Statistica e calcolo delle probabilità - variabili aleatorie

VARIABILI ALEATORIE

Variabile aleatoria = quantità d'interesse determinata dal risultato di un esperimento casuale. Si può assegnare una probabilità ai suoi valori possibili.

Funzione indicatrice dell'evento A: assume i valori 0 o 1 a seconda se l'evento A si verifica o meno.

ESEMPIOHo due componenti elettronici, ognuno dei quali può essere accettabile (a) o difettoso (d).Ho 4 possibili esiti: (a, a) (a, d) (d, a) (d, d) e le probabilità di questi esiti, supposte note, sono 0,49, 0,21, 0,21 e 0,09.Indico con X la variabile aleatoria che indica il numero di componenti accettabili:

P(X = 0) = 0,09P(X = 1) = 0,21 + 0,21 = 0,42P(X = 2) = 0,49

Se con A indico l'evento "vi sia almeno un componente accettabile", allora la funzione indicatrice di A diventa:

I = {1 se X = 1 o X = 20 se X = 0}

P(I = 1) = 0,42 + 0,49 = 0,91P(I = 0) = 0,09

Se le variabili aleatorie possono assumere solo un numero finito di valori si dicono DISCRETE, altrimenti sono CONTINUE (es. tempo di vita di un componente).

VARIABILI ALEATORIE

Variabile aleatoria - quantità d'interesse determinata dal risultato di un esperimento casuale. Si può assegnare una probabilità ai suoi valori possibili.

Funzione indicatrice dell'evento A - assume i valori 0 o 1 secondo se l'evento A si verifica o meno.

ESEMPIOHo due componenti elettronici, ognuno dei quali può essere accettabile (a) o difettoso (d).Ho 4 possibili esiti (a, a) (a, d) (d, a) (d, d). Le probabilità di questi esiti, supposte note, sono 0,49, 0,21, 0,21 e 0,09.Indico con X la variabile aleatoria che indica il numero di componenti accettabili:

• P(X=0) = 0,09
• P(X=1) = 0,21 + 0,21 = 0,42
• P(X=2) = 0,49

Se con A indico l'evento "ci sia almeno un componente accettabile", allora la funzione indicatrice di A diventa

I = {    1 se X=1 o X=2    0 se X=0}

• P(I=1) = 0,42 + 0,49 = 0,91
• P(I=0) = 0,09

Se le variabili aleatorie possono assumere solo un numero finito di valori si dicono DISCRETE, altrimenti sono CONTINUE (es. tempo di vita di un componente).

La funzione di ripartizione F di una variabile aleatoria X è definita come

F(x) = P(X ≤ x)

ed esprime la probabilità che la variabile aleatoria X assuma un valore minore o uguale ad x.

• X = F vuol dire che F è funzione di ripartizione di X.

Tutte le questioni di probabilità legate ad una variabile aleatoria possono essere studiate tramite la sua funzione di ripartizione.

ESEMPIO:

Voglio calcolare P(a < X ≤ b)

Note che è l'unione di due eventi disgiunti P(X ≤ b) e P(X ≥ a)

P(X ≥ a) = - P(X < a)

P(a < X ≤ b) = P(X ≤ b) - P(X < a) = F(b) - F(a)

Variabili aleatorie discrete e continue

Una variabile aleatoria è discreta se può assumere un insieme finito o numerabile di valori.

Se X è discreta, la sua funzione di massa è definita come

p(a) := P(X = a)

• ∑_i=1^∞ p(x_i) = 1

La funzione di ripartizione F può essere espressa in funzione della funzione di massa:

• F(a) = ∑_{X ≤ a} p(x)

La funzione che ne risulta è a gradini

ESEMPIO:

Ho una variabile aleatoria X che può assumere i valori 1, 2 o 3.

p(1) = ¹/₂   p(2) = ¹/₆   p(3) = ¹/₃

Poiché _x=1³p(x) = 1,

p(3) = 1 - ¹/₂ - ¹/₃ = ^{6 - 3 - 2}/₆ = ¹/₆

La funzione di ripartizione di X sarà data da:

• F(a) = _x≤a∑p(x) = 0   a < 1 → P(x < 1) = 0
• 1/2   1 ≤ a < 2 → P(X < 2) = P(x < 2) + P(x < 1) = 1/2
• 1/2 + 1/3 = 5/6   2 ≤ a < 3 → P(X < 3) + P(X ≤ 2) + P(X ≤ 1) = 5/6
• 1   a ≥ 3 → P(X ≤ 3) + 1

Una variabile aleatoria è CONTINUA se esiste una funzione non negativa su R tale che, per ogni insieme B di numeri reali:

P(X ∈ B) = ∫_Bf(x)dx

f(x) = densità della variabile aleatoria

• ∫_-∞^∞f(x)dx = P(X ∈ R) = 1
• P(a < X ≤ b) = ∫_a^bf(x)dx → posso esprimere le probabilità che riguardano una variabile aleatoria continua in termini di integrali sulla sua densità.

• La probabilità che una variabile aleatoria assuma un dato valore è nullaP(X=a) = ∫_a^a f(