Statistica

∊N.

che sequenze distinte di esiti delle scelte determinino elementi distinti di E. Allora =n1*n2*...*nk

||

Sistemi di conteggio

Combinazioni di n oggetti presi k per volta: numero di sottoinsiemi distinti di

dimensione k che possono essere selezionati a partire da un insieme di dimensione

n, quando l'ordine delle scelte non è rilevante Capitolo 5

Variabile aleatoria: quantità il cui valore è determinato dall'esito di un esperimento aleatorio

Variabile aleatoria discreta: assume un numero finito o al più numerabile di valori

Distribuzione di probabilità

Sia X una variabile discreta aleatoria che assume n valori distinti, indichiamo con P(X=xi) la probabilità che X sia uguale a

xi

Densità discreta di X: px:R→[0,1]​ xi→px(xi)=P(X=xi)​

​ ∑ () = ∑ ( = ) = 1

=1 =1

Valore atteso: E(X)= xipx(xi)= xiP(X=Xi)

∑ ∑

=1 =1

Media di X/speranza matematica di X=E(X)

Momento di ordine k di una variabile discreta aleatoria X che assume i valori x1,x2,...,xn è dato da: E( )=

∑ () = ∑ ( = )

=1 =1 2

Momento secondo di X: E( )

●​

Proprietà del valore atteso

Proprietà della media

●​ E(cX)=cE(X)​ c costante

○​ ​

E(X+c)=E(X)+c

○​ E(X+Y)=E(X)+E(Y)​ X e Y variabili aleatorie

○​

Varianza: Var(X)=E[(X-u)^2]= (xi-u)^2px(xi)​ E(X)=u

∑

=1 2

Si può anche calcolare come Var(X)=E[ ]-u^2

●​

Proprietà della varianza

2

Var(cX)=c Var(X)​ c costante

●​ ​ ​

Var(X+c)=Var(X)

●​ Var(X+Y)=Var(X)+Var(Y)​ X e Y due variabili aleatorie indipendenti

●​ ​

Deviazione standard: SD(X)= ()

Indipendenza di variabili aleatorie

Variabili aleatorie discrete notevoli

Variabile aleatoria di Bernoulli:

●​ Densità discreta:​ px(1)=p e px(0)=1-p

●​ ​

Valore atteso: E(X)=0*px(o)+1*px(1)=p

●​ ​ ​ 2 2 2

Varianza: Var(X)=E( )-

●​ ​ ​ ​ () = − = (1 − )

Variabile aleatoria binomiale

Variabile aleatoria binomiale di parametri n e p(XondinaB(n,p)): conta il numero di successi in n prove ripetute e

indipendenti, in cui la probabilità di successo nella singola prova è p

Densità discreta: 4

Valore atteso: E(X)=np

Varianza: Var(X)=np(1-p)

Variabile aleatoria di Poisson

Variabile aleatoria di Poisson di parametro (X Po( )): assume valori in N

λ ∼ λ

−λ

λ

Densità discreta. px(k)= per K=0,1,... e >0

​ λ

!

Valore atteso: E(X)=

λ

Varianza: Var(X)=

λ

Approssimazione di Poisson: distribuzione binomiale di parametri n e p, con n grande e p piccolo, può essere

approssimata da distribuzione di Poisson di parametro =np. X B(n,p) viene approssimato a Y Po(n,p)

λ ∼ ∼

Capitolo 6

Variabile aleatoria continua: assume qualunque valore in un certo intervallo

P(X=x)=0​ per ogni variabile aleatoria continua e ∀x∊R

Densità di probabilità

X è una variabile aleatoria continua se esiste una funzione fx:R→[0,+∞) tale che a<b

●​ ∀a,b∊R,

P(a≤X≤b)=Integrale da a a b di fx(x)dx=P(a<X<b)

●​ +∞

fx si dice densità continua di X e f(x)dx=1

●​ ∫

−∞

Funzione di ripartizione di X: Fx(x)=P(Xx)= fx(t)dt

●​ ∫

−∞

Valore atteso/media

+∞

µ=E(X)= xfx(x)dx

∫

−∞ +∞

Momento di ordine k: E( )=

∫ ()

−∞

Varianza 2 2

Var(X)=E[ ]-

µ

Deviazione standard: SD(X)= ()

Variabile aleatoria uniforme(U): rappresenta un numero scelto a caso in un intervallo [a,b]. Formalmente X U(a,b)

∼

Densità​​ fx(x) +

Valore atteso​ E(X)=

​ 2

2 2

2 ++

Momento secondo​ E( )=

3 2

2 2 (−)

Varianza​ Var(X)=E( )-

​ () = 12

Variabile aleatoria Normale/Gaussiana(Z): E(Z)=0 e Var(Z)=1. Formalmente Z N(0,1)

∼

2

−

2

Densità​​ fz(z)= 2π

Tavole di ripartizione di una Normale standard: Fz(z)=(Øz)=P(Z≤z)P(Z<1,22)=Ø(1,22)=0,8888

2 −µ

Standardizzazione: sia X N(µ, )​ z= N(0,1)

∼ σ ∼

σ

2

Calcolo di probabilità: sia X N(µ, ), possiamo calcolare qualsiasi probabilità riguardante X in

∼ σ

−µ −µ −µ

Z N(0,1)​ P(X<a)=P( < )=P(Z< )

∼ σ σ σ 2 2

Proprietà additiva delle v.a. normali indipendenti: siano X N(µx, ) e Y N(µy, ) 2 v.a normali indipendenti, allora

