Matematica - Appunti

Premessa

Finalmente, dopo tante richieste, è uscito il "Benza di matematica" :) Stavolta ho superato me stesso! Son riuscito dove mai nessuno era arrivato prima: (Star Trek) preparare degli appunti di matematica al computer! Prima di tutto voglio ringraziare "lo Scarezzi" (Roberto Scarella), per la collaborazione e lo sforzo nel portare in Word le matrici. Poi, anche più importante, la prof. Serena Modena, amicona di vecchia data che ci ha praticamente insegnato tutto. Se volete lezioni di matematica... fidatevi, per aver sopportato 2 ignoranti come noi in materia, è stata brava... (contattatela qui: serena@sistel.it) E i voti: 26/30 Benza, 24 Scarella! Con il prof. Sciutti! Che sappiamo cosa vuole dire!

Contenuto dei file

• Disegnare_la_funzione.doc è il file che si riferisce agli esercizi del c.d. "tipo 1", proposti dal prof. Sciutti dell'università di Genova e reperibili al link: http://www.clik.to/dsciutti. Come dice il titolo stesso, sono le indicazioni per pervenire ai diagrammi richiesti. Il prof. aveva già fornito in formato PDF le soluzioni, noi abbiamo svolto e approfondito tali esercizi, cercando di fornire anche ulteriori spiegazioni, e li abbiamo passati in formato per Microsoft Word XP 2003.
• Indice_delle_funzioni.doc è il classico INDICE col numero delle pagine.
• Teoria.doc è praticamente un riassunto di tutta la matematica dalle medie all'università: se avete studiato un po', in sole 10 pagine avrete tutte le formule da non dover dimenticare.
• Studiare_la_funzione.doc è il file che si riferisce allo studio vero e proprio di funzione, il c.d. "tipo 2", con calcolo dei limiti, dei punti di max e min, etc.
• Matrici.doc è il file che risolve le matrici proposte dal professore passo per passo.
• Matrici.xls è un file di Excel che permette di svolgere più rapidamente le matrici più semplici: 3x3, 4x4, 5x5.

Sicuro che quest'iniziativa avrà grande successo e tanti download, colgo l'occasione per ricordarvi che per info sono sempre disponibile all'indirizzo: d.benza@libero.it

Studio di funzione

4 2–y = x 5x + 4

• Dominio = R
• Intersezioni con gli assi: x = 11
• Δ = 25 – –1x = 0 y = 0 16 = 9 1 x =(con Ruffini: ) 24 2 21,2–y = 4 x 5x + 4 = 0 x = (5 ± 3)/2 = 4 x = 23 –2x =4
• Segno:4 2 2–x 5x + 4 > 0 x = t2 –t 5t + 4 > 0 -2 -1 1 2t < 1 U t > 42x < 1–1 –2< x < 1 U x < U x > 2
• +∞ +∞ Limiti: 4 2 2 2– – – 1) = +∞ lim x 5x + 4 = lim (x 4)(xx→ –∞ +∞ +∞ 2 2– – 1) = +∞ lim (x 4)(x+∞ x→
• Derivata: 4 2 4 2– – – –lim f(x + h) f (x) = [(x + h) 5(x + h) + 4] x + 5x 4 =–∞ h h h→ 4 4 3 3 2 2 4 2– – – – –lim x + h + 4x h +4xh 5x 5h 10hx +4 x + 5x 4 =–∞ h h→ 3 3 2 3– –f’(x) = 4x –lim h (h 5h + 4x +4xh 10x) = 10x–∞ h h→
• Punti stazionari:f’(x) = 0 – √(5/2) x = √(5/2)x = 0 x =3 – – –4x 10x = 0 y = 4 y = 9/4 y = 9/42 –2x(2x 5) = 0x = 01 – √(5/2)x =2 = √(5/2)x3
• Segno di f’(x): – √(5/2) √(5/2)2 0–2x(2x 5) > 0– √(5/2) < x < 0 U x > √(5/2) - + - +4-2 -1 1 2

