Geometria

A, B M (R )

1. Se A è inverDbili => A è inverDbile e 7

2. Se A è inverDbile => A è inverDbile e

3. Se A e B sono inverDbili=> A B è inverDbile e

Def.

Def.

L’insieme delle matrici inverDbili di ordine n e GL (R ) M

Def.

A GL (R ). A è ortogonale se A = A

Def.

L’insieme delle matrici ortogonali di ordine n è On (R ) GL (R )

Def.

A M (R ) la traccia di A => tr A (somma degli elemenD sulla diagonale principale)

Proprietà della traccia

1. .

2. .

3. .

4. .

Def. Di determinante

Regola di Sarrus (per matrici 3x3)

Proprietà del determinante

1. Det (A )= det (A)

2. A triangolare superiore, inferiore o diagonale => det (A)=

3. Se o9engo B da A scambiando due righe (o colonne) => det (B) = -det (A)

4. Se o9engo B da A molDplicando una riga (o colonna) per => det (B) = det (A)

5. Se A ha una riga o colonna di zeri o ha due righe (o colonne) uguali o proporzionali => det (A) = 0

6. Se o9engo B da A sommando a una riga (o colonna) un mulDplo reale di un’altra riga (o colonna) =>

det (B) = det (A)

7. Det (A B)= det (A) det (B) [teorema di Binet]

8. Det (A )= 1/ det (A)

Def.

1. una so2omatrice di A è A

es. 8

2. una so2omatrice complementare è una so9omatrice o9enuta eliminando una solo e una sola

colonna di A

3. un minore di ordine k di A è il determinante di una so9omatrice quadrata di ordine k

4. se A quadrata il suo minore complementare di a è det (A )

5. se A quadrata il cofa2ore (complemento algebrico) di a è (-1) det (A ) => sviluppo di Laplace: a per

il suo cofa9ore

Def.

Il rango per minore di A è l’ordine del minore non nullo con ordine più grande e si indica rg(A) o rk(A)

[massimo ordine dei minori non nulli di A]

Oss.

0 < rg(A) < min m,n => rg(A) A = O

ó

Def.

Se rg(A)= min m,n => A ha rango massimo o pieno

Oss.

Det (A) è l’unico minore di ordine n di A => se il det(A) = 0 il rg= n

ó

Oss

Rg (A )= rg(A)

Teo. Teorema degli orla/

1. se tuH i minori di ordine k sono nulli => sono nulli tuH i minori di ordine >k

2. se b= 0 è un minore di ordine k corrispondente alla so9omatrice B di A e sono nulli tuH i minori di

ordine k+1 corrispondenD a so9omatrice contenenD B come so9omatrice (deH orlaD di B) => sono

nulli tuH i minori di ordine k+1 => rg(A)= k

Teo.

Sia B una matrice in forma o scalini con B A (secondo Gauss) => rg(A)=rg(B)=numero di pivot di B

Def.

A è non singolare se det(A) = 0. AltrimenD è singolare

Prop.

A det A = 0

ó

Teo.

A = dove cof (A) è la matrice dei cofa9ori di A

Def.

1. Il rango per righe di A è il massimo numero di righe linearmente indipendenD se consideraD elemenD

di R

2. Il rango per colonne di A è il massimo numero di colonne linearmente indipendenD se considerate

elemenD di R

Teo.

Rango per righe di A= rango di colonne di A= rg (A) 9

Teo.

V spazio ve9oriale su R. v ,…, v V base di V =>

Def. del precedente teorema sono de9e coordinate di V rispe2o alla base v ,…,v

Teo.

Se : A X = b (sistema lineare quadrato) => è determinato det A = 0 e in tal l’unica soluzione è X= A b

ó

Oss.

U, W so9ospazi di V(R ). U W è il so9ospazio più grande di V e W

Def.

V è uno spazio ve9oriale su V su R. U, W so9ospazio di V. La somma di U e W è U+W := {u+w} ed è un

so9ospazio ve9oriale che conDene U e W

Prop.

