Matematica - studio di funzione completo

Studio di funzione completo

Insieme di definizione

• Trovare campo di esistenza, dominio, codominio, immagine.

Parità della funzione

• Pari se f(x)=f(-x)
• Dispari se f(-x)=-f(x)

Intersezioni con gli assi

• Asse x: pongo y=0
• Asse y: pongo x=0

Segno della funzione

f(x)>0

Asintoti

• Studio il comportamento della funzione nei punti di discontinuità.
• x->xo+ e x->xo-:
• Verticali: lim f(x) = +/- inf; oppure lim f(x) = +/- inf. xo è un punto di non definizione (singolarità). I limiti devono essere infiniti.
• Orizzontali: lim f(x) = m oppure lim f(x) = l. In questo caso i limiti devono esistere ed essere finiti reali (anche m=l).
• Obliqui: se ci sono asintoti orizzontali non ci sono asintoti obliqui e viceversa. La funzione deve essere definita a +/- infinito.

Devo trovare la retta corrispondente all'asintoto obliquo nella forma f(x)=mx+q.

m corrisponde al coefficiente angolare della retta, ovvero la pendenza f(x)/x (oppure y/x). Calcolo quindi lim f(x)/x il quale deve essere finito e reale x->+/- inf.

q corrisponde all'intercetta della retta sull'asse delle ordinate. Calcolo lim f(x)-mx e anche questo deve essere finito e reale x->+/- inf.

Derivata prima

La calcolo e successivamente la pongo uguale a 0 per analizzare la crescenza o la decrescenza della funzione e trovare i possibili punti di massimo, minimo o flesso a tangente orizzontale.

• Se la derivata prima è > 0 fino al punto e < 0 successivamente, allora il punto sarà un massimo relativo. Poi si verifica se è massimo assoluto.
• Se la derivata prima è < 0 fino al punto e > 0 successivamente, allora il punto sarà un minimo relativo. Poi si verifica se è minimo assoluto.
• Se la derivata prima è > (o <) 0 fino al primo punto e > (o <) 0 successivamente, allora il punto sarà un flesso a tangente orizzontale.
• Se il punto non è un punto di massimo, minimo o flesso in quanto punto di non derivabilità, potrebbe però essere un:
• x->xo+ e x->xo-:
• Punto angoloso: se lim f'(x) = m oppure lim f'(x) = l (con m diverso da l).
• Flesso a tangente verticale: se lim f'(x) = +/- inf e lim f'(x) = +/- inf. Se tende a + infinito sarà un flesso ascendente. Se tende a – infinito sarà un flesso discendente.
• Punto di cuspide: se lim f'(x) = + inf e lim f'(x) = - inf, il punto è una cuspide con vertice in alto. Se lim f'(x) = - inf e lim f'(x) = + inf, è una cuspide.