Studiare la funzione

y = x * lnx D = x > 0

• Intersezioni con gli assi: y = 0 x = 1
• Segno: 0 1x * lnx > 0 CE: x > 0 → x > 1 x > 0 lnx > 0 x > 1 + - +
• Limiti: lim x * lnx = 0 h→ 0 lim x * lnx = +∞ h→ +∞
• Derivata: x = 0 y’ = lnx + 1 y’ = 2
• Punti stazionari: y’ = 0 lnx + 1 = 0 x = 1/e x = 1/e– –lnx = 1 y = 1/e * ln (1/e) y = 1/e x = 1/e
• Segno di y’: lnx + 1 > 0–lnx > 1 Tratteggiata: la derivata x > 1/e x∫ ln( 2 ) in (0, +∞) (t + 1)/t

Studiare la seguente funzione

F (3, x) = ∫ dt (07Lug2005; es2) 3 *

• CE: per i logaritmi: argomento > 0–t + 1 > 0; t > 1 t ≠ 0 1
• f = 0; quando un logaritmo = 0? Se l’argomento = 1! → intersezioni con gli assi:
• (t + 1)/t = 1 moltiplico entrambi i membri per t t (t+1)/t t = 0; t + t + 1: è una parabola!
• Calcolo il delta: Δ = 5 –0,6 punto fuori dal CE → non accettabile! quindi i punti: t =1 = 1,61 → è il punto di max o di min dell’integrale! t2
• Dal grafico * ciò accade quando l’argomento > 1, quindi: segno: dobbiamo porre il log > 0; come vediamo2(t + 1)/t > 1: viene la stessa parabola di prima:
• + t + 1 > 0 → segni discordi → valori interni tra –0,6 e 1,61 → tra 0 e 1,61 → t
• Limiti: → → ln(+∞) lim t + 1 = ln (1/0) = +∞ 1,61
• Vedi tabella dei limiti con gli infiniti + 2x→0 t (infatti noto dal grafico * che quando x tende a infinito anche ln(x) tende a infinito) forma indeterminata! → all’interno del-lim t + 1 = ln (+∞/+∞) → devo raccogliere la potenza di grado massimo 2 →l’argomento, x→+∞ t separando numeratore e denominatore. → → ln((1 + 1/+∞)/+∞) → → ln(0) sempre da tabella dei limiti: n/+∞ = 0 lim t (1 + 1/t) = ln(1/+∞) ora sostituisco x→+∞ → → –∞ t * t noto dal grafico * che quando ln va verso 0 tende a meno infinito Riporto i limiti nel diagramma →
• f ’: è una composta! Derivata – –1 = t 2 2 2 2(t + 1)/t t + t 1,61
• f ’ = 0 Punti stazionari: – – Un’equazione è = 0 quando il numeratore è = 0 t 2 = 0 2 → non esiste max o min nell’intervallo –t + t .(noto anche che t = 2 non è accettabile ) t < 0 è ≠ CE.
• Segno della derivata: t > 0 scende – – –t 2 > 0; t < 2 perché negativo 2 Δ = 1; t –1,0 → concorde → valori esterni – –t + t > 0; = +1,2

Integrale per F(3,x)

