Statistica e calcolo delle probabilità - variabili aleatorie

Variabili Aleatorie

Variabile aleatoria = quantità d’interesse determinata dal risultato di un esperimento casuale. Si può assegnare una probabilità ai suoi valori possibili.

Funzione indicatrice dell’evento A: I_A assume i valori 0 o 1 a seconda se l’evento A si verifica o meno.

Esempio

Ho due componenti elettronici, ognuno dei quali può essere accettabile (a) o difettoso (d).

Ho 4 possibili esiti (a,a) (a,d) (d,a) (d,d) e le probabilità di questi esiti, supposte note, sono 0,49, 0,21, 0,21 e 0,09.

Indico con X la variabile aleatoria che indica il numero di componenti accettabili:

• P(X=0) = 0,09
• P(X=1) = 0,21 + 0,21 = 0,42
• P(X=2) = 0,49

Se con A indico l’evento "c’è almeno un componente accettabile", allora la funzione indicatrice di A diventa

• I = { 1 se X=1 o X=2
• 0 se X=0

• P(I=1) = 0,42 + 0,49 = 0,91
• P(I=0) = 0,09

Se le variabili aleatorie possono assumere solo un numero finito di valori, si dicono DISCRETE, altrimenti sono CONTINUE (es. tempio di vita di un componente).

La funzione di ripartizione F di una variabile aleatoria X

è definita come:

F(x) = P(X ≤ x)

ed esprime la probabilitá che la variabile aleatoria X assuma un valore minore o uguale ad x.

X ≤ F vuol dire che F é funzione di ripartizione di X.

Tutte le questioni di probabilitá legate ad una variabile aleatoria possono essere studiate tramite la sua funzione di ripartizione

ESERCIZIO:

Voglio calcolare P(a < X < b) a b

Note che é il numero di due eventi disgiunti P(X < b) e P(X ≤ a) = - P(X < a)

P(a < X < b) = P(X < b) - P(X < a) = F(b) - F(a)

Variabili aleatorie discrete e continue

Una variabile aleatoria é discreta se puo assumere un isiene finito o numerabili di valori.

Se X è discreta la sua funzione di massa è definita come

p(a) := P(X = a)

^∞⁄_i=1 p(x_i) = 1

La funzione di ripartizione F puo essere espressa in funzione della funzione di massa:

F(a) = ^∑⁄_{X ≤ a} p(x)

La funzione che ne risultare á gradini

p_Y(y₃) = P ( U {x = x_i, Y = y_j}) = ∑ P (X = x_i , Y = y₃) = ∑ P(x_i, y_j)

Le funzioni di massa individuali (o marginali) si possono sempre ricavare da quella congiunta, il contrario non è >>vero

ESMPIO:

Da un gruppo di batterie di 12, ne estraggo 3 a caso. So che nel gruppo ho 3 batterie nuove, 4 usate e 5 difettose.

Indico con X il numero di batterie nuove tra le scelte, con Y il numero di quelle usate.

• p(0,0) = p(X = 0, Y = 0) = (3 0) (5 3) / (12 3) = 10 / 220
• p(0,1) = (4 1)(5 2) / (12 3) = 40 / 220
• p(0,2) = (4 2)(5 1) / (12 3) = 30 / 220
• p(0, 3) = (4 3) / (12 3) = 4 / 220
• p(1,0) = (3 1)(5 2) / (12 3) = 30 / 220
• p(1,1) = (3 1)(4 1)(5 1) / (12 3) = 60 / 220
• p(1,2) = (3 1)(4 2) / (12 3) = 18 / 220
• p(2,0) = (3 2)(5 1) / (12 3) = 15 / 220
• p(2,1) = (3 2)(4 1) / (12 3) = 12 / 220
• p(3,0) = (3 3) / (12 3) = 1 / 220

Posso rappresentare le informazioni ottenute in forma tabellone

1) Devo calcolare la funzione di ripartizione di X/Y. Per a > 0 ho

F_X/Y(a) = P(X/Y ≤ a) = ∬ f_(x,y)dxdy = ∬ f_X(x)f_Y(y) dxdy =

= ∫^∞₀ ∫^ay₀ f_X(x)f_Y(y)dxdy = ∫^∞₀∫^ay ₀ e^-x dx dy = ∫^∞₀ (e^-x)| ^ay ₀ dy =

= ∫^∞₀ (1 - e^-ay ) dy = ∫^∞₀ e^-y dy - ∫^∞₀ e^-(a+1)ydy =

= [ -e^-y] ^∞₀ - ( [ -e^-(a+1)y] ^∞₀) =

= 1 - ( [

-e^-y - e^-(a+1)y ]

