Statica Cinematica e Dinamica dei fluidi

Statica dei Fluidi

1. Sforzi nei fluidi in quiete

• Equazione indeterminata della statica dei fluidi
• Equazione globale dell'equilibrio statico
• Statica dei fluidi pesanti incomprimibili

Sforzi nei fluidi in quiete

Sforzi interni dei fluidi in quiete.

La teoria vuole, perché ci siano sforzi tangenziali, ci deve essere una velocità di deformazione, oltre ad una viscosità

^{τ = μ · γ = μ}_du/dr

dove ^du/dr rappresenta la velocità di deformazione

^μ viscosità

Se il fluido è in quiete du = 0, ^du/dr = 0, quindi ^τ = 0

Ne deriva che gli sforzi di un fluido in quiete sono unicamente normali alla superficie su cui agiscono

Possiamo dire che un fluido in quiete si comporta come un fluido perfetto

Quindi fluido in quiete ha:

• ^du/dτ = 0 dov'è? dappertutto, su qualunque piano e in qualunque direzione
• ^τ = 0

Un sforzo normale

• ^σ_n era l'esposizione sul piano di normale n. Adesso lo sforzo ^σ_n è diretto lungo n.

Se adesso questo sforzo è diretto lungo n, lo chiamo ^σ_n, chiaramente ^σ_n sarà:

• ^σ_nx = ^σ_n cos n^{∧cos n}_x
• ^σ_ny = ^σ_n cos n_y
• ^σ_nz = ^σ_n cos n_z

Che abbiamo trovato che:

(1) σ_x = 0; σ_y = σ_z = σ'

Teorema che è fondamentale nello studio della idrostatica

Ci porta a dire che lo sforzo in un generico punto di un fluido in quiete è diretto

normalmente all'elemento di superficie sul quale è esercitato (τ = 0) e ha modulo indipendente dalle g.c.i.v..

Chiamiamo pressione il valore di σ': σ_x = σ_y = σ_z = σ'

di una massa fluida in quiete il modulo dello sforzo nel processo

Modulo → la pressione è uno scalare

Quindi gli sforzi sono definiti dalla pressione

Cerchiamo ora di capire la pressione da chi dipende.

Prendiamo una massa fluida e individuiamo un punto P

(disegno)

Attorno a questo punto P costruiamo un elementino infinitesimo, che

nella fattispecie è un cubo.

Estraiamo questo elementino dalla massa fluida e lo riferiamo a un sistema orientato x, y, z, con origine nel punto O (o nel punto P)

Dobbiamo capire l'equazione che definisce l'equazione di una massa fluida in quiete

Lemma di Green

∫_W ( ^∂P∂x î + ^∂P∂y ĵ + ^∂P∂z k̂ ) dV

Appicando il lemma di Green possiamo ridurre ad un integrale di superficie

∫_A P ( cos nx î + cos hy ĵ + cos nz k̂ ) dA =

= -∫_A P 𝑎 dA

FORZA

Integrale di superficie dove compare la normale alla superficie che si sta considerando

Quindi la risultante di queste forze la indichiamo con Π e sono

le azioni che la superficie di contorno attraversa la

superficie A ed esplica sul volume di controllo W

Π è la risultante delle forze di SUPERFICIE

∫_A P 𝑎 dA = Π→

Π→ + G→ = 0

EQ. GLOBALE EQUILIBRIO STATICO

Cioè le forze di volume che agiscono sul volume e le forze di superficie che agiscono

sulla frontiera si devono fare EQUILIBRIO

(indipendentemente dalle forze interne)

Mi occupo banalmente di una forza di volume

che banalmente è una forza peso e le forze di superficie

che delimitano il volume esterno.

In questo caso non abbiamo a che fare con 2 recipienti a contatto con l'atmosfera!

Z_A + P_A = Z_B + P_B

Z_A = Z_B → P_A = P_B

La pressione nel punto A è pari alla pressione atmosferica:

P_A = P_atm = 10⁵ Pa

γh = 10⁵ Pa

h = ¹⁰⁵/₉₈₀₇ ≅ 10 m

Per bilanciare questa pressione in A, mi servirebbe in B uno di 10⁵ Pa.

È mai possibile che il fluido in B abbia la stessa quota di A? Se il fluido in B avesse la stessa quota di A, e qua fosse il vuoto, in B la pressione varrebbe 0.

Invece B è all'interno di un serbatoio d'acciaio sconnesso dal mondo esterno e nel quale c'è il vuoto, vuol dire che se l’acqua si ponesse alla quota di B, non ci sarebbe nulla sopra all’acqua in grado di forniture 10⁵ Pa che eguagliano le pressioni.

Diagramma delle PRESSIONI ASSOLUTE

diagramma delle pressioni assolute ha origine dal pelo libero del fluido (pelo libero di contatto con il vuoto) cioè con la pressione ass nulla

la pressione assoluta crescita con la quota e alla quota

Dal punto di vista del MODULO della spinta, siccome le spinte elementari sono tutte parallele, ci possiamo limitare ad effettuare la somma algebrica delle spinte elementari. Questo solo perché essendo spinte su una parete piana, sono tutte ortogonali alla parete piana che per definizione ammette unica normale e quindi sono tutte parallele tra di loro.

Quindi l'integrale lo possiamo risolvere semplicemente come:

Π = ∫_A P dA

● Π = ∫_A P dA = ∫_A γ h dA = ∫_A γ x sinα dA

concentrata sulla singola dA

Posso scrivere che h = x sinα

Prendiamo il baricentro della figura

G(x₀, y₀)   ⇒   X₀ = ¹/_A * ∫_A x dA   (per definizione)

● quindi   Π = γ A X₀ sinα   = γ h₀ A = P₀ A

​              _{h0       attordamento        pressione}

cioè la spinta su una superficie piana è pari in modulo

●  Π = P₀ A

            _{Area della superficie   pressione nel baricentro della superficie}

di controllo. Queste forze devono farsi EQUILIBRIO. Quindi

_Π + G = 0

espressione di NATURA SIMBOLICA

_Π0 + _Π1 + G₁ = 0

Stiamo cercando l'azione che il fluido esercita sulla superf. curva

Π₀ è l'azione che la superfice esercita nel fluido. Quindi la SPINTA che stiamo cercando è proprio pari a -Π₀.

Σ = Π₀ = Π₁ + G

_Π1 l = γ A ⋅ h_G = γ b ⋅ L ⋅ h_G

G₁ l = γ W

volume

Esercizio N.3

19 ottobre

Serbatoio pieno di olio.

Calcolare la forza sulla parete

Posizione del baricentro

S = P₀ ⋅ A (spinta S)

pressione nel baricentro

P₀ = ϒ ⋅ h_G

h_G = ³/₂ = 1.5 m

S = ϒ ⋅ h_G ⋅ A = 9.000 ⋅ 1.5 ⋅ 3.0 ⋅ 2.0 = 81.000 N

Spuita S applicato nel centro di spunta. (componente una orizzontale, una verticale)

C centro di spinta

I₀ = ^{b ⋅ h3}/₁₂ momento d'inerzia I₀ (si calcola in spunto ad una retta parallela alla L.S. passante per il baricentro)

H = momento statico di calcolo rispetto alla linea di sponda

H = A ⋅ X_G = b ⋅ h ⋅ ^R/₂ distanza fra baricentro e linea di sponda