V è uno spazio ve9oriale su R con U, W so9ospazi di V e base di U e base di W =>

1. U+W = span => cioè generano lo spazio somma, ma, in generale,

non sono una base

2. U W = => => è una base dello spazio somma

Teo. Formula di Grassman

Dim (U+W) + dim (U W) = dim U + dim W

Es.

Matrice di funzioni lineari rispe6o a basi scelte

V, W spazi ve9oriali su R. B = base di V e B = base di W 10

Oss.

Sia C (V) il ve9ore delle coordinate di V rispe9o alla base B

Prop.

V, W, U spazi ve9oriali su R:

1. f: V -> W lineare

g: W -> U lineare

2. f: V-> W lineare =>

Es.

Oss.

Id : V-> V -> funzione iden/tà

Teo. Teorema di Rouchè-Capelli

A X= B è compa+bile rg(A) = rg(A|B). Il rg(A|B) può essere maggiore del rg(A) al massimo di una unità

ó

Teo. Teorema dei sistemi lineari omogenei

L’insieme delle soluzioni di A X= O in n incognite è un so<ospazio di R di dim[n – rg(A)]

Dim.

Consideriamo l’applicazione f: R -> R (n è il numero di equazioni del sistema. Essendo f lineare, ha senso

parlare del suo nucleo. Si ha che Ker f è l’insieme delle soluzioni di A X= O. Quindi S = Ker f < R . Secondo il

teorema nucleo immagine

Basta convincersi che dim (Img)= rg A

Lemma

Se f: U -> V lineare e B è una base di U, allora i ve9ori f (u ), …, f (u ) generano Imf

Dim.

Sia v Imf. Si ha v= f (u ) con u U => v = f(x u +…+ x u ) = x f (u )+…+ x f(u )

Quindi per il lemma, le colonne di A generano l’immagine di f. segue che una base di Imf è un insieme di

colonne l.i. di A di cardinalità massima. Ciò vuol dire che dim (imf) è il massimo numero di colonne l.i. di A=

rg(A).

Teo.

Sia S l’insieme delle soluzioni di un sistema lineare A X= B compaDbile e sia T l’insieme delle soluzioni di A

X=O (sistema lineare omogeneo associato a quello dato). Se Y è un qualunque elemento di S, si ha:

Dim.

Basta provare che S e che. . Sia Y S. Per definizione di S si ha 11

Prop.

A X = B ha 0, 1 o infinite soluzioni. Per dimostrarlo basta applicare il teorema appena visto tenendo presente

che T ha 1 (ve9ore nullo) o infiniD ve9ori

Teorema di Cramer

Un sistema lineare quadrato ha una sola soluzione det A = 0

ó

Dim.

=>Supponiamo che A X = B abbia una sola soluzione Y. Per il teorema precedente, l’insieme delle soluzioni di

A X= O è rido9o al solo ve9ore nullo. Quindi l’insieme delle soluzioni di A X= O ha dimensione 0. Allora per il

teorema sui sistemi lineari omogenei si ha n – rg(a)= 0 => rg (a)= n => det(A)= 0 (pensando al rango per minori)

<=Sia A X= B un sistema quadrato con det A= 0. La matrice A è inverDbile: A A = A A = I => I X= A B => X= A B

Def.

Date A M si chiama aggiunta di A la matrice A M in cui a è il complemento algebrico di a in A

Prop.

A A = A A =

Algoritmo di risoluzione di un sistema lineare

1. calcolo il rg(a) e rg(A|B) per applicare Rouchè-Capelli. Se

• rg (A|B) = rg (A) + 1 non ha soluzione

• rg (A|B) = rg (A) si procede come segue

2. scelgo a piacere un minore di ordine r non nullo di A

3. eliminare tu<e le equazioni del sistema corrispondenD alle righe di A che non sono state u+lizzate

per la costruzione del minore. Rimango con r equazioni in n incognite

4. porto al secondo membro tu9e le incognite corrispondenD alle colonne di A che non ho u+lizzato per

la costruzione del minore. A tali incognite assegno dei parametri arbitrari

5. rimango con un sistema rxr in cui il determinante è quello del minore non nullo al passo 2

6. trovo la soluzione di questo sistema con la regola di Cramer o A A X = A B

7. o9engo soluzioni (dove n-r è il numero di parametri)

Regola di Cramer

Def.