• Per stabilire se la F è prolungabile in 0, calcoliamo il lim che tende a 0 di F: se viene un n° ≠ ±∞ allora è prolungabile. t sta 1 volta e scrivo l’1, moltiplico 1 x 1, cambio di segno e Arrivato a t/(t +1) t nell’ t +1 1,61 3 devo fare la lo metto sotto la t a dx, moltiplico 1 x t, cambio di segno e lo
• -t-1 – divisione: metto sotto la t a dx, ora faccio la somma tra t e t 1. Quindi: -1 1 ∫t/(t+1) = ∫1 + (-1/(t+1)) = risultato + resto fratto divisore.
• –1,94 x∫ x x x∫ ∫ ∫ 2– – → → lim ln t + 1 dt = (t + 1) ln (t ) dt = ln(t + 1) dt 2 ln (t) dt integro la prima parte per parti inserendo 1 3 3 3 + 2x→0 t (e lascio perdere per ora la seconda parte) 3 x x∫ ∫ – 2…dt – – 2…dt == ln(t + 1) * 1 dt = ln(t +1) * t 1/(t+1) * t dt 3 3 x∫ ∫ – – 2…dt = t – – – 2…dt → f ’/f → ln |t + 1| →= t ln(t + 1) t/(t + 1) dt * ln(t + 1) t 1/(t + 1) 3 x x∫ → – – 2…dt → → t…dt – →t ln(t + 1) t + ln (t + 1)| 2 ln (t) dt ora passo a svolgere la seconda parte 3 3 x∫ → → t…dt – utilizzo l’integrazione per parti inserendo 1 come fattore moltiplicativo 2 ln (t) * 1 dt = anche qui 3 x x∫ ∫ = t…dt – – dt] = t…dt – – t…dt – 2[ln(t) * t 1/t * t 2[ln(t) * t 1 dt] = 2t ln(t) +2t = 3 3 x – – → –1,94= [(t + 1) ln(t + 1) t 2t ln(t) + 2t] = risolvendo con Torricelli-Barrow trovo 3 Il punto trovato è il più vicino all’asse Y ed è il punto di partenza dell’integrale.x0 t t

Studiare la funzione

F(0,x) = ∫ –e / (e 2) dt (15Giu2005)

• Denominatore ≠ 0: (e – 2) ≠ 0; ≠ 2; e ≠ ln(2) C.E.: e
• Intersezione con l’asse y: t = 0 t = 0 t t – –1 –1 y = e / (e 2) = 1 / (–1) = y =
• Intersezione con l’asse x: y = 0 y = 0 t t t–0 = e / (e 2) e = 0 Mai
• Segno: ln(2) tt l’asse t. e > 0 ++++++++++++++++++ prima di ln(2) la f è sottot t– dopo ln(2) la f è sopra l’asse t. e 2 > 0; e > 2; e > ln(2) -------------- +++++++++ – +
• Derivata: t t t t t t t t t 2 t– – – –e e (e 2) (e * e ) e * e 2e (e ) 2e------- = -------------------------------- = --------------------------- = ------------------ t t 2 t 2 t 2– – – –e 2 (e 2) (e 2) (e 2)
• Un’equazione è uguale a zero quando il numeratore è uguale a zero: Punti stazionari: 1 t t t– Infatti l’esponenziale non assume mai valore zero: 2e = 0; e = 0 / (–2); e = 0: mai!
• Segno della derivata: ln(2) t t t–Numeratore: 2e > 0; 2e < 0 / (–2); e < 0: ---------------------------- t 2 t t– – 2 ≠ 0; ≠ 2; e ≠ ln (2): Denominatore: (e 2) > 0; e e +++++++++++++++++
• Limiti: sempre decrescente –t -∞ lim e = e = 0 = 0 t -∞ x →-∞ – – – 2e 2 e 2 ln(2)- – -∞ lim e = 2 = 0 =–ln(2)- x →ln2 – – 2e 2 0+∞ t t t∞ lim e = applico DLH: derivo: la derivata di e = e : e = 1+∞ t t t x →+∞ – ∞ –e 2 la derivata di e 2 = e

Disegno la funzione integranda

1-1 ln(2)

Disegno l’integrale

ln(2)

È prolungabile in ln(2)?

