Appunti sullo Studio di funzione

Funzioni reali di variabili reali

Definizione di funzione

Se I ⊆ R, chiameremo funzione da I a valori in R (f: I → R) ogni corrispondenza che ad ogni x ∈ I fa corrispondere un unico y ∈ R, con y = f(x). La funzione si dice:

• Iniettiva se x₁ = x₂ ⟹ f(x₁) = f(x₂)
• Suriettiva se f(I) = R.
• Biunivoca se è sia suriettiva sia iniettiva.

Si dice dominio di f: I → R l'insieme I (con I ⊆ R). Immagine della funzione f(I) = {y ∈ R : ∃ x ∈ I | y = f(x)} = valori assunti dalla funzione.

Esempi

1. f(x) = x² (non è iniettiva)
2. f(x) = sin x (è periodica)

Funzioni pari e dispari

f: I = I ⊆ R → R si dice pari se:

1. I è simmetrico rispetto all'origine, cioè ∀ x ∈ I ⟹ -x ∈ I
2. ∀ x ∈ I ho f(x) = f(-x)

f: I = I ⊆ R → R si dice dispari se:

1. I è simmetrico all'origine
2. ∀ x ∈ I ho f(x) = -f(-x)

Esempi di funzioni pari e dispari

1. f(x) = x/(x² - 4) (una delle due condizioni non è rispettata)
2. f(x) = sin x (è dispari e periodica)
3. f(x) = x³ (funzione pari)

Grafico di una funzione

f: I ⊆ R → R

G(f) = { (x, f(x)) : x ∈ I } ⊆ I x R

Funzione limitata

Def: Sia f: I ⊆ R → R. Diciamo che f è superiormente limitata o limitata se f(I) = { f(x) : x ∈ I } ⊆ R e sup f(I) è finita o limitata.

Esempi di funzione limitata

1. f(x) = sin x, f: R → R. f è limitata poiché f(x) ∈ [-1,1]
2. f(x) = x, f: I = R → R. f(I) = (-∞, +∞) e inf e sup non esistono
3. f(x) = ln(x+3), f: I = R → R. Dominio x ∈ (-3, +∞)

Funzioni monotone

Def: Sia f: I ⊆ R → R, si dice monotonamente crescente (o non decrescente) se ∀ x₁, x₂ ∈ I con x₁ ≤ x₂ allora f(x₁) ≤ f(x₂).

Attenzione: non è la stessa definizione anche per le successioni. Dati {a_n} {b_n} allora a_n è crescente se a_n ≤ a_n+1 ∀ n. Non è vero in generale che se f(x₁) ≤ f(x₂) ∀ x₁ allora f è monotona crescente!!!

Funzione composta

Siano f: ⊆ ℝ → ℝ e g: &subg; ℝ → ℝ e supponiamo che f() ⊆ g. Allora si può definire la funzione composta: g∘f: → ℝ x ↦ g(f(x)).

Esempio: g∘f(x) = sin(cos(x))

OSS: In generale g∘f ≠ f∘g (g∘f = sin(cos(x)))

Funzione inversa

Sia f: ⊆ ℝ → ℝ e f iniettiva, allora è biunivoca. Allora si può definire la funzione inversa: f^-1: f() → ℝ tale che t = f(x) ⇔ x = f^-1(t).

Esempi di funzione inversa

1. f(x) = ℝ⁺ → ℝ f^-1: (0, +∞) → ℝ f^-1 = (x → log_e y = e^x, x = log_e y f(x) x² f^-1: ℝ → ℝ non è iniettiva, non è invertibile!

OSS: y = x² x = ±√y cioè: x ≥ 0 allora x = √y

Intorni

Chiamiamo intorno destro di c ogni intervallo del tipo (c, c+δ) con δ > 0

Chiamiamo intorno sinistro di c ogni intervallo del tipo (c-δ, c) con δ > 0

c ∈ (c-δ, c+δ) c ∈ (c, c+δ)

Definizione di proprietà

Diremo che una proprietà P è vera definidamente per x → _c (con c ∈ ℝ ∪ ℝ⁺ {±∞})

1. se P è vera in un intorno ed è escluso il punto c

Se c ∈ ℝ, allora diremo che P è vera definitivamente per x → _c⁺, se P è vera in un intorno destro di c

1. x → _c⁻ in un intorno sinistro di c