Studio della derivabilità e della continuità di una funzione

Derivabilità e continuità di una funzione

Definizioni

Sia f(x) una funzione definita in [a,b], e c ∈ (a,b), con h ∈ ℝ. Il rapporto incrementale relativo a c è il numero:

f(c+h) - f(c) / h

Interpretazione geometrica del rapporto incrementale

• Δy = f(c+h) - f(c)
• Δx = h

Si pone A e B con A (c, f(c)) e B con f(c+h) rappresenta il coefficiente angolare della retta per A e B.

y₁ = mx + q

m = f'(c)

La derivata di f(x)

m c è il numero nel senso del limite, per h > 0, del rapporto incrementale relativo a f(c):

f'(c) = lim (f(c+h) - f(c)) / h _h→0 = lim Δy/h _Δx→0

Interpretazione geometrica della derivata

La derivata in un punto è il coefficiente angolare della retta tangente al grafico di f(x). Data la funzione y = f(x), in un punto C, la derivata assume il valore:

f'(Θ) = lim (f(c+h) - f(c)) / h _h→0 se h da destra e f'(c) = lim (f(c+h) - f(c)) / h _h→0.

Condizioni di derivabilità

Una funzione è derivabile in un punto se esistono, finiti ed uguali tra loro, le derivate destra e sinistra.

f(x) è derivabile in c <=> f'(c) = f'(c)_l

Una funzione è derivabile in un intervallo chiuso e limitato [a, b] se è derivabile in tutti i punti interni di (a, b) e se esistono finiti limiti a la derivata destra e sinistra un b la derivata si annulla:

∃ f'(a)₊ = f'(b)₋

Punti di non derivabilità

Sono punti in cui f(x) non è derivabile. Se f'(c)_l ≠ f'(c)_r ≠ ∞ allora f(x) ha un flesso al top verticale nel punto c:

• (a) flesso a scendere
• (b) flesso ascendente o discendente

f'_l(c) = −∞     f'(c) = ∞ = −f'_r(c)_l

f'(c_l) → ∞
f'(c_r) = ∞

Curva rascendente, curva ascendente. Se f'(x) ≠ f'(c) e almeno uno delle due è finita, allora f(x) ha in c un diverso e solo una finita.

Equazione della tangente al grafico in un punto

y = f(x) P {x₀, f(x₀)}

t: y - f(x₀) = f'(x₀)(x−x₀)

Punto stazionario

È un punto in cui f'(x) = 0 (MAX, MIN fermo out) dove la tangente nel punto stazionario ha m = f'(x) = 0.

Differenziale

Il differenziale di una funzione f(x) relativo al punto x e all'incremento Δx è il prodotto della derivata di f calcolata in x per l'incremento Δx. Si indica con d f(x) oppure dy = f'(x)Δx.

Il differenziale dy = f'(x)dx

Il differenziale dy è la variazione dell'ordine alla tangente alla curva: quanto mi feudo della.

Ogni punto della curva ha ascissa x; il punto seguente ha ascissa (x + Δx).

Sostituire all'incremento Δy il suo differenziale significa, da un punto di vista geometrico, costruire al grafico della funzione la sua tangente.

f'(x) = m
P, Q = _QR/_PR = dy/Δx

f'(x) = _dy/_dx → dy = f'(x) . dx

Teorema

Continuità di una funzione derivabile

Se f(x) è derivabile in un punto allora è anche continua lì.

Derivata → continua (continua il meccanismo ma non sufficiente)

Continua → Derivata

N.B.: esistono funzioni f(x) continue ma non derivabili in alcuni punti, ad esempio x = 0 non serve, x = 0 non derivabile.