Studio della derivabilità e della continuità di una funzione

Derivabilità e continuità di una funzione

DERIVATE IN SINTESI

Sia f(x) una funzione definita in [a,b] e c ∈ (a,b),

con h ∈ ℝ tanto piccolo, c ± h ∈ [a,b].

DEFINIZIONI

RAPPORTO INCREMENTALE relativo a (c) è il numero:

^{f(c+h) - f(c)} / _h

Interpretazione geometrica del rapporto incrementale:

^Δy / _Δx = ^{f(c+h) - f(c)} / _h : coefficienti angolari della secante. Assegnato il punto A e B con A (c, f(c)) e B (c+h, f(c+h)), il rapporto incrementale è il coefficiente angolare della retta che congiunge i punti A e B.

y₀ = mx+q, m = f’(a)

La DERIVATA di f(x) in c è il limite, se esiste ed è finito, per h → 0 del rapporto incrementale relativo a f(c) e comunque come f(c)

f’(c) = ^lim_h→0 ^{f(c+h) - f(c)} / _h = ^lim_Δx→0 ^Δy / _Δx

Interpretazione geometrica della derivata di un punto c

è il coefficiente angolare della retta tangente m al grafico di f(x).

Data la funzione y=f(x), in un punto c, la derivata s’ampia e: f’(c) = limh→0 f(c+h) - f(c) / h se il destro è: f’(c) = limh→0+ f(c+h) - f(c) / h

Modulo 2

Studio di una funzione e suo dominio

y = √(4 - |x| + 3x)

u = x ≥ 0

• per x > 0
• y = √(4 + 2x) → y = √(4 + 2x)
• f(0) = √2
• per x < 0
• y = √(4 + x + 3x) → y = √(4(1+x)) = 2√(1+x)
• f(0) = 2

in x = 0 è continua

y' = -x / 2√(4+2x) → y' = 1 / √(4+2x) per x > 0

f'(0) = 1 / √2

y' = +1 / 2√(1+x) = 1 / √(1+x)

f'(0) = 1 / √1 = 1

f'(0) ≠ f'(0) → non è derivabile

f'(0) = 1

f'(0) = 1 / 2

y = 2√(1+x)

y = √(4+2y)