Spazi Vettoriali

SPAZI VETTORIALI

Per campo si intende un insieme nel quale possiamo effettuare le somme algebrica e il prodotto. Il campo K gode delle seguenti proprietà:

• ASSOCIATIVA (x+y)+z = x+(y+z)
• COMMUTATIVA x+y = y+x
• ESISTENZA DELL’ELEMENTO NEUTRO “0" x+0 = 0+x = x
• ESISTENZA DELL’OPPOSTO x+(-x) = 0

SOMMA

• ASSOCIATIVA (x·y)·z = x·(y·z)
• COMMUTATIVA x·y = y·x
• ESISTENZA ELEMENTO NEUTRO “1” x·1 = x
• ESISTENZA DEL RECIPROCO x·1/x = 1
• DISTRIBUTIVA x(y+z) = (x·y)+(x·z)

Non si può parlare di campo per i numeri interi perché non verificano alcune proprietà; lo stesso vale anche per i numeri naturali.

Uno spazio vettoriale su un campo K è un insieme V in cui sono definite:

• OPERAZIONE INTERNA DI SOMMA
• OPERAZIONE DI PRODOTTO CHE ASSOCIA AD OGNI COPPIA DI VETTORE E SCALARE, UN UNICO ELEMENTO DI V

Uno spazio vettoriale per essere tale deve verificare le seguenti proprietà:

SOMMA

• ASSOCIATIVA (u+v)+w = u+(v+w)
• ESISTENZA DEL VETTORE NULLO (0/NEUTRO)
• ESISTENZA DELL’OPPOSTO v+(-v) = 0
• COMMUTATIVA u+v = v+u

PRODOTTO

• a, b ∈ K \;\; x ∈ V \;\; (a · b) · x = a · (b · x)

• ESISTENZA ELEMENTO NEUTRO “1”
• (SCALAR^1₁ + SCAL^2₂) · v = (SC₁ · v) + (SC₂ · v)
• SCALAR_C · (V₁ + V₂) = (SC_C · V₁) + (SC_C · V₂)