studi di funzione di esponenziali, logaritmi e arcotangente con il valore assoluto

Il file presenta 7 studi di funzione presi dai temi d'esame del prof Finco, svolti passo passo e dettagliatamente (infatti prende 70 pagine di foglio protocollo).
Consigliatissimo per superare l'esame. Esercizi di Calcolo e algebra lineare elaborati dal publisher sulla base di appunti personali e frequenza delle lezioni del professore Finco. Scarica il file con le esercitazioni in formato PDF!

Esame Calcolo e algebra lineare

Facoltà Ingegneria

Dal corso del Prof. Finco Gabriele

Università Università telematica internazionale UNINETTUNO di Roma

Publisher ProfElettr

A.A. 2019-2020

62 pagine

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Esercitazione

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Estratto del documento

arctan ^{x + 1} / _|2x-3|-x

arctan ^{|x² - 1| - 1} / _{x + 2}

exp ^{|2x + 1| - x} / _{|3x - 2| - 1}

exp ^x² / _{(x - 1)|x + 1|}

log ^{x + 1} / _{3x + 5}

log ^{|x - 3|} / _{|2x - 3| - 1}

arctan ¹ / _{(x² - 3x) - 2x + 1}

In questo file si presentano i 7 seguenti studi di funzione svolti passo passo.

Tratti dai temi d’esame del prof Finco, facoltà di Ingegneria Informatica UTU esame di Calcolo e Algebra Lineare.

A-S 2019/2020

y = arctan (X+1)/(2X-3|-X)

D = {X ∈ ℝ : |2X-3|-X ≠ 0}

|2X-3|-X ≠ 0

Studio il valore assoluto, essendo un caso |8(X)|=k

2X-3≥0 ⇒ X ≥ ³/₂

X ≤ ³/₂

-2X+3-X ≠ 0 ⇒ -3X+3 ⇒ (X ≠ ±1)

X > ³/₂

2X-3-X ≠ 0

X-3 ≠ 0 ⇒ (X ≠ ±3)

Verifico (è sempre meglio farlo)

|2(1)-3|-1 = |2-3|-1 = 1-1 = 0 ✔️

|2(3)-3|-3 = |6-3|-3 = 3-3 = 0 ✔️

D = ℝ - { ±1, 3 }

y = arctan ^(x+1)/_(2x-3)|-x

y’ = ¹/_{1 + (x+1)²} . D ^(x+1)/_(2x-3)|-x

= 1/ ^{([2x-3|-x])² + (x+1)²}/_{([2x-3|-x])²} . D ^(x+1)/_(2x-3)|-x

quantità sempre positive

D ^(x+1)/_(2x-3)|-x = { D ^(x+1)/_-3x+3 x ≠ 3/2

D ^(x+1)/_x-3 x ≥ 3/2

} = { ^{1(-3x+3) + 3(x+1)}/_(-3x+3)² x ≠ 3/2

^{1(x-3) - (x+1)}/_(-3x+3)² x ≥ 3/2

2(2x+2) ≥ 0 ⇒ x ≥ -1

no flessi

y' = ovetan

x ≤ -1 ∪ x ≥ 1

-1 < x < 1

x ≤ -1 ∪ x ≥ 1

-1 < x < 1

x ≤ -1 ∪ x ≥ 1

-1 < x < 1

y = exp((|2x + 1| - x) / (|3x - 2| - 1))

Dominio

D = {x ∈ ℝ : |3x - 2| - 1 ≠ 0}

|3x - 2| - 1 ≠ 0 => |3x - 2| ≠ 1

=> 3x - 2 ≠ ±1

3x - 2 ≠ 1 => 3x ≠ 3 => x ≠ 1
3x - 2 ≠ -1 => 3x ≠ 1 => x ≠ 1/3

D = ℝ - {1, 1/3}

Verifica per sicurezza

|3(1) - 2| - 1 = 1 - 1 = 0 ✓
|3(1/3) - 2| - 1 = 1 - 1 = 0 ✓

Simmetrie

f(-x) = exp((|2(-x) + 1| + x) / (|3(-x) - 2| - 1))

f(-x) ≠ f(x)
f(-x) ≠ -f(x)

no simmetrie

Infatti:

_lim_x→(-1/2)^- ^√6/_(-3x+1)² ≠ _lim_{x→(-1/2)⁺} ²/_(-3x+1)²

_lim_x→(2/3)^- ²/_(-3x+3)² ≠ _lim_x→(2/3)⁺ ^-6/_(-3x-3)²

DERIVATA SECONDA

Abbiamo ricavato che

y' = {

exp^(-3x-1)/_-3x+1 - ⁶/_(-3x+1)² x < -1/2

exp^(x+1)/_-3x+1 2/(-3x+1)² -1/2 ≤ x ≤ 2/3

exp^(x+1)/_3x-3 - ^-6/_(-3x)² x > 2/3

y = exp(^-1/_x) = exp(0) = 1

A(0, 1)

Asintoti

lim_{x → 1⁺} f(x) = exp(¹/_0⁺) = +∞

lim_{x → 1^-} f(x) = exp(¹/_0^-) = exp(-∞) = 0

Quindi

x = +1 è un asintoto verticale destro, a sinistra la funzione tende a 0.

y = log_{(|x-3| / (|2x-3| - 1))}

D = {x ∈ ℝ : (|x-3| / (|2x-3| - 1) > 0}

N > 0 ⇒ |x-3| > 0 ∀x ∈ ℝ - {3}

D > 0 ⇒ |2x-3| - 1 > 0 ⇒ |2x-3| > 1

⇒ 2x-3 < -1 ∪ 2x-3 > 1

2x < 2 ∪ 2x > 4

x < 1 ∪ x > 2

D = (-∞, 1) ∪ (2, 3) ∪ (3, +∞)

lim f(x) = lim log ^x-3/_2x-4 = log ^(1/2)

y = log ^(1/2) A = 0

Non ci sono asintoti obliqui.

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