Studi di funzione con il valore assoluto

Segno - Avremo due casi:

• x;0 ≥

f (x) 0

1+ x ≥ 0

−

1 x

≥ → ≥ −1

N um 0 x

→ ≤

Den; 0 x +1

Ora, ricordandoci che stiamo studiando la funzione per x;0, scopriamo che il

numeratore è sempre positivo, mentre il denominatore è positivo tra 0 e 1,

e negativo per x;1. Di conseguenza per x;0 la funzione prenderà il segno del

denominatore: →

Intervallo (0; 1) f (x) ; 0

→

Intervallo (1; +∞) f (x) ; 0

• x;0: In questo caso f(x)=1, è una retta orizzontale ad altezza 1, quindi è sempre

positiva.

Limiti: −1

lim f (x) =

x→+∞

y=-1 è un asintoto orizzontale.

2 ∓∞

lim f (x) = =

∓

0

±

x→1

x=1 è un asintoto verticale. lim f (x) = 1

±

x→−1

Per x=-1 si ha quindi un punto di discontinuità di terza specie (o eliminabile, c’è un

’buco’ nella funzione). NB: nel grafico rappresentato sotto, questo punto (1;1) NON

è evidenziato, ma c’è :) 27

Derivate - Avremo due casi:

• Intervallo x0: −

− − 1 x +1+ x 2

1 x (1 + x) (−1)

0 = =

f (x) = 2 2 2

− − −

(1 x) (1 x) (1 x)

0 ≥ ∀x ∈ − {1}

f (x) 0 D

quindi f’(x), quando esiste, è sempre positiva per x;0, di conseguenza in questo

intervallo f(x) è crescente.

• Intervallo x;0: In questo intervallo la funzione vale 1 quindi (f’(x)=0) ed è

costante. Possiamo notare che: 0

f (0) = 2

0

lim f (x) = 0

−

x→0 0 0

6

lim f (x) = f (0)

−

x→0

quindi in (0;1) abbiamo un punto angoloso.

Derivata seconda - i due casi:

• Intervallo x:0: −2 · − −

2 (1 x) (−1) 4 (1 x)

00

f (x) = =

4 4

− −

(1 x) (1 x)

facendo i conti: 00 ≥ → − ≥ →

f (x) 0 1 x 0 x; 1

quindi, per x;0, la funzione risulta convessa nell’intervallo (0;1), concava nel-

l’intervallo x;1.

• x;0: 00

f (x) = 0

Come sappiamo la funzione per x;0 vale 1, è costante, quindi ne concava ne

convessa. 28

29

2.4 Esercizio 81

Studiare la seguente funzione: |x|

1 +

f (x) = − |x|

1

Innanzitutto la funzione si può anche scrivere in questo modo:

Se ≥

x 0

allora: 1+ x

f (x) = −

1 x

Se x; 0

allora: −

1 x

f (x) = 1+ x

Dominio: − |x| 6 → |x| 6 → 6 ±1

1 = 0 = 1 x =

− {±1}

D = R

Simmetrie: |−x| |x|

1 + 1 +

f (−x) = = = f (x)

− |−x| − |x|

1 1

f(x) è pari: per comodità la possiamo studiare per x;0. Per x;0 disegneremo la curva

simmetrica rispetto all’asse y.

Intersezioni con gli assi:

x =0 → ∈

(0; 1) f (x)

f (x) = 1 30

Segno: Per x;0: ≥

f (x) 0

1+ x ≥ 0

−

1 x

≥ → ≥ −1

N um 0 x

→ ≤

Den; 0 x +1

Ora, ricordandoci che stiamo studiando la funzione per x;0, scopriamo che il nume-

ratore è sempre positivo, mentre il denominatore è positivo tra 0 e 1, e negativo per

x;1. Di conseguenza per x;1 la funzione prenderà il segno del denominatore:

→

Intervallo (0; 1) f (x) ; 0

→

Intervallo (1; +∞) f (x) ; 0

Limiti: −1

lim f (x) =

x→+∞

y=-1 è un asintoto orizzontale.