^∞₀ ) =

= 1 + (

1/(a+1) ) - 1/(a+1)

2) Ricavo la funzione di densita derivando quella di ripartizione rispetto l'argomento:

f_X/Y(a)= d/da (1 - 1/

a +1) = (d/da(1) - d/da(a + 1))^-1 -((a+1)^-2 )

(p) = 1/

(a+1)^2 , a > 0

*x_y ≤a → x ≤ay , y non ha limitazioni

∈ r ma per 1≤f è nulla

- by ∈ (0,∞)

x≤ay⇒ x ∈ (0, ay) (sarebbe -∞ ma per x < 0 è nulla)

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ESEMPIO

X numero di ore che è necessario aspettare dalle 17 per l'arrivo di una comunicazione.

f(x) =

• (1/1,5) se 0 < x < 1,5
• 0 altrimenti

E(X) =

• = ∫₀^1.5 x f(x)dx = ∫₀^1.5 x (1/1,5) dx = (1/1,5) ∫₀^1.5 x dx = (1/1,5) (x²/2)∣₀^1.5
• = (1/1,5) (1,5²/2 - 0) = 0,75

- In media è necessario aspettare 0,75 h, ovvero 3/4 d'ora.

PROPRIETA DEL VALORE ATTESO

• X v.a. discreta con funzione di massa p; allora per ogni funzione reale g,

E(g(X)) = Σ_x g(x)p(x)

ESEMPIO:

Quanto vale il valore atteso del quadrato di una v.a. con funzione di massa seguente?

p(0)=0,2 p(1)=0,5 p(2)=0,3

E(X²) = Σ_i=0² x_i² p(x_i) = 0² 0,2 + 1² 0,5 + 2² 0,3 = 1,7

• X v.a. continua con funzione di densità di probabilità f(x), allora per ogni funzione reale g,

E(g(x)) = ∫_-∞^+∞ g(x) f(x) dx

Proprietà della varianza

∀(a,b)∈ℝ,

Var(aX+b) = a² Var(X)

Dimostrazione:

μ = E[X], E[aX+b] = aE[X] + b

Var(aX+b) = E[(aX+b)²] - E[(aX+b)]² = E[(aX+b) - E[aX+b]]² =

= E[(aX+b - aμ - b)²] = E[a²(X-μ)²] = a² Var(X)

a²E(X-μ)² = a²Var(X)

• Se a=0 → Var(b) = 0
• Se b=0 → Var(aX) = a²Var(X)
• Se a=1 → Var(X+b) = Var(X) → una costante non cambia la varianza di una variabile aleatoria

Def: La quantità √Var(X) è detta DEVIAZIONE STANDARD della v. a. X.

ESEMPIO

Una azienda produce dischetti per PC difettosi con probabilità 0,01

Sono venduti in confezioni da 10 pezzi. Il cliente è rimborsato se trova più di un dischetto difettoso.

Che percentuale di confezioni viene ritornata?

X = numero di dischetti difettosi in una scatola da 10

P(X > 1) = 1 - P(X = 0) - P(X = 1) = 1 - ¹⁰C₀ (0,01)⁰ (0,99)¹⁰ - ¹⁰C₁ (0,01)¹ (0,99)⁹

= 1 - 0,9¹ - 0,90 = 0,0043

Se cambio le scatole, qual è la priorità di ritornare una?

n=3 p=0,0043

P(V=1) = ³C₁ 0,0043¹ 0,9957² ≈ 0,013

V.A. di Poisson

di parametro λ

λ > 0. Se la sua funzione di massa è data da

P(X=x) = ^{λx e-λ} / x! , x = 0, 1, 2 ....

E(X) = λ Var(X)

Può essere usata come approssimazione di una binomiale di parametri (n,p) quando n è molto grande e p molto piccolo.

ESEMPIO

Sappiano che il numero medio di incidenti in un particolare tratto di autostrada sia pari a 3, calcolare la probabilità che la prossima settimana ci sia un incidente.

X = numero di incidenti nella settimana

Poissoiniana di parametro λ = 3

(n molto grande, è autostrada, p molto piccolo, nota che ogni unità sia disunto in un incidente)

P(X ≥ 1) = 1 - P(X=0) = 1 - 3⁰ e^-3 / 0! ≈ 0,9502

La somma di due poissoniane è ancore una poissoniana