Spazi vettoriali e funzioni di due o più variabili

Spazi vettoriali su R

V ≠ ∅ insieme

(V, +, ·)

• ⊕: V x V → V
• ∀ v, w ∈ V
• v ⊕ w ∈ V

• somma ⊕(v,w)

Proprietà:

• S₁: v ⊕ w = w ⊕ v commutativa
• ∀ v, w, t ∈ V
• S₂: (v ⊕ w) ⊕ t = v ⊕ (w ⊕ t) associativa
• S₃: ∃ Ov ∈ V tale che v ⊕ Ov = v ⊕ t
• elemento neutro (chiamato zero di V)
• S₄: ∀ v ∈ V ∃ -v ∈ V l’opposto, cioè ∃ v ∈ V tale che v ⊕ w = Ov
• w è indicato con -v

Moltiplicazione per scalare:

• · : R x V → V
• λ, μ ∈ R
• v ∈ V → λv
• Proprietà:
• M₁: λ (v ⊕ w) = λv ⊕ λ w
• M₂: (λ+μ)v = λv ⊕ μv
• M₃: (λμ) v = λ(μv)
• M₄: 1_Rv = v ∀ v ∈ V
• quindi V è uno spazio vettoriale su R

Esempi:

• R = {(a₁, a₂, a₃)} a_i∈R
• (a₁, a₂, a₃) ⊕ (b₁, b₂, b₃) = (a₁ + b₁, a₂ + b₂, a₃ + b₃)
• O_R = (0, 0, 0)
• - (a₁, a₂, a₃) = (- a₁, - a₂, - a₃)
• λ (a₁, a₂, a₃) = (λa₁, λa₂, λa₃)

• R³

Rⁿ = {(a₁, a₂, ..., a_m) | a_i∈R}

f: I→R

• C(I) insieme delle funzioni continue f: T→R
• f, g ∈ C(I) (f + g)(x) = f(x) + g(x)
• ∀ x ∈ I
• (fg) ∈ C(I) se f(x) + g(x) continue
• f=O_f
• ∀ x ∈ I f(x) = O_R
• - (P) (x) = - P
• ·: R x C(I) → C(I) λ∈R f ∈ C(I)
• (λf) (x) = λ(f(x))

• ∀ x ∈ I λ(P(x)) = λ(P(x))

• λ, μ ∈ ℝ
• P, Q ∈ C(I)
• soddisfano
• (P⊕Q)(x) = P_α + Q_α
• e λ, μ ∈ ℝ

• (λ+μ) P = λP + μ P

=⇒ C(I) è uno spazio vettoriale

Spazi vettoriali su R

V ≠ ø insieme ( V, +, · )

• +: V × V → V ( v, ω ) ↦ v + ω somma

Proprietà

• S₁: v + ω = ω + v commutativa ∀ v, ω ∈ V
• S₂: (v + ω) + t = v + (ω + t) associativa ∀ v, ω, t ∈ V
• S₃: ∃ 0_V∈V 0_V + v = v elemento neutro (chiamato zero di V)
• S₄: ∀ v ∈ V ∃ -v ∈ V l’opposto, cioè ∃ ω ∈ V tale che v + ω = 0_V

Moltiplicazione per scalare

• · : R × V → V

• λ,v ↦ λv

λ ∈ R, v ∈ V

Proprietà

• M₁: ( λ + μ ) v = λv + μv

λ,μ ∈ R

• M₂: λ ( v + ω ) = λv + λω

v,ω ∈ V

• M₃: ( λμ ) v = λ ( μv )
• M₄: 1_Rv = v ∀ v ∈ V

→ V è uno spazio vettoriale su R

Esempi

R = { ( a₁, a₂, a₃ ) | a_i ∈ R }

• ( a₁, a₂, a₃ ) + ( b₁, b₂, b₃ ) = ( a₁ + b₁, a₂ + b₂, a₃ + b₃ )
• 0_R = ( 0,0,0 )
• - (a₁, a₂, a₃ ) = ( -a₁, -a₂, -a₃ )

λ ( a₁, a₂, a₃ ) = ( λa₁, λa₂, λa₃ )

R³

R^m = { ( a₁, a₂, …, a_m ) | a_i ∈ R }

C [a, b] ⊂ I|R

C (I) = insieme delle funzioni continue

f : I → R

• f, g ∈ C (I) → ( f + g )(x) = f(x) + g(x)

Funz continua ( fg ) ∈ C (I) se f(x) + g(x) continue

f-0_I ∀ x∈I

• ∀ λ∈R - P(x) = 0_R

• · : R × C (I) → C (I)
• ∀ λ ∈ R
• f ∈ C (I)

• ∀ x ∈ I | λ f(x) = λ ( f(x) )

• soddisfa
• f(x) + g(x) = μ_p

• ( λ + μ ) f = λf + μf

→ C (I) è uno spazio vettoriale

Prodotto scalare su V spazio vettoriale

<-,->: V x V → ℝ

<v, w> = 0 <v, v>

v, w ∈ V

Proprietà:

PS1: <v, w> = <w, v> - Commutativa

PS2: <v₁+v₂, w> = <v₁, w> + <v₂, w>

<λv, w>