Spazi Vettoriali

SPAZI VETTORIALI

Per campo si intende un insieme nel quale possiamo effettuare le somme algebrica e il prodotto. Il campo K gode delle seguenti proprietà:

• ASSOCIATIVA (x+y)+z = x+(y+z)
• COMMUTATIVA x+y = y+x
• ESISTENZA DELL’ELEMENTO NEUTRO "0" x+0 = 0+x = x
• ESISTENZA DELL’OPPOSTO x+(-x) = 0

SOMMA

• ASSOCIATIVA (x•y)•z = x•(y•z)
• COMMUTATIVA x•y = y•x
• ESISTENZA ELEMENTO NEUTRO "1" x•1 = x
• ESISTENZA DEL RECIPROCO x•¹/_x = 1
• DISTRIBUTIVA x•(y+z) = (x•y)+(x•z)

Non si può parlare di campo per i numeri interi perché non verificano alcune proprietà: lo stesso anche per i numeri naturali.

Uno spazio vettoriale su un campo K è un insieme V in cui sono definite:

• OPERAZIONE INTERNA DI SOMMA
• OPERAZIONE DI PRODOTTO CHE ASSOCIA AD OGNI COPPIA DI VETTORE E SCALARE, UN UNICO ELEMENTO DI V

Uno spazio vettoriale per essere tale deve rispettare le seguenti proprietà:

SOMMA

• ASSOCIATIVA (u+v)+w = u+(v+w)
• ESISTENZA DEL VETTORE NULLO O (NEUTRO)
• ESISTENZA DELL’OPPOSTO V+(-V) = 0
• COMMUTATIVA u+v = v+u

PRODOTTO

• α, b ∈ K x ∈ V (α•b)•x = α•(b•x)
• ESISTENZA ELEMENTO NEUTRO "1"
• (SCALARE¹+SC₂)•V = (SC₁•V)+(SC₂•V)
• SCALARE•(V¹+V²) = (SC•V₁)+(SC•V₂)

SPAZI VETTORIALI

Per campo si intende un insieme nel quale possiamo effettuare le somme algebrica e il prodotto. Il campo K gode delle seguenti proprietà:

• ASSOCIATIVA (x+y)+z = x+(y+z)
• COMMUTATIVA x+y = y+x
• ESISTENZA DELL’ELEMENTO NEUTRO “0” x+0 = 0+x = x
• ESISTENZA DELL’OPPOSTO x+(-x) = 0

SOMMA

• ASSOCIATIVA (x∙y)∙z = x∙(y∙z)
• COMMUTATIVA x∙y = y∙x
• ESISTENZA ELEMENTO NEUTRO “1” x∙1 = x
• ESISTENZA DEL RECIPROCO x∙(1/x) = 1
• DISTRIBUTIVA x∙(y+z) = (x∙y)+(x∙z)

Non si può parlare di campo per i numeri interi perché non verificano alcune proprietà. Lo stesso anche per i numeri naturali.

Uno spazio vettoriale su un campo K è un insieme V in cui sono definite:

• OPERAZIONE INTERNA DI SOMMA
• OPERAZIONE DI PRODOTTO CHE ASSOCIA AD OGNI COPPIA DI VETTORE E SCALARE, UN UNICO ELEMENTO DI V

Uno spazio vettoriale per essere tale deve rispettare le seguenti proprietà:

SOMMA

• ASSOCIATIVA (u+v)+w = u+(v+w)
• ESISTENZA DEL VETTORE NULLO O (NEUTRO)
• ESISTENZA DELL’OPPOSTO v+(-v) = 0
• COMMUTATIVA u+v = v+u

PRODOTTO

• a, b ∈ K x ∈ V (a∙b)∙x = a∙(b∙x)
• ESISTENZA ELEMENTO NEUTRO “1”
• (scalar₁ + sc₂)∙v = (sc₁∙v) + (sc₂∙v)
• scalar_c∙(v₁ + v₂) = (sc_c∙v₁) + (sc_c∙v₂)

Combinazione Lineare

Sia V uno spazio vettoriale su un campo K e siano λ₁, λ₂,... λm elementi di K. Si dice combinazione lineare di m vettori v₁, v₂, ..., vm una somma del tipo:

λ₁v₁ + λ₂v₂ + ... + λmvm

Il risultato è ancora un vettore.

DEF.

Dato un sistema di vettori {v₁, v₂, ..., vm} si dice linearmente dipendente se esiste una combinazione lineare che dà come risultato il vettore nullo con almeno uno scalare ≠0.

DEF.

Dato un insieme di vettori {v₁, v₂, ..., vm} si dice linearmente indipendente se l'unica combinazione lineare che dà come risultato il vettore nullo è quella con λ₁, λ₂, ..., λm nulli, ovvero: λ₁v₁ + λ₂v₂ + ... + λmvm = 0 ⟷ λ₁ = λ₂ = ... = λm = 0.

Esempio

ℝ² v₁ = (1, 2) v₂ = (4, 1)

λ₁ v₁ + λ₂ v₂ + ... + λm vm

λ₁ (v₁) + λ₂ (v₂) = 0 ⟶ λ₁ (1, 2) + λ₂ (4, 1) = (0, 0)

λ₁ = 0

-λ₂ = 0

(v₁, v₂) linearmente indipendenti

• Due vettori sono dipendenti se e soltanto se l'uno è proporzionale all'altro.
• Se S contiene il vettore nullo è linearmente dip.
• Se S contiene due vettori uguali è lin. dip.

Sistema di generatori - Base

Si dice che i vettori v₁, v₂, ..., v_m sono un sistema di generatori di V se ogni vettore di V si può ottenere come combinazione lineare di v₁, v₂, ..., v_m, ovvero se V = L(v₁, v₂, v_m).

Si dice che i vettori v₁, v₂, ..., v_m sono una base di V se :

• Sono linearmente indipendenti
• Sono un sistema di generatori

In R²:

v₁ = (1,0) v₂ = (0,1)

• Sono indipendenti
• Sono generatori, infatti per ogni generico v = (a,b) vale la relazione v = a (1,0) + b (0,1)

Prodotto scalare

< v, w > = v ⋅ w = X₁ * X₂ + Y₁ * Y₂

Risultato è un numero reale

Proprietà del prodotto scalare:

• <x, y> = <y, x>
• <x, y + z> = <x, y> + <z, y>
• <α * x, y> = α <x, y> = <x, α y>
• Il prodotto scalare è bilineare
• <x, x> = x₁² + x₂² + … + x_n²
• <x, x> ≥ 0 ↔ x = 0

Def.

Si definisce lunghezza o modulo di un vettore x ε R^m : |X| = √<X, X>

* l'unico vettore di modulo 0 è il vettore nullo

Def.

Un vettore di R^m di modulo unitario si dice versore

R³ u = (1, 1, -1)