Matematica - studio di funzione completo

Studio di funzione completo:

Insieme di definizione: trovare campo di esistenza, dominio, codominio, immagine.

• Parità della funzione:

• Pari se f(x)=f(-x)

◦ Dispari se f(-x)=-f(x)

◦

Intersezioni con gli assi:

• Asse x: pongo y=0

◦ Asse y: pongo x=0

◦

Segno della funzione: f(x)>0

• Asintoti: studio il comportamento della funzione nei punti di discontinuità

• x->xo+ x->xo-

Verticali: lim f(x) = +/- inf oppure lim f(x) = +/- inf. xo è un punto di non

◦ definizione (singolarità). I limiti devono essere infiniti.

Orizzontali: lim f(x) = m oppure lim f(x) = l. In questo caso i limiti devono

◦ x->+inf x->-inf

esistere ed essere finiti reali (anche m=l).

Obliqui: se ci sono asintoti orizzontali non ci sono asintoti obliqui e viceversa. La

◦ funzione deve essere definita a +/- infinito.

Devo trovare la retta corrispondente all'asintoto obliqui nella forma f(x)=mx+q.

m corrisponde al coefficiente angolare della retta ovvero la pendenza f(x)/x (oppure y/x).

Calcolo quindi lim f(x)/x il quale deve essere finito e reale.

x->+/- inf

q corrisponde all'intercetta della retta sull'asse delle ordinate. Calcolo lim f(x)-mx e

x->+/- inf

anche questo deve essere finito e reale.

Derivata prima: la calcolo e successivamente la pongo uguale a 0 per analizzare la

• crescenza o la descrescenza della funzione e trovare i possibili punti di massimo, minimo o

flesso a tangente orizzontale.

Se la derivata prima è > 0 fino al punto e < 0 successivamente allora il punto sarà un

massimo relativo. Poi si verifica se è massimo assoluto;

Se la derivata prima è < 0 fino al punto e > 0 successivamente allora il punto sarà un minimo

relativo. Poi si verifica se è minimo assoluto ;

Se la derivata prima è > (o <) 0 fino al primo punto e > (o <) 0 successivamente allora il

punto sarà un flesso a tangente orizzontale;

Se il punto non è un punto di massimo, minimo o flesso in quanto punto di non

◦ derivabilità potrebbe però essere un:

x->xo+ x->xo-

Punto angoloso: se lim f'(x) = m oppure lim f'(x) = l (con m diverso da l).

▪ x->xo+ x->xo-

Flesso a tangente verticale: se lim f'(x) = +/- inf e lim f'(x) = +/- inf. Se

▪ tende a + infinito sarà un flesso ascendente. Se tende a – infinito sarà un flesso

discendente. x->xo- x->xo+

Punto di cuspide: se lim f'(x) = + inf e lim f'(x) = - inf, il punto è una

▪ x->xo- x->xo+

cuspide con vertice in alto. Se lim f'(x) = - inf e lim f'(x) = + inf, è una

cuspide c