Spazi vettoriali e funzioni di due o più variabili

Spazi vettoriali su ℝ

V, S.N. insieme (V, +, .)

• ∀ν, ω∈V
• ν+ω∈V

Proprietà:

1. ν+ω = ω+ν commutativa ∀ν, ω, t∈V
2. ν+(ω+t) = (ν+ω)+t associativa
3. 0∈V elemento neutro (chiamato zero di V)
4. ∀ν∈V, ∃-ν∈V l'opposto cioè ∃ν∈V tale che ν+ω = 0_V ω è unificato con ν

Moltiplicazione per scalare

• ∙ : ℝ x V → V
• λ x ν = λν

Proprietà:

1. λ(ν+ω) = λν+λω ∀ν,ω∈V
2. (λ+μ)ν = λν+μν
3. ν ∈V → 1.ν=ν
4. λ(μν) = (λμ)ν λ,μ∈ℝ ν∈V

→ V è uno spazio vettoriale su ℝ

Esempi | ℝ - R³

R³ = {(a₁, a₂, a₃) | a_i∈ℝ}

(a₁, a₂, a₃) + (b₁, b₂, b₃) = (a₁+b₁, a₂+b₂, a₃+b₃)

0_R = (0,0,0)

-a = (-a₁, -a₂, -a₃)

ν: x (R³) → ν^→∈R³

λ ∈ ℝ (λ x a₁, λa₂, λa₃)

∀ a_i ∈ ℝ

ℝ^m = {(a₁, a₂, ..., a_m) | a_i ∈ ℝ}

I: [a, b] ⊂ ℝ

ℭ (I) : insieme delle funzioni continue

f: I → ℝ

f, g ∈ ℭ (I)

(f+g)(x) = f(x) + g(x)

• f . g ∈ ℭ (I)

funz continua

(f . g) ∈ ℭ (I) se f(x)+g(x) continue

f = 0 ∀ x ∈ I

f ∈ ℭ (I) f(x) = 0_R

(-P)(x) = 0_R

λ ∈ ℝ

(-f ∈ ℭ (I)

• g ∈ ℭ (I)

λ . f ∈ ℭ (I)

∀ x ∈ I ∃ (-λ)f = ν_→

soddisfa le P

es. λν, μx

• f = λP+μg

f = λP+μν

→ ℭ (I) è uno spazio vettoriale

Prodotto scalare su V spazio vettoriale

< , >: V x V -> R

<v, w> = 0 <==>> v = 0_v

Proprietà:

1. PS₁: <v,w> = <w,v> (commutativa)
2. PS₂: <αv₁ + v₂,w> = α<v₁,w> + <v₂,w> α ∈ R
3. PS₃: <v,v> ≥ 0
4. PS₄: <v,v> = 0 <==>> v = 0_v

Esempio:

R = R³

<(a₁, a₂, a₃), (b₁, b₂, b₃)> = Σa_ib_i

v = (a₁, a₂, a₃)

w = (b₁, b₂, b₃)

<v,w> = Σa_ib_i

PS₄: <v,v> = Σa_i² ≥ 0

<v,v> = 0 <==>> v = (0,0,0)