∼ σ ∼ σ

2 2

X+Y N(µy+µx, + )

∼ σ σ

Quantili della distribuzione Normale standard: definiamo za come il valore per cui l'area sottesa alla coda di

∀a∊[0,1],

destra della Normale standard è a, ossia: P(Z>za)=a​ za si dice quantile(1-a) della distribuzione Normale standard

2 −µ −µ −µ −µ

Quantili di una Normale: X N(µ, )​ 0,95=P(X<x)=P( < )=P(Z< )​ =z0,05=1,645​

∼ σ σ σ σ σ

x= +z0,05 = +1,645

µ σ µ σ Capitolo 7

Inferenza statistica: trae conclusioni sulla popolazione e su alcuni suoi parametri a partire da informazioni

●​ contenute nel campione. Vengono utilizzate statistiche calcolate sulla base del campione casuale per stimare i valori

dei corrispondenti parametri dell'intera popolazione

Proporzione campionaria: statistica utilizzata per stimare la proporzione di unità in una popolazione che ha una

●​ certa caratteristica

Campione casuale semplice estratto da una data popolazione: se x1, x2,...,xn sono variabili aleatorie

●​ indipendenti e identicamente distribuite, diciamo che costituiscono un campione casuale semplice(c.c.s.) estratto

dalla distribuzione di fondo F 5

La relazione tra popolazione e campione viene descritta utilizzando il calcolo della probabilità. I dati disponibili

●​ vengono interpretati come realizzazioni di variabili casuali indipendenti distribuite secondo una distribuzione di

fondo, la distribuzione della popolazione 2

Media campionaria: sia x1, x2,...,xn un c.c.s. di numerosità n estratto da una popolazione media µ e varianza .

●​ σ

1+2+...+

La media campionaria è una variabile aleatoria definita come X=

Valore atteso E(X)=µ

●​ 2

σ

Varianza Var(X)=

●​ σ

Deviazione standard SD(X)=

●​

Campionamento casuale estratto da una popolazione finita: un campione di numerosità n estratto da una

●​ popolazione di N elementi si dice campione casuale se è ottenuto in modo che tutti i possibili sottoinsiemi di

numerosità n della popolazione abbiano la stessa probabilità di essere scelti

Teorema del limite centrale(TLC) 2

Sia x1, x2, …, xn un campione casuale estratto da una popolazione con media µ e varianza

●​ σ

Per n sufficientemente grande la somma x1+x2+...+xn ha distribuzione approssimativamente normale con media nµ

●​

2 2

e varianza n Formalmente Xi≈N(nµ, n )

σ ∑ σ

=1

Il teorema vale anche nei casi in cui le variabili aleatorie Xi hanno distribuzioni diverse tra lo purché l'ordine di

●​ grandezza sia lo stesso

Distribuzione della media campionaria 2 1+2+...+

Sia x1, x2, …, xn un campione casuale estratto da una popolazione con media µ e varianza e sia X= la

●​ σ

media campionaria 2

σ

Per n sufficientemente grande X≈N(µ, )

●​ −µ

Media campionaria standardizzata: ≈N(0,1)

●​ σ

−µ −µ −µ

Calcolo della probabilità: P(X<a)=P( < )≈P(Z< )

●​ σ σ σ

Campionamento da popolazioni finite

Consideriamo una popolazione di numerosità N in cui Np elementi presentano una caratteristica di interesse

●​ Sia p la proporzione della popolazione che ha tale caratteristica

●​ Supponiamo di avere estratto un campione casuale di dimensione n da questa popolazione

●​ Sia inoltre x=x1+x2+...+xn il numero di membri del campione che possiede la caratteristica

●​ La proporzione di membri del campione che possiede la caratteristica è data dalla media campionaria

●​

Distribuzione della proporzione campionaria

Quando N è grande rispetto a n, X presenta una distribuzione approssimativamente binomiale di parametri n e p:

●​ Xi≈B(n, p) da cui E(X)=np e Var(X)=np(1-p)

​

= ∑

=1 (1−)

La proporzione del campione che ha una certa caratteristica presenta E(X)=p e Var(X)=

●​

Approssimazione normale della distribuzione binomiale

(1−)

Se np>5 e n(1-p)>5 per il TCL X≈N(p, )

Distribuzione della varianza campionaria

Variabile aleatoria chi-quadrato 2 2 2

Siano Z1,Z2,...,Zn variabili aleatorie Normali standard indipendenti, la variabile aleatoria dove è una

∑ ∼

=1

variabile aleatoria chi-quadrato con n gradi di libertà

2

Valore atteso di una : E( Z^2n)=n

∑

=1

Distribuzione della varianza campionaria di una popolazione Normale 2

Sia x1, x2, …, xn un campione casuale estratto da una popolazione Normale con media µ e varianza . Consideriamo

●​ σ

2

∑ (−)

2

la variabile aleatoria varianza campionaria =1

= −1

2

∑ (−)

2 2

(−1)

Si dimostra il seguente teorema: -1 ha una distribuzione chi-quadrato con n-1 gradi di

●​ =1

= ∼

2 2

σ σ

libertà Capitolo 8 6

Un problema fondamentale dell'interferenza statistica riguarda l'utilizzo delle informazioni proveniente da un

●​ campione per stimare dei parametri ignoti della popolazione

Siamo X1,X2,...,Xn le variabili casuali che generano i valori osserva