Studio della derivabilità e della continuità di una funzione - Esercizio 3

Determinare i punti di discontinuità e di non derivabilità e indicarne il tipo

1. y =

   • 4 se x ≤ 0
   • 4(x² - 1) se 0 < x < 1
   • ln x se x ≥ 1

2. y =

   • |x| se x < 1
   • 1 - x se x ≥ 1 ∧ x ≠ 2
   • x - 2 se x = 2

3. y =

   • x ln x² se x ≠ 0
   • 0 se x = 0

4. y =

   • x - 1 se x ≤ 2 ∧ x ≠ 1
   • √(9 - x²) se 2 < x ≤ 3

69

y =

• 4 (x² - 1) se x ≤ 0
• 0 se 0 < x < 1
• ln x se x ≥ 1

70

y =

• x - 1 se x ≤ 1
• x³ - 3x se 1 < x < 2
• ln x² se x ≠ 0
• 0 se x = 0

72

y =

• √9 - x² se x ≥ 2 ⋀ x ≠ 1
• x³ se 2 < x ≤ 3

73

y = e^{x ∛(x - 1)²} [x = 1 cuspide]

74

y = √1 - x / 3x [x = 0 punto di discontinuità di II specie, x = 1 flesso a tangente verticale]

75

y = ∛x² − x³ [x = 0 cuspide, x = 1 flesso a tangente verticale]

m^o 73

y = e^x ³√(x-1)

D ∈ R

y' = e^x ³/√(x-1) + e^x 2/³√(x-1)

y' = e^x (3(x-1) + 2)

y' = e^x (3 ³√(x-1)

y' = e^x (3x-1)

 3 ³√(x-1)

D¹ = R\{1}

lim y' = e^g(x) = - ∞ non deriv. in x=1

x -> 1 ³ . 0⁺   x 1 ind. punto di cuspide

lim y' = 2 e = +∞

x -> 1⁺   ³.0⁺

m^o 74

y = ³√1-x   

               ³x

D = R\{0}

lim                0 - ∞ non

x -> 0⁻  ³√x  

            3x                          x = 0 disc. di 1 specie

lim        =    + ∞

x -> 0⁺  ³√1-x   

               3x  

y' =           =                    9 x 2

          1/3 ³√(1-x)²    ³√(1-x)¹ . 3

    =   =

−3x−3√1−x                          6x−3                                      9

3 ³√x −3                            3 ³√(1-x)²                                                    ³√(1-x)                1/        9x²

D = R\{0, 1}