• x0 t t t∫ – –lim e / (e 2) = lim ln |e 2| x x →ln2 x →ln2 0

Con Torricelli-Barrow

• – –t +– – – – ) = +∞ ln |e 2| ln (|1 2|) = ln (|2 2|) = ln(|0 |) = ln (0 Non è prolungabile!
• x1 [t] F(1,x) = ∫

Studiare la funzione

t ln(|t|) dt in (–1, 2) (01Feb2005)

• Per t ≠ 0 C.E.: argomento del logaritmo >0, perciò |t| > 0;
• Analizzo graficamente: [t] t elevato alla [t] = t * ln(|t|) Intervalli –1 –1 <t = t = 1/t * ln(|t|) / t t < 0 t 0 1 * ln(|t|) 0 < t < 1 1 2 t 1 t * ln(|t|) 1 < t < 2
• Intersezione con gli assi: iniziamo tra -1 e 0: y = 0 y = 0 ln(|t|) / t = 0 ln(|t|) = 0 mai vale -1 e 0 ma fuori intervallo
• Tra 0 e 1: ln|t| y = 0 y = 0 – 1 1 ln |t| = 0 t = 1, mentre t = -1 è fuori intervallo *
• Tra 1 e 2: y = 0 y = 0 0 per il primo fattore è fuori dall’intervallo: fuori CE. t * ln(|t|) = 0 t = è fuori dall’intervallo. 1 accettabile.
• Per il secondo fattore: ln|t| = 0 per -1, 1 ma -1 t = 1 y = 0 unica soluzione accettabile: unica intersezione.
• Intersezione asse y: t = 0 non accettabile, fuori CE: nessuna intersezione asse y. ln(|t|)
• Segno: -1 0 1 2 Numeratore: ----------------------+++++++ come vediamo anche dal successivo diagram-ma della f, l’integranda è positiva dove c’è + Denominatore: ----------- +++++++++++++– negativa dove c’è il segno –+
• Limiti: lim ln(1) = 0 = 0 (possiamo aiutarci a vedere dove tende il limite col diagramma *) x →-1 -1 -1 = +∞ lim ln(|t|) = -∞ – – x →0 t 0 –∞ lim ln(|t|) =+ x →0 2 * ln2 ≈ 1,5 lim t * ln(|t|) = (per poterlo rappresentare graficamente) x →2
• Derivata, punti stazionari e segno sono da calcolarsi in ogni intervallo come segue:
• Per -1 < t < 0:
• a. Derivata: ln (|t|) ’ = – –1/t * t 1 * ln (|t|) = 1 ln(|t|)2 2t t t “1” è l’esponente per ottenere “t”)
• b. Punti stazionari: (“e” è la base del logaritmo, 1 –1 ln(t) = 0; ln(t) = 1; log |t| = 1; e = |t|; t = ±e entrambi fuori dal dominio. e
• c. Segno: –1 ln(t) > 0; ln(t) < 1; t < e; e = 2,71 è sempre positivo.
• Per 0 < t < 1: (ln(|t|))’ = 1/t
• a. Derivata:
• b. Punti stazionari: 1/t = 0; 1 = 0; mai.
• c. Segno: 1/t > 0; 1 > 0 sempre; t > 0 sempre.
• Per 1 < t < 2: (t * ln(|t|))’ = 1 * ln(|t|) +
• a. Derivata: t * 1/t = ln(|t|) +1–1–1;
• b. Punti stazionari: ln(|t|) + 1 = 0; ln(|t|) = e = |t|; |t| = 1/e; |t| = ±1/e nessuna soluzione accettabile –1;
• c. Segno: ln(|t|) + 1 > 0; ln(|t|) > t > 1/e; t > 0,3 circa, quindi sempre positiva nell’intervallo –1/e t < non accettabile.
• Disegno la funzione integranda:
• -1 1
• La funzione è prolungabile in 0?
• x1 x1 x1 ∫ – – ∫ – lim ln(t) 1 dt = = lim t * ln(t) t * 1/t dt = lim t * ln(t) t| = : risolvo per parti applico DLH x →0 x →0 x →0 + + ++ + + – – – – – –1) lim (x * ln(x) x) (ln(1) 1) = lim 0 * ln(0 ) 0 (0 = 1 è prolungabile in 0! x →0 →0 + + x
• La funzione è prolungabile a sinistra di 0?
• x-1 x-1 x-1 x-1 ∫ – – ∫ ln(|t|) * 1/t dt = lim 2∫ lim 1/t ln(|t|) dt = = lim ln(|t|) * ln(t) | 1/t * ln(|t|) = risolvo per parti – – x →0 x →0 x →0 2 2 – +∞ = +∞ → non è prolungabile a sinistra di zero. lim ln (|t|) x = : ln (|t|) 0 = con Torricelli-Barrow – x →0 2 -1 2 21 1 2
• Integrale: F(1,x)