V = Rⁿ

v = (a₁, a₂, ..., a_n), a_i ∈ V

w = (b₁, b₂, ..., b_n), a_i ∈ V

<u,v> = Σa_ib_i, prodotto scalare in Rⁿ

<u,u> = Σa_i² ≥ 0

V spazio vettoriale con un prodotto scalare

dim V = m

{u₁, u₂, ..., u_m} base di V ortogonale

<u_i, u_j> = 0 i ≠ j

v ∈ V

v = Σ<v, u_i> / <u_i, u_i> u_i = Σa_iu_i a_i ∈ R

Essendo la base ortogonale

<u₁, u₂> = <u₁, a₁u₁ + a₂u₂ + ... + a_mu_m> = a_i<u_i, u_j>

<u_i, v> = a₁<u_i, u_i>

a_i = <v, u₁> / <u₁, u₁>

<u₁,u₂> = 0

<u₂, u₃>

v ∈ V ||v|| = (<v,v>)^1/2

||v|| norma di V

<v,v> = ||v||²

|| <b, b> > 0 ||

v = Σa_iu_i u₁, u₂, ..., u_m base ortogonale

a_i = <v, u_i>

v = Σ<v,u₁>/ ||u₁||²

+ <V,u₂> / ||u₂||² u²

<u_i, u_j> = 0

v = Σ<v, u₁> ¶ u₁

< \sin mx \sin nx > = \int \sin^{2} (nx) \: dx

\sin^{2} x = \frac{x - \sin x \cos x}{2}

\frac{\pi}{2} mx \sin mx \cos mx

2n \pi \forall m \neq 1

|| \sin mx || = \frac{\sqrt \pi}{2}

\frac{1}{\pi} \cos mx \sin mx

+

\cos nx \sin nx

\forall m,n \geq 1

|| \cos mx \sin nx || = |\pi| \frac{1}{\pi^2}

0 \neq c \in \mathbb{R}

e \in [-e, e]

x = \frac{\pi}{2}

y = \frac{x L}{\pi}

x = \frac{\pi}{3}

z \text{ sistema ortogonale di funzioni in } [ - \pi, +\pi ]

\rho e \mathbb{R}

\frac{1}{\pi} \cos mx \sin mx

\frac{1}{\pi^2} \text{ sistema ortogonale di funzioni in } [-e, e]

< \cos mx, \rho > = \int \rho \cos mx dx

< \sin mx, \rho > = \int \rho \sin mx dx

a_{0} = \frac{1}{\pi} f(\pi) cos mx dx

_> a_{0} = \bar{o}(f)

a_{0} = - f_{-1} ^dn \: x

- f_{-1} \frac{1}{T}< \frac{sum}{m=1} \cos nx dx

= \cos nx

\text{Somma di Potenze nei casi:

FORIERA:

f(x) e \forall \: x \neq -1

\forall \: x \rightarrow

\cos (f(x))

\sqrt{(S{-}2} cos nx

+1

\sum_{n=2} a_{n} \cos nx + b_{n} \sin mx

r (x)

esercizio:

f(x) = {

• 0 -π < x < 0
• 0 0 < x < π
• cos x 0 < x < π

A₀ = ¹/_π ∫₀^π cos x dx = 0

A_m = ¹/_π ∫₀^π cos x cos mx dx

cos x · cos mx = 0.5 [cos (m+1)x + cos (m-1)x]

A_m = ¹/_π ∫₀^π [cos (m+1)x + cos (m-1)x] dx

= ¹/_2π [..]

A₀ = 0 = A_m

A₁ = ¹/_π ∫₀^π x dx = ¹/_π [x + cos x sin x]

b_m = ¹/_π ∫₀^π cos² x sin x dx

cos x sin (mx) = sin ((n+1)x) + sin ((n-1)x)

• Per m pari: x < π
• Per m dispari: 0

b_2k = ^{{0 come}}/_{funzione}

A_m = ¹/_π ∫₀^π [cos x sin mx + cos x] dx

= ∫ ^{sin 2x}/₂

Serie di Fourier:

1/2 cos x + ^∑/_𝐰

^K/_{((x² - 1))} sin (2Kx)

FUNZIONI DI DUE O PIÙ VARIABILI

Se f(x)=y

grafico di f(x,y)

x ∈ I ⊆ ℝ

grafico: {(x,y) ∈ ℝ² | y = f(x)}

in generale è una curva nel piano

x²/a² + y²/b² = 1

p (x,y)

quadrato della distanza di P dal centro

assempota di raggio x, con centro in (0;0)

in genere è il grafico di una funzione a una variabile

1. y²/c² = z²/ a² + x²
2. y = ± √(z/a² + x²)

funzione in tre variabili

ℝ³

z = f(x,y)

grafico: {(x,y,z) ∈ ℝ³ | z = f(x,y)}

Superficie quadrica:

Superficie fatta dai punti (x,y,z) ∈ ℝ³ che soddisfano una equazione polinomiale di grado due nelle variabili x,y,z:

a x² + by² + c z² + ... = e

x²/a² + y²/b² + z²/c² = r²

Ellissoide

{(x,y,z) ∈ ℝ³ | x²/a² + y²/b² + z²/c² = r²}

Cilindro di asse z e raggio r