Studio di Funzione con parametri da determinare

ANALISI MATEMATICA

Studi di Funzioni

Esercizi svoltiVerso l’esame

TROVA PER QUALI VALORI DEI PARAMETRI a E b LA CURVA DI EQUAZIONE y = ^{x2 + ax + 1}/_{x + b} HA PER ASINTOTI LE RETTE DI EQUAZIONI x = 3 E y = x. RAPPRESENTA LA FUNZIONE y = f(x) OTTENUTA. UTILIZZANDO IL GRAFICO PRECEDENTE, RAPPRESENTA IL GRAFICO DI y = 1/f(x).

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Verso l’esame

RISOLVERE PROBLEMI

Trova per quali valori dei parametri a e b la curva di equazione y = ^{x² + ax + 1}/_{x + b} ha per asintoti le rette di equazioni x = 3 e y = x. Rappresenta la funzione y = f(x) ottenuta. Utilizzando il grafico precedente, rappresenta il grafico di y = ¹/_f(x).

y = ^{x2 + ax + 1}/_{x + b}

per quei valori di "a" e "b" per avere asintoti :

asintoti : y = x e x = 3x = 3 è asintoto verticale :

lim f(x) = ∞x -> 3

lim_{(x -> 3)} ^{x2 + ax + 1}/_{x + b} = ∞

^{x + b}/_{x + b} -> 0

9 + 3a + 1 = ∞3 + b ↪ 0   b = -3

y = x è asintoto obliquo -> y = mx + qm = 1    q = 0

m = lim ^{2x + a}/_{x ↪∞} = 1

Lim_f ^{x2 + ax + 1}/_{x² + 3x} = ¹/_xx ↪∞

lim_{(x ↪∞)} ^{x2 + ax + 1}/_{x² + 3x} = 1

l'equazione tra mfmili dello stesso ordineconverge ad m = 1q = 0 ↪ lim ^{(f(x) - mx)}/_{x ↪∞} = 0

lim_{x ↪∞} ^{x2 + ax + 1}/_{x - 1} = 0

^{a + 3}/_{x +} -↪ 0

x -> ∞ 

x -> 3 = 0 a = -3

f(x) = x² - 3x + 1-------x - 3

La funzione è definita in R - {3}

Soltanto tre (2 - asintoto).

Studiamone il SEGNO e gli ZERI.

f(x) > 0

x² - 3x + 1x - 3 > 0

r ≥ 0

x² - 3x + 1 ≥ 0Δ = 9 - 4 = 5x < 3 - √52√ x > 3 +√ 52x = -3 ± √52

D ≥ 0

x > 3

0 3 - √5 3 + √5 3

f(x)- + - +

(x) F.A Gli Zeri: x = 3 ± √5

Intersezione con l'asse delle ordinate| y - x² - 3x + 1| x - 3 =>| x = 0 =>| y = -1|3|| x = 0=> A (0,-1)| 3

(x) Interseca il semiasse negativo delleordinate.

Derivata Prima

f(x) = (x² - 3x + 1) / (x - 3)

f'(x) = [(2x - 3)(x - 3) - (x² - 3x + 1)(1)] / (x - 3)²

f'(x) = (2x² - 6x + x² - 3x - 1) / (x - 3)²

f'(x) = (x² - 6x + 8) / (x - 3)²

Zeri e Segno di f'(x)

(x² - 6x + 8) / (x - 3)² > 0

((x - 2)(x - 4)) / (x - 3)² > 0

x = 2 punto di max relativo

x = 4 punto di min relativo

Derivata Seconda

f''(x) = (x² - 6x + 8) / (x - 3)²

f''(x) = [(2x - 1)(x - 3)² - (x² - 6x + 8)] / (x - 3)³

y ¹ = 2(x-3) ² (x-3) = x ² + 6x - 8

(x-3) ³

= 2(x ² ) ² - x ² + 6x - 8

(x-3) ³

= 2x ² - 12x + 18 - x ² + 6x - 8

(x-3) ³

= x ² - 6x + 10

(x-3) ³

SEGNO E ZERI DI f ¹(x)

x ² - 6x + 10

(x-3) ³ ≥ 0

x ² - 6x + 10 = 0

Δ = 36 - 40 ≤ 0

∧ x ₁ , x ₂ :

f ¹ (x) = 0

Non ci sono punti di flesso.

GRAFICO

A (0; 1 ₃ )

B (3-√ ₅ ; 0)

C (3 + √ ₅ ; 0)

Rappresenta il grafico di

¹/_f(x)

f(x) = ^(x-3)/_x²-3x+1

x² - 3x + 1 = 0

in ^{3 ± √5}/₂

in prossimità due rami

¹/_f(x) = ¹/₀

f(x) < 0   f(x) > 0

x < 10   x < 10

0⁺   0^-

→   x = ^{3 ± √5}/₂ sono 2 asintoti verticali

quando   f(x) → +∞ → ¹/_f(x) → 0⁺   y = 0

f(x) → -∞ → ¹/_f(x) → 0^-   A.oriz

f(2) = k → ¹/_(k) → 1 → la 2 funzioni hanno la stessa immagine

¹/_(x-1) + ¹/₅ = -3