Studi di funzione misti

D = ;+

2 2

Simmetrie: −

tan(−x) tan x

− −

e 1 e 1

f (−x) = = − tan x

tan(−x) e + 1

e + 1 tan x tan x

tan x

−

− e 1 e

1 1 1 e

− ·

f (−x) = 1 + 1 =

: =

tan x tan x tan x tan x tan x

e e e 1 + e 1 + e

−f

f (−x) = (x)

f(x) è dispari, per comodità la studiamo solo nell’intervallo [0;pi/2). Per x negative,

la curva sarà simmetrica rispetto all’origine.

Intersezioni con gli assi: → ∈

f (0) = 0 (0; 0) f (x)

Segno: π

tan x

→ → →

N um; 0 e ; 1 tan x; 0 S = 0; 2

π π

tan x

→ −1 → −

Den; 0 e : S = ; +

2 2

π

→ ∈

f (x) ; 0 x 0; 2

quindi per le x positive del dominio la funzione è positiva. Per simmetria dalla parte

delle x:0 sarà negativa. 71

Limiti: ∞

h i

lim f (x) = ∞

π

x→ 2 1 1

tan x

· − −

e 1 1

tan x tan x

e e

lim f (x) = lim = lim =1

1 1

tan x ·

π π π

e 1 + 1 +

x→ x→ x→

tan x tan x

e e

2 2 2

Per simmetria: −1

lim f (x) =

π

x→− 2

Derivate: tan x − π π

e 1

∈ −

, con x ;+

f (x) = tan x

e + 1 2 2

Facendo il calcolo della derivata prima otteniamo:

tan x

2e

0

f (x) = 2

2 tan x

·

cos x (e + 1)

π π

0 ∀x ∈ −

f (x) ; 0 ; +

2 2

Perciò in tutto il dominio f(x) è crescente. Omettiamo il calcolo della derivata

seconda, e riportiamo il grafico ottenuto con

72

4.8 Esercizio 95

Studiare la seguente funzione: 2

−

x (x 1)

f (x) = 2

(x + 1)

Dominio: − {−1}

D = R

Simmetrie: 6

f (−x) = f (x)

6 −f

f (−x) = (x)

f(x) non è ne pari ne dispari.

Intersezioni con gli assi: → ∈

f (0) = 0 (0; 0) f (x)

2

→ − → → ∈

f (x) = 0 x (x 1) = 0 x = 0 , x = 1 (1; 0) f (x)

Segno: →

f (x) ; 0 x; 0

→

f (x) ; 0 x; 0

73

Limiti: ±∞

lim f (x) =

x→±∞ f (x)

m = lim =1

x

x→±∞ 3 2 3 2

− − − −

x 2x + x x 2x x

−

q = lim f (x) mx = lim 2

x + 2x + 1

x→±∞ x→±∞ 2

−4x −4

q = lim =

2

x + 2x + 1

x→±∞

La funzione ha come asintoto obliquo la retta:

−

y = x 4

Calcoliamo ora:

−4 −∞

=

lim f (x) = +

0

±

x→−1

quindi x=-1 è un asintoto verticale.

Derivate: 2

−

x (x 1)

f (x) = 2

(x + 1)

Facendo il calcolo della derivata prima otteniamo:

2 2

− −

x 1 x + 4x 1

0

f (x) = 4

(x + 1)

0 2 2

≥ → − − ≥

f (x) 0 x 1 x + 4x 1 0

Risolvendo quest’ultima disequazione otteniamo:

√ √

i i

0 −∞; −2 − ∪ −1; −2 →

≥ →

f 5 + 5 [1; +∞) f (x) crescente

(x) 0 √

√

0 −1 ∪ −2 − →

→ −2 − 5; 5; +1 f (x) decrescente

f (x) ; 0

quindi: √

−2 ±

M AX per x = 5

M IN (1; 0)

Omettiamo il calcolo della derivata seconda, e riportiamo il grafico ottenuto con

74

75

4.9 Esercizio 96

Studiare la seguente funzione: 1

x+

f (x) = 2 x

La funzione può essere scritta anche così: 2

x +1

f (x) = 2 x

Dominio: 6

x = 0

− {0}

D = R

Simmetrie: 2

x +1

−

f (−x) = 2 x

6

f (−x) = f (x)

6 −f

f (−x) = (x)

f(x) non è ne pari, ne dispari.

Intersezioni con gli assi: ∈

x =0 / D

→

f (x) = 0 S = ÿ

Segno: ∀x ∈

f (x) ; 0 D

76

Limiti: 1

x+

lim f (x) = lim 2 = +∞

x

x→+∞ x→+∞

f (x) 1

x+

lim = +∞

= lim 2 x

x

x→+∞ x→+∞

Non c’è asintoto obliquo per x che tende a +infinito.

1

x+ +

lim f (x) = lim 2 = 0

x

x→−∞ x→+∞

Per x che tende a -infinito, y=0 è asintoto orizzontale.

1

x+

lim f (x) = lim 2 = +∞

x

+ +

x→0 x→0

Per x che tende a 0 da destra, x=0 è asintoto verticale.

1

x+

lim f (x) = lim 2 = 0

x

− −

x→0 x→0

Per x che tende a 0 da sinistra, la funzione si "pianta" nell’origine.

Derivate: 2 −

x 1

2

x +1

0 · ·

ln 2

f (x) = 2 x 2

x

0 2

≥ → − ≥ → ≤ −1 ∨

f (x) 0 x 1 0 x x; 1

Quindi per x;-1 e per x:1 la derivata è positiva e la funzione crescente, tra -1 e 1 la

derivata è negativa e la funzione decrescente. In x=-1 e x=1 la derivata si annulla,

quindi:

1

−1;

M AX 4

M IN (1; 4)

Calcoliamo l’inclinazione della tangente della funzione per x che tende a zero da

sinistra: 0

lim f (x) = 0

−

x→0

quindi la tangente è orizzontale.