2 ∓∞

=

lim f (x) = ∓

0

±

x→1

x=1, e x=-1 (perchè la funzione è pari) sono asintoti verticali.

Derivate: Sempre per x;0:

− − −

1 x (1 + x) (−1) 1 x +1+ x 2

0

f (x) = = =

2 2 2

− − −

(1 x) (1 x) (1 x)

0 ≥ ∀x ∈ − {1}

f (x) 0 D

quindi f’(x), quando esiste, è sempre positiva per x;0, di conseguenza in questo

intervallo f(x) è crescente. 31

Possiamo notare che: 0

f (0) = 2

quindi, visto che f(x) è pari, 0 −2

lim f (x) =

−

x→0 0 0

6

lim f (x) = f (0)

−

x→0

otteniamo che (0;1) è un punto angoloso.

Derivata seconda: Sempre per x0:

−2 · − −

2 (1 x) (−1) 4 (1 x)

00

f (x) = =

4 4

− −

(1 x) (1 x)

00 ≥ → − ≥ →

f (x) 0 1 x 0 x; 1

quindi, per x;0, la funzione risulta convessa nell’intervallo (0;1), concava nell’inter-

vallo x;1. 32

2.5 Esercizio 82

Studiare la seguente funzione: p |x|

f (x) = 1 +

Innanzitutto la funzione si può anche scrivere in questo modo:

Se ≥

x 0

allora: √

f (x) = 1+ x

Se x; 0

allora: √ −

f (x) = 1 x

Dominio: |x| ≥ → |x| ≥ −1 ∀x∈

1 + 0 R

D = R

Simmetrie: p

p |−x| |x|

1 + = 1 + = f (x)

f (−x) =

f(x) è pari: per comodità la possiamo studiare solo per x;0. Per x;0 sarà simmetrica

rispetto all’asse y.

Intersezioni con gli assi:

x =0 → ∈

(0; 1) f (x)

f (x) = 1

f (x) = 0 f (x) = 0 →

→ S = Ø

p |x| −1

|x| =

1 + = 0

Segno: ∀x ∈

f (x) ; 0 R

Limiti: lim f (x) = +∞

x→+∞ √

f (x) 1+ x

m = lim = lim =0

x x

x→+∞ x→+∞

Non ci sono asintoti obliqui. 33

Derivate: Ricordandoci che stiamo studiando la funzione per x positive:

1

0 √

f (x) = 2 1+ x

0 ∀x;

f (x) ; 0 0

quindi f’(x) è positiva nell’intervallo per x;0, di conseguenza in questo intervallo f(x)

è crescente. Notiamo che: 1

0

f (0) = 2 1

1

0 √ −

−

lim =

f (x) = lim 2

−

2 1 x

− −

x→o x→o

0 0

6

lim f (x) = f (0)

−

x→o

quindi (0;1) è un punto angoloso.

Derivata seconda: Ricordandoci che stiamo studiando la funzione per x positive:

1 1 1

00 √

−2 −

f (x) = = q

4 (1 + x)

2 1+ x 3

4 (1 + x)

00 ∀x ≥

f (x) ; 0 0

quindi per x;0 la funzione risulta concava. Per simmetria anche nell’intervallo x;0

risulterà concava. 34

2.6 Esercizio 83

Studiare la seguente funzione: p − |x|

f (x) = 1

Innanzitutto la funzione si può anche scrivere in questo modo:

Se ≥

x 0

allora: √ −

f (x) = 1 x

Se x; 0

allora: √

f (x) = 1+ x

Dominio: − |x| ≥ → |x| ≤ → ∈

1 0 +1 x [−1; +1]

D = [−1 : +1]

Simmetrie: p p

− |−x| − |x|

f (−x) = 1 = 1 = f (x)

f(x) è pari: per comodità la possiamo studiare solo per x;0. Per x;0 sarà simmetrica

rispetto all’asse y.

