Studi di funzione misti

Esercizio 89

Studio della funzione

Studiare la seguente funzione: √3 x² f(x) = x e

Dominio

Dominio: D = R

Simmetrie

√q 3² −x −x³ 2f(−x) = (−x) e = x e⁶ f(−x) = f(x)⁶ −ff(−x) = (x) f(x) non è né pari, né dispari.

Intersezioni con gli assi

x = 0 → ∈ (0, 0) f(x) = 0

Segno

≥ ∀ x ∈ f(x) ≥ 0 R

Limiti

• lim f(x) = +∞ x→+∞
• Per x che tende a + infinito non c’è asintoto obliquo.
• lim f(x) = [∞ 0] x→−∞
• y = 0 è un asintoto orizzontale.

Derivate

2 x · f(x) = x e³ √r² 2 121 30 − x x x³ 2 · · · f(x) = e + x e = e x³ +3 3³ 3 x √r² 1 830 23 2 ≥ → · ≥ → ≥ −f(x) 0 + x 0 x³ x 27x³⁸ 27x + 82 → ≥ → ≥x + 0 027x x² ≥ → ≥ −Num 0 x³ →Den; 0 x; 020 ≥ → ≤ − ∨ f(x) 0 x x; 03

Quindi per x 2/3 e per x:0 la funzione è crescente. Tra -2/3 e 0 la funzione è decrescente. In x=-2/3 abbiamo quindi un massimo, e in O un minimo:

√r² 4 2 −3− · MAX; e³ 3 9 MIN (0, 0)

In x=0 la funzione passa da decrescente a crescente, ma la derivata non esiste. Pertanto, calcoliamo:

0 −∞ lim f(x) =− x→0 0 lim f(x) = +∞+ x→0 quindi (0, 0) è una cuspide.

Derivata seconda

√r r² 22 1 1 1300 x³ 3 32 −· · ·x +f(x) = e + 43 x 9 x³ x √r r⁴ 1 12300 x³ 32 −· ·f(x) = e x+ 43 x 9 x √ rr 1 11 300 x³³ 2 − ·· · x²f(x) = e 12 + 9 49 x x √ rr 1 1300 33² − · ≥≥ → · · x² 0 f(x) 0 12 + 9 4x x r 1 13 →t = x = 3x t900 4− ≥≥ → 2t 0f(x) 0 12t + 2t⁰0 6 3 ≥ → − − ≤f(x) 0 2t 12t 9 0 √√− 6 6+3 66 300 33 ∧ ≤≥ → ≥ tf(x) 0 t² 22200 √ √∨ ≥≥ → ≤ xf(x) 0 x −6 3 6 6+3 6

Razionalizzando: √ √−2 − −2 +6 600 ≥ → ≤ ∨ ≥f(x) 0 x x³ 3

Quindi tra questi due valori la funzione è concava (in O non esiste), e per valori esterni è convessa. Quindi si hanno punti di flesso per: √−2 − 6x = F₁ 1 3 √−2 6+x = F₂

Esercizio 90

Studio della funzione

Studiare la seguente funzione: p² − −f(x) = x x 1

Dominio

2 − ≥ → ≤ −1 ∨ ≥x 1 0 x x +1−1] ∪ D = (−∞; [+1; +∞)

In particolare, ai confini del dominio, appartengono alla funzione i punti (-1;-1) e (1;1).

Simmetrie

p² −x − −f(−x) = x 16f(−x) = f(x)⁶ −ff(−x) = (x)f(x) non è né pari, né dispari.

Intersezioni con gli assi

∈x =0 / D f(x) =0 √ → S = ÿ2 −x 1 x =

Segno

p² −→ x 1 f(x) ; 0 x; Se x:1 possiamo elevare al quadrato a destra e sinistra:2 2 → − → −1 f(x) ; 0 x ; x 1 0; quindi per x:1 la funzione è positiva. Se x:;-1: p² → − f(x) ; 0 x; x 1 ∀x ∈ −1]f(x) ; 0 (−∞; quindi per x;-1 la funzione è negativa.

Limiti

• − ∞] lim f(x) = [∞ x→+∞ √ 2 2 − −2 x x 1 −x + x 1 p² √ √− − · lim f(x) = lim x = lim x 1 2 2 − − x→+∞ x→+∞ x→+∞ x + x 1 x + x 11 +√ lim f(x) = lim = 0 2 − x→+∞ x→+∞ x + x 1
• y=0 è un asintoto orizzontale.
• −∞ lim f(x) = x→−∞ q 1|x| · −1f(x) 2x −m = lim = lim 1 =1+1=2 x x x→−∞ x→−∞ p² − −x − −q = lim f(x) mx = lim x 1 x→−∞ x→−∞√ 2−x −+ 1x 1 p² √ √−x − − ·x 1 = lim =0q = lim 2 2 −x − −x −x→−∞x→−∞ + x 1 + x 1

La retta y = 2x è un asintoto obliquo per x che tende a meno infinito.

Derivate

p² − −f(x) = x x 1 √ 2 −−x x 1 x +2x⁰ √ √ √−− =1 = f(x) = 1 2 2 2 − − −2 x 1 x 1 x 1 p² p⁰ 2 2 ≥ → −x − ≥ → − ≥ f(x) 0 + x 1 0 x 1 x x; +1 x : +1 → → S = ÿ2 2 − ≥ −1 ≥x 1 x 0 −1x :

√ → −1)S = (−∞;2 − ≥x 1 x

Quindi per x:-1 la derivata è positiva e la funzione crescente, per x:1 la derivata è negativa e la funzione decrescente. In x=-1 e x=1 la funzione esiste ma la derivata no, per cui calcoliamo:

0 −∞ lim f(x) =+ x→1 0 lim f(x) = +∞− x→−1 quindi in x=-1 e x=1 la funzione ha tangenti verticali.

Derivata seconda

x⁰ √−f(x) = 1 2 −x 1 p x 1 1 100 2 √ √− − − · · ·f(x) = x 1 x =2 2− −x 1 x¹2 2− −x 1 x 100 ∀x ∈ − {±1}f(x) ; 0 D quindi la funzione è sempre convessa.

Esercizio 91

Studio della funzione

Studiare la seguente funzione: x −e¹ f(x) = x

Dominio

6x = 0 − {0} D = R

Simmetrie

−x −x − e¹ e¹ − f(−x) = − x x⁶ f(−x) = f(x)⁶ −ff(−x) = (x)f(x) non è né pari, né dispari.

Intersezioni con gli assi

∈x =0 / D f(x) = 0 f(x) = 0 f(x) = 0 → ∈ → → x =0 / D