Geometria 1 - lo spazio vettoriale

Algebra lineare

Definizione di spazio vettoriale

Dato un insieme V e potendo definire:

• Addizione: Sommando ad un elemento di V un altro di V si ottiene un altro elemento di V.
• Moltiplicazione: Moltiplicando un elemento di V con uno scalare (un numero reale) si ottiene un altro elemento di V.

Tale terna è detta spazio vettoriale se sono soddisfatte alcune proprietà. Gli elementi di V prenderanno allora il nome di vettori.

Proprietà dell'addizione

• Associativa: (x+y)+z = x+(y+z) ∀ x, y, z ∈ V
• Commutativa: x+y = y+x ∀ x, y ∈ V
• Esistenza dell'elemento neutro: ∃ 0 ∈ V : x+0 = x ∀ x ∈ V
• Esistenza dell'opposto: ∀ x ∈ V, ∃ y ∈ V : x+y = 0

Proprietà della moltiplicazione

• Associativa: a*(b*x) = (a*b)*x ∀ a, b ∈ IR e x ∈ V
• Esistenza dell'elemento neutro: x*1 = x ∀ x ∈ V
• Distributiva: (a+b)*x = a*x + b*x ∀ a, b ∈ IR e x ∈ V

Proprietà comune di addizione e moltiplicazione

• Distributiva: a*(x+y) = a*x + a*y ∀ a ∈ IR e x, y ∈ V

È importante notare che: 0*x = 0 e a*0 = 0.

Esempi di spazi vettoriali

L'insieme IR può essere considerato come uno spazio vettoriale: dato a ∈ IR posso moltiplicare/sommare a con uno scalare, ottenendo un altro numero reale, e valgono tutte le proprietà sopra elencate. Ogni numero reale può essere visto come un vettore che appartiene allo spazio vettoriale dei numeri reali.

Spazi vettoriali nel piano e nello spazio tridimensionale

La coppia ordinata (x₁, y₁) individua il punto P, ma ogni punto è caratterizzato da due coordinate. Ogni punto del piano può essere visto come un vettore, caratterizzato da due coordinate.

• Somma: (x₁, y₁) + (x₂, y₂) = (x₁+x₂, y₁+y₂)
• Moltiplicazione: a*(x, y) = (ax, ay)

Perché sia uno spazio vettoriale dimostro che valgono le proprietà:

• Esistenza dell'elemento neutro: (x, y) + (0, 0) = (x, y)
• Esistenza dell'opposto: (x, y) + (-x, -y) = (0, 0)
• Vale la commutativa: (x₁, y₁) + (x₂, y₂) = (x₂, y₂) + (x₁, y₁)

IR² è uno spazio vettoriale, i cui vettori sono le coppie di scalari. Anche lo spazio tridimensionale è uno spazio vettoriale, i cui vettori sono triplette ordinate.

• Somma: (x₁, y₁, z₁) + (x₂, y₂, z₂) = (x₁+x₂, y₁+y₂, z₁+z₂)
• Moltiplicazione: a*(x, y, z) = (ax, ay, az)

Le proprietà sono dimostrabili come per lo spazio bidimensionale.

Spazi vettoriali di matrici

Una tabella di questo tipo è una matrice m×n. Le matrici si indicano con lettere maiuscole. L'insieme delle matrici m×n è uno spazio vettoriale, poiché ogni matrice può essere pensata come un vettore.

Operazioni con le matrici

Addizione

Somma di matrici con uno stesso numero di righe e colonne:

1  -1  0  1    5  3  2  1    6  2  2  2
2   1  0  1  + 7 -1  0  2  = 9  0  0  3
3  -1  2  1    4  3  2  1    7  2  4  2

Date due matrici A e B, A+B darà luogo a una matrice C, il cui generico elemento sarà c_ij = a_ij + b_ij.

Moltiplicazione

Moltiplicare uno scalare per una matrice qualsiasi:

   5  3  2  1         15  9  6  3
3* 7 -1  0  2   =    21 -3  0  6
   4  3  2  1         12  9  6  3

Per dimostrare che una matrice è spazio vettoriale bisogna a questo punto dimostrare le proprietà.

Proprietà delle matrici come spazio vettoriale

• Esistenza dell'elemento neutro:

          a11  a12  a1n    0  0  0          a11  a12  a1n
          a21  a22  a2n +  0  0  0   =     a21  a22  a2n
          a31  a32  a3n    0  0  0        a31  a32  a3n
          

• Esistenza dell'opposto: -a_mn esiste per ogni a_mn in V.

È uno spazio vettoriale perché valgono tutte le proprietà.

Polinomi come spazio vettoriale

Si considerino ora tutti i polinomi di grado minore o uguale a 2, cioè del tipo:

• Addizione: (a₁x² + b₁x + c₁) + (a₂x² + b₂x + c₂) = (a₁ + a₂)x² + (b₁ + b₂)x + (c₁ + c₂)
• Moltiplicazione: d*(ax² + bx + c) = (da)x² + (db)x + dc

Le proprietà valgono tutte, quindi i polinomi di grado minore o uguale a 2 sono dei vettori dello spazio vettoriale dei polinomi di grado minore o uguale a 2.

Invece i polinomi di grado uguale a 2 non sono uno spazio vettoriale, perché potrebbe non esistere l'elemento neutro e perché si potrebbe ottenere, in seguito ad addizione, un polinomio di grado minore.

Generalizzando il discorso, tutti i polinomi di grado minore o uguale a m costituiscono uno spazio vettoriale.

Sottospazio vettoriale

Dato S ⊆ V (S sottoinsieme proprio di V), S ⊆ V è un sottospazio vettoriale se e solo se S è spazio vettoriale.