F (6,x)

= ∫ ln(t)/√t dt x > 0 (15Feb2006)

• C.E.: ln(t) > 0: argomento del logaritmo > 0; t > 0 Denominatore ≠ 0; √t ≠ 0; t ≠ 0
• ln(t)/√t = 0; Intersezione con gli assi: f = 0; ln(t) = 0; t = 1
• ln(t)/√t > 0; Segno: f > 0; 0 1 tra 0 ed 1 la funzione integranda è sotto l’asse t, Numeratore: ln(t) > 0; t > 1 ----------+++++++ √t > 0; per t > 1 la f è sopra l’asse t. Denominatore: t > 0 +++++++++++++ – +
• Limiti: + + –∞ / –∞ lim ln(t) = lim ln(t) = lim ln(0 ) = 0 = +√t √t √0 x →0 x →0 x →0 + + + ln(∞) ∞ lim ln(t) = lim = lim = Applico DLH: Ho una forma indeterminata e il limite che tende a infinito: √t √∞ ∞ x →+∞ x →+∞ x →+∞ Derivo: +* 2√t = 2√t 2√t 2√t sostituisco t con ∞: 1/t = 1 = Razionalizzo: * = 2 = n = 0 1/ 2*√t*1 2√t √t ∞ t t t
• Derivata: ‘ = (1/t * √t) – (ln(t) * 1/ 2√t) (2√t – √t * ln(t)) / 2t – √t √t – ln (t) = = 2√t * ln(t) * 1 = (2 ln(t) * 1 = √t t t 2t t 2√t√t t – 2 ln(t)3/2 ½ 12t t * t
• = 0 → Punti stazionari della derivata (frazione numeratore = 0) 2– – – ln(t) –2; = t ≈ 7,42 ln(t) = 0; 2 ln(t) = 0; = ln(t) = 2; e3/2 2t
• Segno della derivata: – – – ln(t) –2; 2 ln(t) > 0; 2 ln(t) > 0; > ln(t) < 2; t < 7,4 3/2 3/2 2t 2t > 0: Sempre. 7,4 Numeratore: +++++++----------- Denominatore: +++++++++++++ – +

Disegno la funzione integranda

f +01 7,4-∞

È prolungabile l’integrale nell’origine?

• Calcolo il limite per x che tende a 0+ dell’integrale o Se viene un numero finito allora è prolungabile in quel punto.

Poiché è prolungabile, disegno la funzione integrale: F (6,x)

1 6 – –(t)+x1 +F(1,x) = ∫ /√|t| + (t)

Studiare la funzione

(sign(t) e ) dt (18Gen2005)*

• Denominatore ≠ radice ≠ 0; perciò |t| ≠ C.E.: 0, argomento della 0.
• Analizzo graficamente: – + +– (t)sign(t) (t) |t| -t-t-1 – –(t)++/ √|t|sign(t) + (t) e = Risultato Intervalli*
• –1 / √–t –1 / √–t –∞< t < 0: t < 0+ 0 0 =* –t –t0 / √|t| 0 < t < ∞: t > 0+ t e = t e*
• Intersezione con gli assi per t < 0:
• a. Asse y: t = 0 t = 0 –1 / √–0 = y y = impossibile non ci sono intersezioni
• b. Asse t: y = 0 y = 0 –1 / √–0 = y -1 = 0 mai.
• Intersezione con gli assi per t > 0: e a. Asse y: t = 0 t = 0 1-00 * e = y y = 0
• b. Asse t: y = 0 y = 0 –t -t t e = 0 t = 0; e = 0 mai. (ma la prolungabilità non si può calcolare per sostituzione)*