Studi di funzione logaritmiche

M IN

e un massimo per 2

−

x =

M AX 3

Derivata seconda: 00 3x+5 2 3x+5

f 3x + 2x + e (6x + 2)

(x) = 3e

00 3x+5 2

f (x) = e 9x + 12x + 2

00 2

≥ → ≥

f (x) 0 9x + 12x + 2 0

63

Otteniamo due punti di flesso: √

−2 − 2

x =

F 1 3 √

−2 + 2

x =

F 2 3

64

3.4 Esercizio 61

Studiare la seguente funzione: ln x

f (x) = −

3 ln x 1

Dominio: x; 0 1

− 6 → 6

3 ln x 1 = 0 x = e 3

√ √

3 3

∪

D = 0; e e; +∞

Simmetrie: ln (−x)

f (−x) = −

3 ln (−x) 1

6

f (−x) = f (x)

6 −f

f (−x) = (x)

f(x) non è ne pari ne dispari.

Intersezioni con gli assi:

f (x) = 0 → ∈

(1; 0) f (x)

x =1

Segno: → →

N ; 0 ln x; 0 x; 1 1

→ − →

D; 0 3 ln x 1; 0 x; e 3

√

→ ∪ 3

f (x) > 0 (0; 1) ( e; +∞)

√

→ 3

f (x) < 0 (1; e)

65

Limiti: 1

lim f (x) = 3

+

x→0 ∞

lim f (x) =

√

3

x→ e

1

e

x = è un asintoto verticale per f(x).

3 1

lim f (x) = 3

x→+∞

1 è un asintoto orizzontale per f(x).

y= 3

Derivate: Calcoliamo la derivata prima:

1 3

− − ·

(3 ln x 1) ln x

0 x x

f (x) = 2

−

(3 ln x 1)

1 − −

(3 ln x 3 ln x 1)

0 x

f (x) = 2

−

(3 ln x 1)

−1

0

f (x) = 2

−

x (3 ln x 1)

Studiamone il segno: 0 ∀x ∈

f (x) < 0 D

La funzione è sempre decrescente.

Derivata seconda: 2 3

− − ·

(3 ln x 1) + 2x (3 ln x 1)

00 x

f (x) = 4

2 −

x (3 ln x 1)

−

(3 ln x 1) (3 ln x + 5)

00

f (x) = 4

2 −

x (3 ln x 1)

1

→

F ; 0 x; e 3

1 5

−

≥ → ≥

F 0 x e 3

2 66 −5 1

e

e , e oltre x = . La funzione è

La funzione è quindi convessa tra x = 0 e x = 3 3

−5 1

e e

invece concava tra x = e x = . Abbiamo un punto di flesso per

3 3 5

−

x = e 3

F 67

3.5 Esercizio 62

Studiare la seguente funzione: x

√

f (x) = −

x 2

Dominio: D = (2; +∞)

Simmetrie: −x

√

f (−x) = −x − 2

6

f (−x) = f (x)

6 −f

f (−x) = (x)

f(x) non è ne pari ne dispari.

Intersezioni con gli assi: f (x) = 0 → ∈

x =0 / D

x =0

Segno: ∀x ∈

f (x) ; 0 D

Limiti: lim f (x) = +∞

+

x→2

x=2 è asintoto verticale per f(x). lim f (x) = +∞

x→+∞ f (x)

lim =0

x

x→+∞

Non ci sono asintoti obliqui. 68

Derivate: Calcoliamo la derivata prima:

√

1

x

0 √

− −

f (x) = x 2 −

x 2

−

2 x 2

− −

2 (x 2) x

0 √

f (x) = − −

2 (x 2) x 2

−

x 4

0

f (x) = 3

−

2 (x 2) 2

Studiamone il segno: 0 ≥ → ≥

f (x) 0 x 4

Otteniamo quindi un minimo per x = 4

M IN

Derivata seconda: 3 1

32

− − − · · −

2 (x 2) (x 4) 2 (x 2)

2 2

00

f (x) = 3

−

4 (x 2)

√ − −

x 2 (8 x)

00

f (x) = 3

−

4 (x 2)

00 ≥ → − ≥

f (x) 0 8 x 0

00 ≥ → ≤

f (x) 0 x 8

Otteniamo un punto di flesso: x = 8

F

69

70

3.6 Esercizio 63

Studiare la seguente funzione: 2

f (x) = 2x ln x

Dominio: D = (0; +∞)

Simmetrie: 2

f (−x) = 2x ln (−x)

6

f (−x) = f (x)

6 −f

f (−x) = (x)

f(x) non è ne pari ne dispari.

Intersezioni con gli assi:

f (x) = 0 → ∈

(1; 0) f (x)

x =1

Segno: → →

f (x) ; 0 ln x; 0 x; 1

Limiti: · ∞]

lim f (x) = [0

+

x→0 ∞

2 ln x h i

lim f (x) = lim =

−2 ∞

x

+ +

x→0 x→0

Risolviamolo con De L’Hopital: −1

2x

lim f (x) = lim −3

−2x

+ +

x→0 x→0

71 −

2

−x

lim f (x) = lim = 0

+ +

x→0 x→0

lim f (x) = +∞

x→+∞ f (x)

lim = +∞

x

x→+∞

Non ci sono asintoti obliqui.

Derivate: Calcoliamo la derivata prima: 1

0 2 ·

f (x) = 4x ln x + 2x x

0

f (x) = 2x (2 ln x + 1)

Studiamone il segno: 0 ≥ → ≥

f (x) 0 2 ln x + 1 0

1

0 ≥ → ≥ −

f (x) 0 ln x 2

1

0 −

≥ → ≥

f (x) 0 x e 2

Otteniamo quindi un minimo per 1

−

x = e 2

M IN

Derivata seconda: 2

00 ·

f (x) = 2 (2 ln x + 1) + 2x x

00

f (x) = 4 ln x + 6

00 ≥ → ≥

f (x) 0 4 ln x + 6 0

3

00 ≥ → ≥ −

f (x) 0 ln x 2

3

00 −

≥ → ≥

f (x) 0 x e 2

72

Otteniamo un punto di flesso: 3

−

x = e 2

F 73

3.7 Esercizio 64 74

75

76

3.8 Esercizio 65 77

78

79

3.9 Esercizio 66 80

81

82