Geometria 1 - lo spazio vettoriale

Operazioni con vettori

Dati i due vettori P (x , y ) e P (x , y ).

ADDIZIONE: (x +x , m(x , x ))

MOLTIPLICAZIONE: a*(x, mx) = (ax, amx)

La retta passante per l'origine degli assi è un sottospazio di IR. Invece, una retta non passante per l'origine degli assi non è un sottospazio di IR, perché non incontra il vettore nullo.

Combinazione lineare finita.

Considerando n vettori x₁, x₂, x₃, ..., xₙ e considerando n numeri reali, detti combinatori, c₁, c₂, c₃, ..., cₙ IR, si può affermare che:

x = c₁x₁ + c₂x₂ + c₃x₃ + ... + cₙxₙ è una combinazione lineare finita.

È finita, perché di n elementi. È una combinazione perché gli elementi sono combinati tra loro attraverso le operazioni di somma e moltiplicazione. È lineare, perché ogni vettore che compare, compare linearmente (non ci sono quadrati).

La stessa scrittura può essere vista come: ∑_i=1ⁿ C_ix_i

ottiene attraverso una combinazione lineare finita un sottospazio vettoriale S di V, perché valgono le tre condizioni:

1. S≠Ø (contiene almeno il vettore nullo).
2. Σ (c * x + d * x) = (c + d) * Σ (x_i) = 1, i = 1, ..., n.
3. (c * x + c * x + c * x) * a = a * c * x + a * c * x + a * c * x, i = 1, ..., n.

Questo particolare sottospazio prende il nome di sottospazio generato dai vettori x_1, x_2, ..., x_n e si indica con la scrittura: <x_1, x_2, ..., x_n>, che è l'insieme di tutte le possibili combinazioni lineari finite di n vettori. x_1, x_2, ..., x_n sono i generatori del sottospazio generato S: infatti, le loro possibili combinazioni danno S. Ogni elemento di S è, quindi, esprimibile come una particolare combinazione finita.

Esempio. S = <x_1, x_2, x_n>

x_2 ∈ x = (1, 0) IR^2

x_3 ∈ x = (0, 1) IR^2

Il punto V(x, y) può essere espresso come combinazione di x_1 e x_2:

V = x * (1, 0) + y * (0, 1) (x e y saranno i combinatori)

V = (x, 0) + (0, y) = (x, y)

Esempio V(3, ...)

1. V = 3*(1, 0) + 7*(0, 1)
   V = (3, 0) + (0, 7) = (3, 7)
2. 2IR = <(1, 0), (0, 1)>, perché ogni punto del piano può essere espresso come combinazione di questi vettori.
3. 3IR = <(1, 0, 0), (0, 1, 0), (0, 0, 1)>, perché ogni punto nelle tre dimensioni può essere espresso come combinazione di questi vettori.
4. Si definisce a questo punto lo SPAZIO FINITAMENTE GENERATO come spazio creato da un numero finito di vettori generatori.
5. Dipendenza e indipendenza lineare di vettori.
   Dati dei vettori: x1, x2, ..., xn
   Dati dei numeri reali: c1, c2, ..., cn
   I vettori x1, x2, ..., xn sono linearmente dipendenti se esiste una loro combinazione lineare finita con combinatori non tutti nulli tale che
   c1x1 + c2x2 + ... + cnxn = 0
   Quindi, se riesco a ottenere il 0 come combinazione lineare usando combinatori non tutti nulli, i vettori sono linearmente dipendenti.
   Se l'unico modo per ottenere il vettore nullo è quello di porre tutti i combinatori nulli, i vettori sono linearmente indipendenti.

cioè c ≠ d. La combinazione può essere solo una e non più di una. È possibile dimostrare che vale anche l'opposto della prima proprietà, cioè:

1. Se ogni vettore x può essere espresso in modo unico come combinazione lineare dei vettori della base di V:

I vettori sono generatori, ma bisogna dimostrare, perché siano base, che siano linearmente indipendenti. Il vettore 0 può essere espresso in modo unico:

∑_i=10 = c_ix_i forza uguale a 0 perché è l'unico modo per poter avere 0. Il c deve essere per i vettori sono quindi linearmente indipendenti.

