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2.2 Esercizio 49
Studiare la seguente funzione: 2 x
−
f (x) = x 1 e
Dominio D = R
Simmetrie:
2 −x −x
2
− −
f (−x) = (−x) 1 e = x 1 e
6
f (−x) = f (x)
6 −f
f (−x) = (x)
f(x) non è ne pari ne dispari.
Intersezioni con gli assi:
x =0 → −1) ∈
(0; f (x)
−1
f (x) =
y =0 → ∈
(±1; 0) f (x)
2 −
x 1=0
Segno: 2
→ −
f (x) ; 0 x 1; 0
→ −1 ∨
f (x) > 0 x < x > 1
→ −1 ∧
f (x) < 0 x > x < 1
34
Limiti: lim f (x) = +∞
x→+∞ ·
lim f (x) = [∞ 0]
x→−∞ 2 − ∞
x 1 h i
lim f (x) = lim =
−x ∞
e
x→−∞ x→−∞
Con De L’Hopital otteniamo: 2x 2
lim f (x) = lim = lim = 0
−x −x
−e e
x→−∞ x→−∞ x→−∞
y=0 è quindi asintoto orizzontale per la funzione.
Inoltre f (x)
lim = +∞
x
x→+∞
ne consegue che non ci sono asintoti obliqui.
Derivate: Calcoliamo la derivata prima:
0 x 2 x
−
f (x) = 2xe + x 1 e
0 x 2
−
f (x) = e x + 2x 1
Studiamone il segno: 0 2
≥ → − ≥
f (x) 0 x + 2x 1 0
√ √
0 ≥ → ≤ −1 − ∨ ≥ −1
f (x) 0 x 2 x + 2
Per x compreso tra i due valori -1-rad2 e -1+rad2 la funzione è decrescente, per
valori esterni è invece crescente. Otteniamo un minimo per
√
−1
x = + 2
M IN
e un massimo per √
−1 − 2
x =
M AX 35
Derivata seconda: 00 x 2 x
−
f (x) = e x + 2x 1 + e (2x + 2)
00 x 2
f (x) = e x + 4x + 1
00 2
≥ → ≥
f (x) 0 x + 4x + 1 0
√ √
00 ≥ → ≤ −2 − ∨ ≥ −2
f (x) 0 x 3 x + 3
Abbiamo quindi due punti di flesso: √
−2 − 3
x =
F 1 √
−2
x = + 3
F 2
Per valori interni la funzione è concava, per valori esterni f(x) è convessa.
36
2.3 Esercizio 50 37
38
2.4 Esercizio 51 39
40
2.5 Esercizio 52 41
42
2.6 Esercizio 53 43
44
2.7 Esercizio 54 45
46
2.8 Esercizio 55 47
48
49
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