Studi di funzione con il valore assoluto

Studio delle funzioni

Funzione 1: 3xf(x) = 2|x − 1|

Innanzitutto, la funzione si può anche scrivere in questo modo:

Se 2 − → −1 ∨ x 1; 0 x; x; 1 allora: 3xf(x) = 2 − x 1

Se 2 − → −1 ∧ x 1; 0 x; x; 1 allora: 3xf(x) = 2 − 1 x

Dominio: 2 − 6 → 6 ±1x 1 = 0 x =− {±1}

D = R

Simmetrie: 3 3x(−x) − −f = (x)f (−x) = 2|x − 1| 2 − (−x) 1

f(x) è dispari: per comodità la possiamo studiare solo per x 0. Per x 0 disegneremo la curva simmetrica rispetto all'origine.

Intersezioni con gli assi: x = 0 → ∈(0; 0) f(x)f(x) = 0 22

Segno: ≥f(x) 0 ≥ ∀x ≥Num 0 0 → ≥ ∀x ≥f(x) 0 0 ∀x ∈Den; 0 D

Limiti: lim f(x) = +∞x→+∞ 2f(x) xm = lim = lim = 12|x − x 1|x→+∞ x→+∞ 3 33 − x x + 1x −− x = lim = 0q = lim f(x) mx = lim 2 2− −x 1 x 1x→+∞x→+∞ x→+∞

La retta y = x è un asintoto obliquo. 1lim f(x) = = +∞+0±x→1x = 1, e x = -1 (perché la funzione è dispari) sono asintoti verticali

Derivate

Visto che studiamo la funzione per x positive, e vogliamo togliere il valore assoluto, avremo due casi:

• Intervallo (0;1): 2 2 3 2 4 4 2 4− −3x 1 x x (−2x) − −3x 3x + 2x 3x x0f(x) = = =2 2 22 2 2− − −(1 x ) (1 x ) (1 x )0 22 4 2 ≥ → − ≥ → − ≥f(x) 0 3x x 0 x 3 x 0√ √0 ≥ → ≥ − ∧ ≤f(x) 0 x 3 x 3
• quindi f’(x) è positiva nell’intervallo (0;1), di conseguenza in questo intervallo f(x) è crescente. In x=0 si annulla, quindi (0;0) sarà un punto di flesso a tangente orizzontale: F(0; 0)
• x 1: 2 2 3 4 2 4 4 2− −3x x 1 x (2x) − − −3x 3x 2x x 3x0f(x) = = =2 2 22 2 2− − −(x 1) (x 1) (x 1)230 4 2 2 2 ≥ → − ≥ → − ≥f(x) 0 x 3x 0 x x 3 0√ √0 ≥ → ≤ − ∨ ≥f(x) 0 x 3 x 3
• quindi, considerando sempre l’intervallo x;1, tra 1 e rad3 f’(x) è negativa e f(x) è decrescente, per x;rad3 f’(x) è positiva e f(x) è crescente. Ricordando che la funzione è dispari, avremo quindi un minimo per x=rad3 e un massimo per x=-rad3: √ √ 3− −MAX 3; 32√ √ 3MIN + 3; + 32

Derivata seconda - i due casi

• Intervallo (0;1): 23 2 2 4 2 − − − − −6x 4x 1 x 3x x 2 1 x (−2x)00f(x) = 42−(1 x )facendo i conti: 00 ≥ → ≥f(x) 0 Num 000 ∀x ∈f(x) ; 0 (0; 1)
• quindi in questo intervallo la funzione risulta convessa. Nell’intervallo (-1;0) risulterà concava.
• x;1: 23 2 4 2 2 − − − − −4x 6x x 1 x 3x 2 x 1 (2x)00f(x) = 42 −(x 1)facendo i conti: 00 ≥ → ≥f(x) 0 Num 000 ∀x ∈f(x) ; 0 (1; +∞)
• quindi in questo intervallo la funzione risulta convessa. Nell’intervallo x;-1 risulterà concava.

Funzione 2: 1 + xf(x) = − |x|

Innanzitutto, la funzione si può anche scrivere in questo modo:

Se ≥x 0 allora: 1+ xf(x) = −1 x

Se x; 0 allora: 1+ x → f(x) = f(x) = 11+ x

Dominio: − |x| 6 → |x| 6 → 6 ±11 = 0 = 1 x =− {±1}

D = R

Simmetrie: − −1 x 1 xf(−x) = = − |−x| − |x|1 16f(−x) = f(x)6 −ff(−x) = (x)f(x) non è né pari né dispari.

Intersezioni con gli assi: x = 0 → ∈(0; 1) f(x)f(x) = 1 26

Segno - Avremo due casi:

• x;0 ≥f(x) 01+ x ≥ 0−1 x ≥ → ≥ −1Num 0 x→ ≤Den; 0 x +1
• Ora, ricordandoci che stiamo studiando la funzione per x;0, scopriamo che il numeratore è sempre positivo, mentre il denominatore è positivo tra 0 e 1, e negativo per x;1. Di conseguenza, per x;0 la funzione prenderà il segno del denominatore: →Intervallo (0; 1) f(x) ; 0→