Esempio 3:

In IRⁿ:

(3, 5, 7) = 3*₁ + 5*₂ + 7*₃

3, 5, 7 sono i combinatori o componenti del vettore rispetto alla base.

Esempio In Matrici 2x2:

a₁₁ a₁₂

a₂₁ a₂₂

=

c d

Creare una base significa cercare un insieme di matrici tali che siano:

1. Indipendenti tra loro.

1. Ogni spazio vettoriale finitamente generato ammette (almeno) una base.
2. Ogni base di uno spazio vettoriale finitamente generato ha lo stesso numero di vettori.
3. Se n sono i vettori (linearmente indipendenti) della base, n+1 vettori sono linearmente dipendenti.

IR considero un insieme di 4 vettori, essi sono linearmente dipendenti. Il numero massimo di vettori indipendenti è quindi 3 (in IR è 2, in IR è n). Il numero massimo dei vettori linearmente indipendenti prende anche il nome di dimensione dello spazio (IR = 2, IR = 3, IR = n, M = 4). (2x2)

Anche un sottospazio vettoriale, in quanto spazio vettoriale, ha almeno una base.

Esempio. Una retta passante per l'origine è un sottospazio vettoriale. In IR, ogni Y=2x è sottospazio vettoriale.

P(x, 2x) = questo insieme di punti è un sottospazio.

Per capire la dimensione di ogni base basta trovarne una.

P(1, 2) è una base del sottospazio perché:

1. È generatore. Infatti, x*(1, 2) = tutti i punti della retta y=2x
2. È linearmente indipendente. Infatti, 1*1 + 0*2 = c*0 ⇔ c=0

La dimensione è 1 perché basta un vettore per generare il sottospazio.

Esempio. In M, ogni matrice triangolare alta 2x2 è spazio.

vettoriale.(2x2)Si cerca una base per capire la dimensione del sottospazio.

1 0 0 1 0 0

0 0 0 0 0 1

1 0 a a

0 1 0 0

1 1 2a

*

a

1 1 2

0 0 0

a

0 0 1 2

È una base vettoriale canonica e la dimensione dello spazio è 3

Se si conosce la dimensione dello spazio (n), per trovare una base basta trovare n

vettori linearmente indipendenti.  

S è sottospazio di V dim S dim V

Esempio.

0 1 0

1 2 0

1 0 1

2 3 1

Dimostrare che è una base di IR

1) Sono linearmente indipendenti.

0 1 0

1 2 0

1 0 1

2 3 1

0 1 0

1 2 0

1 0 1

0 1 0

1 2 0

1 0 1

3) Sono generatori, perché a

0 1 0

1 2 0

1 0 1

x 1

2x 3

3x 2

0 1 0

1 2 0

1 0 1

x 1

2x 3

3x 2

0 1 0

1 2 0

1 0 1

x 1

2x 3

3x 2

 Funzioni lineari.

Si dice funzione lineare quella funzione che ha come dominio e codominio due

insiemi uguali a spazi vettoriali.

Come funzione, valgono tutte le proprietà delle

funzioni non lineari.In generale si può dire che una funzione f:VW è lineare se:

1. ∀x, ∈1) y V f(x)+f(y)=f(x+y)

2. ∀x ∈ 2) V IR f(a*x) = a*f(x)

1) V W 2) V Wx f(x) x f(x)y f(y) a*x f(a*x)x+y f(x+y)

Esempio. f:IRIR(retta passante per l’origine)f(x)=ax è una funzione lineare perché:

1. f(x ) + f(x ) = f(x +x )

2. ax + ax = a(x +x ) = f(x +x )

3. f(b*x) = b*f(x)

4. a*(bx) = b*(ax)