Due spazi ve9oriali U e V si dicono isomorfi (e si scrive U V) se esiste (almeno) un isomorfismo f: U-> V

Teorema fondamentale degli isoformismi

U V dim U= dim V. Il teorema è vero pur di considerare spazi ve9oriali di dimensione finita

ó

Dim.

=>U V => f: U-> V lineare e bieHva (f è inieHva, quindi Ker f= 0 => dim ker f= 0, f surieHva, quindi Img=V).

Applicando il teorema nucleo immagine o9engo dim U= dim V

<=Sia dim U= dim V = n. Sia B= una base di U. Sia B una base di V. Consideriamo l’applicazione

f: U -> V. Si verifica che f è lineare e bieHva

Oss.

f: R-> R. B base di R, B base di R 12

Oss.

F: V-> V lineare endomorfismo (dominio= codominio). B e B basi di V

1. La matrice rappresentaDva di un endomorfismo è unica a meno di una similitudine

2. Se A, B M(R ) e A B rappresentano lo stesso endomorfismo e se B= M A M => M è la matrice del

cambio di coordinate

Def.

A e B sono simili se M GL (R ) t.c. B= MAM e si indica A B

Teo. Divisione di polinomi

Deg (a(x)) > deg (b(x)) => q(x), r(x) R[x] t.c. a(x)= q(x) b(x) + r(x) con deg(r(x)) < deg(b(x))

Es.

Def.

b|a r(x)=0 (“b divide a” = è divisibile)

ó

Def.

P(x) € R , x € R è zero o radice di p(x) se p(x )= 0

Teo. Teorema del resto

Deg(p(x)) > 0 => il resto della divisione è p(x )

Cor.

x è radice di p(x) (x-x )| p(x)

ó

Teo.

P(x) [x] = a + a x +…+ a x n>0 se x € Q (k/h) e supponiamo che x sia radice di p(x) => k|a e h|a

Def.

Deg (p(x)) > 0, P(x )= 0. X ha molteplicità algebrica m se (x- x ) |p(x) (m è la potenza massima che divide

p(x)). Se m= 1, x è de9a radice semplice

Def.

v € V ≠ 0 è de9o autove2ore di f se € R t.c. f(v)= v. In tal caso è de9o autovalore di f. L’insieme degli

autovalori di f è de9o spe2ro di f ed è indicato con f o (f)

Oss.

(f(v)- idv)(v)= 0 ; f (v)= 0

• v € ker (f ).v ≠ 0 è autove9ore v € ker (f ). Esistono autove9ori associaD a ker (f ) ≠ 0 => f

ó ó

non è inieHva, quindi non è bieHva

Autove9ori associaD a det (A ) ≠ 0

ó

Def.

Det (A - I) è un polinomio le cui radici sono gli autovalori. È de9o polinomio cara2eris/co di A e p( ) = 0 è

de9a equazione cara2eris/ca. Si indica con E ( ) il ker f e questo nucleo è de9o autospazio di f relaDvo

all’autovalore. E ( ) è l’insieme di tuH gli autove9ori di f associaD a a cui aggiungo il ve9ore nullo. 13

Prop.

• Det A = (prodo9o degli autovalori)

• Tr A= (somma degli autovalori)

Prop.

Se ≠ => E ( ) E ( ) = 0

Oss.

Quindi se € f tuH disDnD e v € E ( ), …, v € E ( ) => v ,…, v sono l.i. (autove9ori associaD ad

autovalori disDnD sono l.i.)

Def.

A € M (R ). A è diagonalizzabile se è simile ad una matrice diagonale D € M (R ), cioè se M € GL (R ) t.c. M

A M = D. V spazio ve9oriale di dimensione finita. F: V-> V lin => f è de9a diagonalizzabile se lo è una sua

matrice rispe9o a qualche base B di V

Oss.

Sia A = A , A = A con B base di V. A A. Poiché la similitudine è transiDva => A diagonalizzabile <=> A è