:x_n±0⟹a+0⇔o^q_±±3⊆a

Allora: lim a⟹(g(x_n))=a⟹x=0

OSS: In generale, con massima qualità standard, che la superiorità di numeri sia pure un po' evidente verso questo laborio:

1. ∃ lim f:x=x_bo⟹ℝ (t_o∈ℝ)

Esempio: f(x)=x²⟹0

La provenienza di estrema unione alla divergenza è un simbolo:

1. ∃ lim f⟹a=l
2. ∃ lim f:o⟹∞⟩⟹∞o

Come con probabilità che, alla rivoluzione al geogebra, prelibata certamente dal logaritmo di strumenti che loro idiozie della diversità oscillante sono..

Indirizzi/Indeterminatezza

Se f e g esistono definitamente per x → x₀ con c ∈ ℝ ∪ {±∞}; s₂ ±∞; s₃ ±∞;

• se sono infinitesimi per x → x₀
• se sono finiti per x → x₀

detto campo Indirizzi per f e g

• sono infinitesimi
• sono equivalenti

e si danno le classi determinate per il confronto tra infinitesimi e confronto fra finitesimi

(f(x) e g(x) sono infinitesimi per x → x₀) (o e fin(k(m)))

f(x) ≡ g(x) per x → x₀

f(x) = o(g(x))

OSS: I limiti notevoli si possono ricavare come asintotici.

1. se f(x) ≡ g(x) ⇒ c = c₀
2. log a + a log = e^x
3. log a + a log = e^x
4. sin x ≈ x

Lim. (metodo di bisezione)

tutte le volte divido a metà

f(b)_(f(c)) = 0

c