La Statica dei Fluidi

F

n



p

pressione

b) la S 

F

F componente normale della forza

con n 2

S N/m

incidente su una superficie piana (in )

fig. 2 F

(vedi ). Si nota che la pressione è una

grandezza scalare e la forza che possiamo F

n

pS solo

calcolare come è la componente S

della forza normale alla superficie S. L’unita fig. 2

2

N/m Pascal

di misura è anche indicata come

2



(Pa) Pa = 1 N/m

1 . La pressione è anche

atmosfera Atm

misurata in ( ) che definiremo

in seguito.

2) Legge di Stevino

Iniziamo con osservare che i fluidi in equilibrio contenuti in un recipiente esercitano

fig. 3b

delle forze sulle le pareti. Questo è evidente in : un foro nelle parete causa il

F

movimento del fluido per l’azione di una forza generata dal fluido, che altrimenti è

ℓ

T fig 3a

annullata dalla rigidità della parete ( . ). La direzione di uscita del fluido,

p F agisce perpendicolarmente alla parete.

perpendicolare alla parete, suggerisce che ℓ

F

F T a

ℓ

ℓ p F

ℓ

fig. 3a fig. 3b fig. 3c

10/12/2010 Lezioni di Fisica per CTF – MdP 2

Un’ulteriore prova di ciò si ha riempiendo con un fluido un recipiente avente pareti

perfettamente elastiche, questo assume una forma sferica che è l’unica in grado di

F fig. 3c

garantire che sia perpendicolare a ogni punto della parete ( ).

ℓ

Un’altra semplice osservazione permette di affermare che anche all’interno di un

F

fluido in equilibrio si esercitano delle forze generate dal fluido stesso. Se togliamo

ℓ fig. 4a

del fluido all’interno di un recipiente con una cannuccia ( ), il “buco” che

istantaneamente creiamo è immediatamente riempito dalle molecole attigue che per

F

muoversi devono risentire di una forza Inoltre poiché ogni piccolissimo elemento

ℓ.

 S , comunque orientata e dovunque nel fluido, deve essere in

di fluido, di superficie F fig. 4b

equilibrio segue che le forze (vedi ) devono essere sempre perpendicolari a

ℓ

 S, agire su entrambe le sue facce e puntare verso di esse.

F

ap F

ℓ

 S

F

ℓ fig. 4a fig. 4b 

F sono perpendicolari S

sia alle pareti sia a una qualsiasi superficie

Poiché le forze ℓ pressione p esercitata dal fluido

interna al fluido si parla generalmente di e la forza

F forza di pressione S

, detta , esercitata su una superficie può valutata come:

ℓ

F =F= pS.

ℓ 

p.

Il problema è ora di calcolare Consideriamo un fluido in equilibrio di densità e

 

y = y y e di area di base

concentriamoci su una sua porzione cilindrica di altezza 2 1

S sufficientemente piccola da poter assumere le pressioni costanti su ciascuna delle

. fig. 5 p p y . y

due basi (vedi ). Indichiamo con e le pressioni nelle posizioni e

1 2 1 2

rispettivamente.

Le forze agenti su questo cilindretto sono:

   

 

   

W m

g V

g S y

g

a) la forza peso: 

F F = p S

b) le forze di pressione sulla base superiore in modulo 2 2

2



F F = p S

c) le forze di pressione sulla base inferiore in modulo 1 1

1 

F

d) le forze di pressione sulla superficie laterale .

3

10/12/2010 Lezioni di Fisica per CTF – MdP 3

Poiché la porzione di fluido è in equilibrio deve essere:

   

    

F 0 W F F 0

a) b)

3 2 1

y  O

Superficie libera del fluido

F

2 h

y 2

2 F

3

W

y h

1 1

F

1

O h

fig. 5

    

p S S yg p S = 0

Dalla b, segue: 1 2



p = p yg.

2.1 +

1 2

Poiché in pratica per un punto immerso in un fluido è più comodo misurare la

profondità h fig. 5 l’altezza y

(vedi ) piuttosto che rispetto al fondo, sostituiamo nella

   

y h = h h

con

2.1 1 2

 

p = p h h g

+ ( )

2.2 1 2 1 2

h h

La 2.2 vale per qualsiasi e/o quindi scriviamola per un generico punto a

1 2

h = h h = 0

profondità e con (ossia sulla superficie libera del fluido) osservando che

1 2

p = p (p =

sarà eventualmente dovuta a cause esterna al fluido

in questo caso 2 0 0

pressione esterna ovvero pressione sulla superficie del fluido). Segue:



p(h) = p gh legge di Stevino

2.3 + detta

0

Questa relazione mostra che la pressione in un punto dipende solo dalla posizione

h

verticale del punto rispetto al fluido e che essa aumenta con la profondità del punto.

non è una nuova legge ma solo una

Si sottolinea che, a dispetto del nome, la 2.3

riformulazione del principio di equilibrio, in termini più opportuni per i fluidi. Essa ci

spiega l’origine della pressione nei fluidi: la pressione è una manifestazione della

h

forza peso. Infatti, la pressione dovuta al fluido in un punto a profondità , ovvero il

 gh, è la forza peso esercitata da colonna di fluido di sezione unitaria e

termine

10/12/2010 Lezioni di Fisica per CTF – MdP 4

 3

h . =1000 Kg/m

altezza sopra il punto Se, ad esempio, il fluido è acqua ( ) e la

  4

h = 10 m gh = 9,8 10 Pa

si ha all’incirca uguale alla pressione esercitata

profondità  5

(pressione atmosferica, ) 10

vedi par. 3.3 pari a

dall’aria sulla superficie terrestre

Pa.