Derivata seconda: 2 −

x 1

2

x +1

0 · ·

f (x) = 2 ln 2

x 2

x

2 2

x +1 x +1

2

2 3 3

−1 −1 −2x

x x 2x +2x

· · · ·

ln 2 2 +2

x x

2 2 4

00 x x x

·

f (x) = ln 2 4

x

2

x +1

·

ln 2 2 x

00 4 2

· − ·

f (x) = ln 2 x 2 ln 2 x + ln 2 + 2x

8

x 77

00 4 2

≥ → · − · ≥

f (x) 0 ln 2 x 2 ln 2 x + ln 2 + 2x 0

00 4 2

≥ → · − · ≥ − −

f (x) 0 ln 2 x 2 ln 2 x ln 2 2x

Per via grafica otteniamo la posizione approssimata dei due flessi

78

4.10 Esercizio 97

Studiare la seguente funzione: x−2

f (x) = e x

Dominio: 6

x = 0

− {0}

D = R

Simmetrie: x+2

f (−x) = e x

6

f (−x) = f (x)

6 −f

f (−x) = (x)

f(x) non è ne pari, ne dispari.

Intersezioni con gli assi: ∈

x =0 / D

→

f (x) = 0 S = ÿ

Segno: ∀x ∈

f (x) ; 0 D

79

Limiti: lim f (x) = e

x→±∞

y=e è quindi un asintoto orizzontale. +

lim f (x) = 0

+

x→0

Per x che tende a 0 da destra, la funzione si pianta nell’origine.

lim f (x) = +∞

−

x→0

Per x che tende a 0 da sinistra, x=0 Ë asintoto verticale.

Derivate: x−2

2 2e x

x−2

0 ·

f (x) = e =

x 2 2

x x

0 ≥ ∀x ∈

f (x) 0 D

Quindi per x diverso da zero la derivata è sempre positiva e la funzione sempre

crescente.

Calcoliamo l’inclinazione della tangente della funzione per x che tende a zero da

destra: 0

lim f (x) = 0

+

x→0

quindi la tangente è orizzontale.

Derivata seconda: x−2

2e x

0

f (x) = 2

x

x−2 x−2

2e 2

x

· − ·

2 x 2e 2x

x

2

00 x

f (x) = 4

x

x−2 x−2

−

4e 4xe

x x

00

f (x) = 4

x

x−2 −

(1 x)

4e x

00

f (x) = 4

x

00 ≥ → − ≥ → ≤

f (x) 0 1 x 0 x 1

Quindi, nel dominio, per x<1 la funzione è convessa, per x>1 la funzione è concava.

Si ha:

1

F 1; e

80

81

4.11 Esercizio 98

Studiare la seguente funzione: −

ln x 1

f (x) = −

1 x

Dominio: x; 0

6

x = 1

∪

D = (0; 1) (1; +∞)

Simmetrie: 6

f (−x) = f (x)

6 −f

f (−x) = (x)

f(x) non è ne pari, ne dispari.

Intersezioni con gli assi ∈

x =0 / D

f (x) = 0

f (x) = 0 → ∈

→ (e; 0) f (x)

x = e

ln x = 1

Segno: →

N um; 0 x; e

→ → ∈

f (x) ; 0 x (1; e)

→

Den; 0 x; 1

Tra x=0 e x=1 la funzione è negativa, tra x=1 e x=e la funzione è positiva, per x;e

di nuovo negativa. 82

Limiti: ∞

h i

lim f (x) = ∞

x→+∞

Con De L’Hopital: 1 −

−

lim f (x) = lim = 0

x

x→+∞ x→+∞

y=0 è un asintoto orizzontale. −1 ±∞

=

lim f (x) = lim ∓

0

± ±

x→1 x→1

x=1 è un asintoto verticale. −∞

lim f (x) =

+

x→0

Anche x=0 è un asintoto verticale.

Derivate: −

ln x 1

f (x) = −

1 x

1 1

− − −

1 + ln x 1 + ln x 2

0 x x

f =

(x) = 2 2

− −

(1 x) (1 x)

1

0 ≥ −

≥ → ln x + 2

f (x) 0 x

Per via grafica: Tra le curve ci sono due punti di intersezione, e possiamo dedurre

un massimo e un minimo: −3,

M AX (0, 3; 1)

−0,

M IN (6, 4; 2)

Omettiamo il calcolo della derivata seconda.

83

84

4.12 Esercizio 99

Studiare la seguente funzione: x

f (x) = x −

e 1

Dominio: x x

− 6 → 6 → 6

e 1 = 0 e = 1 x = 0

− {0}

D = R

Simmetrie: 6

f (−x) = f (x)

6 −f

f (−x) = (x)

f(x) non è ne pari, ne dispari.

Intersezioni con gli assi: ∈

x =0 / D

f (x) = 0 → ∈ →

x =0 / D S = ÿ

x =0

s

Segno: →

N um; 0 x; 0

→

f (x) ; 0 x

→ →

Den; 0 e ; 1 x; 0

∀x ∈

f (x) ; 0 D

85

Limiti: +

lim f (x) = 0

x→+∞

y=0 è un asintoto orizzontale per x che tende a + infinito.

−∞

lim f (x) = = +∞

−1

x→−∞ f (x) 1 −1

m = lim = =

−1

x

x→−∞ x

x xe

−

q = lim f (x) mx = lim + x = lim

x x

− −

e 1 e 1

x→−∞ x→−∞ x→−∞

x

xe x 1

q = l