Intersezioni con gli assi:

x =0 → ∈

(0; 1) f (x)

f (x) = 1

f (x) = 0 f (x) = 0 f (x) = 0

→ → → ∈ ∈

(−1; 0) f (x) ; (1; 0) f (x)

p |x| ±1

− |x| = 1 x =

1 = 0 35

Segno: ≥ ∀x ∈

f (x) 0 D

Limiti: Non ci sono limiti da calcolare perché la funzione è continua nell’intervallo

chiuso -1;1.

Derivate: Ricordandoci che stiamo studiando la funzione per x positive:

1

0 √

−

f (x) = −

2 1 x

0 ∀x ∈

f (x) ; 0 [0; 1)

quindi f’(x) è negativa per x;0, di conseguenza in questo intervallo f(x) è decrescente.

Notiamo che: 1

0 −

f (0) = 2 1 1

0 √

lim f (x) = lim =+ 2

2 1+ x

− −

x→o x→o

0 0

6

lim f (x) = f (0)

−

x→o

quindi (0;1) è un punto angoloso.

Notiamo anche che:

1

0 −∞

− =

lim f (x) = lim +

0

− −

x→1 x→o

quindi la curva nel punto (1;0) ha come tangente la retta x=1.

Derivata seconda: Ricordandoci che stiamo studiando la funzione per x positive:

1 1 1

00 √

−2 −

f (x) = = q

−

4 (1 x)

−

2 1 x 3

−

4 (1 x)

00 ∀x ∈

f (x) ; 0 [0; 1)

quindi per x;0 la funzione risulta concava. Per simmetria nell’intervallo x;0 risulterà

convessa. 36

37

2.7 Esercizio 84

Studiare la seguente funzione: s − |x|

1

f (x) = |x|

1 +

Innanzitutto la funzione si può anche scrivere in questo modo:

Se ≥

x 0

allora: r −

1 x

f (x) = 1+ x

Se x; 0

allora: r 1+ x

f (x) = −

1 x

Dominio: − |x|

1 ≥ 0

|x|

1 +

≥ → − |x| ≥ → |x| ≤ → ∈

N um 0 1 0 1 x [−1; +1]

→ |x| → |x| −1 ∀x ∈

Den; 0 1 + ; 0 ; R

D = [−1; +1]

Simmetrie: s

s − |−x| − |x|

1 1

= = f (x)

f (−x) = |−x| |x|

1 + 1 +

f(x) Ë pari: per comodità la possiamo studiare solo per x;0. Per x;0 la curva sarà

simmetrica rispetto all’asse y. 38

Intersezioni con gli assi:

x =0 → ∈

(0; 1) f (x)

f (x) = 1

f (x) = 0 f (x) = 0 f (x) = 0

→ → → ∈

(±1; 0) f (x)

− |x| |x| ±1

1 = 0 = 1 x =

Segno: ≥ ∀x ∈

f (x) 0 D

Limiti: La funzione è continua nell’intervallo chiuso -1;1 , quindi non ci sono limiti

da calcolare.

Derivate: Ricordandoci di studiare la funzione solo per x;0:

r r

− − − −1 − −

1 + x (1 + x) (1 x) 1 + x x 1 + x

1

1

0 · · · ·

=

f (x) = 2 2

− −

2 1 x 2 1 x

(1 + x) (1 + x)

r 1+ x 1

0 ·

−

f (x) = 2

−

1 x (1 + x)

0 ∀x ∈

f (x) 0 [0; 1)

quindi f’(x) è negativa nell’intervallo (0;1), di conseguenza in questo intervallo f(x)

è decrescente.

Notiamo che: 0 −1

f (0) =

0

lim f (x) = +1

−

x→0 0 0

6

(x) = f (0)

lim f

−

x→0

quindi (0;1) è un punto angoloso.

Notiamo anche che: 0 −∞

lim f (x) =

−

x→1

di conseguenza la funzione in (1;0) ha tangente x=1, e per simmetria in (-1;0) ha

tangen