Dobbiamo sottolineare che la relazione precedente è essenzialmente valida solo per i

 = cost , situazione che sicuramente non è

liquidi infatti è ricavata assumendo che  

= (h) . Ma essa non spiega neanche la

valida per grosse quantità di gas dove

pressione esercitata da modeste quantità di gas racchiuse in un recipiente quando la

   3

= cost 1 Kg/m

può essere valida; infatti per un gas ( ) e per una

condizione 

h = 10 m gh = 98 Pa

si ha ossia un valore completamente trascurabile

profondità

rispetto alla pressione atmosferica; di conseguenza un gas in un recipiente dovrebbe

essere sempre a pressione atmosferica; cosa che non si verifica sperimentalmente.

Dovremmo trovare un'altra causa per spiegare la pressione nei gas (vedi par 6).

3) Conseguenza della legge di Stevino.

3.1) Il principio dei vasi comunicanti.

Consideriamo recipienti di forma diversa riempiti dello stesso fluido, collegati fra

fig. 6

loro e superiormente aperti ( ). All’equilibrio, affinché il fluido sia fermo, deve

A B r

aversi che punti qualsiasi e della retta orizzontale devono avere la stessa

pressione, altrimenti il fluido si muoverebbe da punti a pressione maggiore (soggetti a

forze più intense) verso punti a pressione minore (soggetti a forze meno intense),

quindi:    

= p p + gh = p + gh h = h = h

p A B 0 A 0 B A B

ossia il livello del fluido è lo stesso in tutti i contenitori a prescindere dalla loro forma

principio dei vasi comunicanti).

(fatto noto con il nome di h

h B

A h

r  

A B fig. 6

10/12/2010 Lezioni di Fisica per CTF – MdP 5

3.2) Equilibrio di liquidi diversi e non miscibili.

 

e , non miscibili posti in due

Consideriamo due fluidi diversi, di densità 1 2

recipienti comunicanti e aperti superiormente. Poiché abbiamo appena visto che la

forma dei recipienti è irrilevante, assumiamo che si tratta di un tubo piegato a U come

fig. 7.

in All’equilibrio, affinché i fluidi siano

fermi, deve aversi che i punti della

r

retta orizzontale devono avere la

stessa pressione, quindi:

 1   

p = p p + gh = p + gh

 h A B 0 1 1 0 2 2

2

2

h r

1   

h = h .

  1 1 2 2

A B Se le densità sono diverse,

all’equilibrio i fluidi all’equilibrio

hanno altezza diversa; assumendo

fig. 7   

fig.7) < h > h .

(come in 1 2 1 2

3.3) La misura della pressione atmosferica.

La verifica dell’esistenza della pressione atmosferica e la sua misura sono dovute a E.

Torricelli (nel 1644) con una esperienza, che porta il suo nome, qui schematicamente

descritta. Se un tubo chiuso superiormente,

in cui è stato tolta l’aria, è immerso in un t0

p

liquido si nota, al raggiungimento

dell’equilibrio, un innalzamento del fluido

h fig. 8

nel tubo fino alla quota (vedi ).

Affinché il fluido sia fermo, deve aversi che h

punti diversi a livello della superficie libera p

del fluido devono avere la stessa pressione, 0

p = p

quindi: con  

A B A B

= p A

p , essendo sulla superficie libera

A 0

del fluido, 

t0 fig. 8

p p + gh; ma la pressione nella parte

B = t0

p =0

libera del tubo è (questo perche in

 

p gh.

esso è stata tolta l’aria) B =



p = gh h .

Segue che ovvero è determinato dalla pressione atmosferica

0

10/12/2010 Lezioni di Fisica per CTF – MdP 6

 3

= 13600 Kg/m )

Torricelli usò come fluido il mercurio ( e, operando al livello del

   5 2

h 760 mm p 1,013 10 N/m . h

e quindi Poiché si notò subito che

mare, trovò 0

variava leggermente con le condizioni metereologiche e con l’altezza dal livello del

, , atmosfera (Atm),

mare si definì l’unità di misura della pressione detta quella

h =760 mm

pressione che causava un innalzamento e quindi:

 5 2

10 N/m

1 Atm = 1,013

4) Il principio di Pascal.  = cost

) chiuso con un pistone a tenuta in un

Consideriamo un fluido ideale ( p

recipiente e supponiamo di variare la pressione esterna sul pistone di una quantità

0

 p fig. 9 A

( ). Per la legge di Stevino, in un punto qualsiasi nel fluido, dove



p = p + gh avremo ora:

originariamente c’era una pressione i,A 0 A

     

p = p + p + gh = (p + gh ) + p p = p + p

f,A 0 A 0 A f,A i,A



A p

ossia anche in si ha lo stesso aumento di pressione . Vista la genericità del punto

A

, possiamo dire che: in un fluido incomprimibile una variazione di pressione in un

punto si trasmette identica su ogni punto. (Principio di Pascal).



p p + p

0 0

h h 

p = p + p

A A f,A i,A

p

p 

 f,A

i,A

h h 

p = p + p

B B f,B i,B

p p

 

i,B f,B

fig. 9

Ad esempio, applichiamo il principio di Pascal per fare u