Dato S ⊆ V, S è spazio vettoriale se e solo se sono verificate queste tre condizioni indispensabili:

• S ≠ ∅
• x, y ∈ S ⇒ x+y ∈ S
• a ∈ IR, x ∈ S ⇒ a*x ∈ S

Se l'insieme S non è vuoto e se è chiuso rispetto all'addizione e alla moltiplicazione, allora è un sottospazio vettoriale. Basta dimostrare queste tre condizioni per dimostrare che S sia un sottospazio vettoriale.

Esempio di matrice triangolare alta come sottospazio vettoriale

Si dimostra ora che una matrice triangolare alta (cioè quella matrice che sotto una diagonale presenta solo 0) è un sottospazio vettoriale dell'insieme delle matrici.

• B è non vuoto: La matrice triangolare alta contiene almeno l'elemento neutro.
• Chiusura rispetto all'addizione: Sommando due matrici triangolari alte ottengo un'altra matrice triangolare alta.
• Chiusura rispetto alla moltiplicazione: Moltiplicando una matrice triangolare alta per uno scalare si ottiene un'altra matrice triangolare alta.

Sottospazi banali

Si dicono sottospazi banali di V: V stesso e il sottoinsieme vettore nullo (0). Riguardo a IR², sono sottospazi banali il vettore nullo (0,0) e IR² stesso. Ma oltre a questi due sottospazi, IR² ne ammette un altro: la retta passante per l'origine degli assi, definita da y=mx.

Combinazione lineare finita

Considerando n vettori x₁, x₂, ..., x_n ∈ V e considerando n numeri reali, detti combinatori, c₁, c₂, ..., c_n ∈ IR, si può affermare che:

• Combinazione lineare: x = c₁x₁ + c₂x₂ + ... + c_nx_n è una combinazione lineare finita.

È finita, perché di n elementi. È una combinazione perché gli elementi sono combinati tra loro attraverso le operazioni di somma e moltiplicazione. È lineare, perché ogni vettore che compare, compare linearmente (non ci sono quadrati).

La stessa scrittura può essere vista come:

∑ (c_ix_i)

Si ottiene attraverso una combinazione lineare finita un sottospazio vettoriale S di V, perché valgono le tre condizioni:

• S ≠ ∅ (contiene almeno il vettore nullo).
• c₁x₁ + c₂x₂ = (c₁ + c₂)x_i
• (c₁x₁ + c₂x₂) * a = ac₁x₁ + ac₂x₂

Questo particolare sottospazio prende il nome di sottospazio generato dai vettori x₁, x₂, ..., x_n e si indica con la notazione <x₁, x₂, ..., x_n>, che è l'insieme di tutte le possibili combinazioni lineari finite di n vettori.

Ogni elemento di S è, quindi, esprimibile come una particolare combinazione finita.

Esempio di combinazione lineare

Esempio: S = <x₁, x₂, ..., x_n>

x₁ = (1, 0) ∈ IR²

x₂ = (0, 1) ∈ IR²

Il punto V(x, y) può essere espresso come combinazione di x₁ e x₂.

V = x*(1, 0) + y*(0, 1) (x e y saranno i combinatori) V = (x, 0) + (0, y) = (x, y)

Esempio: V(3, 7)

V = 3*(1, 0) + 7*(0, 1) V = (3, 0) + (0, 7) = (3, 7)

IR² = <(1, 0), (0, 1)>, perché ogni punto del piano può essere espresso come combinazione di questi vettori.

IR³ = <(1, 0, 0), (0, 1, 0), (0, 0, 1)>, perché ogni punto nelle tre dimensioni può essere espresso come combinazione di questi vettori.

Spazio finitamente generato

Si definisce a questo punto lo spazio finitamente generato come spazio creato da un numero finito di vettori generatori.

Dipendenza e indipendenza lineare di vettori

Dati dei vettori: x₁, x₂, ..., x_n e dati dei numeri reali: c₁, c₂, ..., c_n, i vettori x₁, x₂, ..., x_n sono linearmente dipendenti se esiste una loro combinazione lineare finita con combinatori non tutti nulli tale che:

• c₁x₁ + c₂x₂ + ... + c_nx_n = 0

Quindi, se riesco a ottenere il 0 come combinazione lineare usando combinatori non tutti nulli, i vettori sono linearmente dipendenti.

Viceversa: se l'unico modo per ottenere il vettore nullo è quello di porre tutti i combinatori uguali a 0, allora i vettori sono linearmente indipendenti.

Esempio di indipendenza

1  0  0
0  1  0
0  0  1

Sono linearmente indipendenti:

• c₁*^{(1, 0, 0)} + c₂*^{(0, 1, 0)} + c₃*^{(0, 0, 1)} = 0
• L'unico modo perché l'operazione sia uguale a 0 è che tutti i combinatori siano uguali a 0. Di conseguenza, i vettori sono linearmente indipendenti.

Esempio di dipendenza

1  2
2  4
3  6

Sono linearmente dipendenti:

• c₁*^{(1, 2, 3)} + c₂*^{(2, 4, 6)} = 0
• Se c₁ = 1, allora c₂ = -1/2
• I vettori sono linearmente dipendenti perché la loro combinazione è uguale a 0 per c≠0.

Base di uno spazio vettoriale finitamente generato

Una base di uno spazio vettoriale V è un insieme di vettori x₁, x₂, ..., x_n tali che:

• V è lo spazio generato da x₁, x₂, ..., x_n (cioè i vettori sono generatori di V).
• x₁, x₂, ..., x_n sono linearmente indipendenti.

È importante l'"una" perché di basi ce ne sono infinite.

Esempio di base

1  0  0
0  1  0
0  0  1

Questi vettori sono linearmente indipendenti e sono generatori di uno spazio vettoriale.