Esercizi Scienza delle Costruzioni 2 e Meccanica Computazionale: Parte 6

1) Determinare la legge oraria del 2° piano in condizioni di regime

Oscillazioni in condizioni di oscillazioni forzate smorzate con più gradi di libertà

Proiettiamo il moto nelle forme modali e ricaviamo le equazioni del moto delle due forme modali:

d(t) = α₁(t)Φ⁽¹⁾ + α₂(t)Φ⁽²⁾

∫(e) = ∫(t) ⎣1-1⎦

dove le coordinate principali α₁(t) e α₂(t) sono le soluzioni delle equazioni

ü_h(t) + 2ξ_hω_hα̇_h(t) + ω_h²α_h(t) = q_h(t)

h = 1, 2

ξ = ξ₁ = ξ₂ = 0,04

Pertanto:

ω₁ = 2πf₁ = 84,12d/t

ω₁² = 7085

2ξ_xω₂ = 0,67

ω₂ = 2πf₂ = 2955,12d/t

ω₂² = 62214

2ξ_xω₂ = 1,64

per questo carrello i carichi modal sono:

\(\phi_h(t) = \Phi^{(h)}_1(t) - \Phi^{(h)}_2(t)\)

pertanto: \(f(t) = f_0 \cdot \sin(\omega_0 t)\)

f = 4000 N

\(q_1(t) = f(t) \cdot \left[ \begin{array}{c} 3,420 \end{array}, \begin{array}{c} 4,593 \end{array} \right] \cdot 10^{-3} = 1,493 \cdot \sin(\omega_0 t)\)

\(q_2(t) = f(t) \cdot \left[ \begin{array}{c} 2,905 \end{array}, \begin{array}{c} 5,376 \end{array} \right] \cdot 10^{-3} = 0,582 \cdot \sin(\omega_0 t)\)

Lo risposte a regime delle due forma mode li è dato da:

\(a_{e,1}(t) = a_{1,st} \cdot N(a_1) \cdot \sin(\omega_0 t - \psi_1)\)

\(a_{e,2}(t) = a_{2,st} \cdot N(a_2) \cdot \sin(\omega_0 t - \psi_2)\)

dove:

\(a_{1,st} = \frac{1,493}{70,8^2} \approx 1,68 \cdot 10^{-2}\)

\(d_1 = \frac{\omega_0}{\omega_1} = \frac{3 \pi}{8,42} \approx 0,336\)

• \(N(a_1) = \frac{1}{\sqrt{(1-d_1^2)^2 + 4\xi_1^2 d_1^2}} \approx 9,72 \cdot 10^{-2}\)
• \(\psi_1 = 2 \cdot \arctan\left(\frac{2 \xi_1 d_1}{1 - d_1^2}\right) \approx -0,03\)

\(a_{2,st} = \frac{0,582}{422,44} \approx 1,38 \cdot 10^{-2}\)

\(d_2 = \frac{\omega_0}{\omega_2} = \frac{3 \pi}{29,55} \approx 0,108\)

• \(N(a_2) = \frac{1}{\sqrt{(1-d_2^2)^2 + 4\xi_2^2 d_2^2}} \approx 4,098\)
• \(\psi_2 = 2 \cdot \arctan\left(\frac{2 \xi_2 d_2}{1 - d_2^2}\right) \approx -0,12\)

Per l'auto

\(\rightarrow\)

a_1 = a_p + e_o·a_p·exp(-ζω_0t)·[A·cos(ω_s·t) + Β·sin(ω_s·t)]

dove ω_s = ω_0√(1-ζ²)

a_1 = a_p + exp(-0.54·t)[A·cos(13.485·t) + Β·sin(13.485·t)]

a_1(0) = 0 → a_ap + A

Derive

_T = 2

1

9.465s

W1 = 2π 13.485

ω_s² = 1.485

w_ap = g₁

ω_s²

exp(-0.54t)

[A·cos(13.485·t) + Β·sin(13.485·t)]

t

+ e^-0.54·t[13.3t·A·sin(13.4s·t), -13.485·Β·cos(13.485t)]

α̇₁(0) = 0.54A+13.485

-0.54·A + 13μ5·Β = 0

⇒ Β = 0.54(-9.465)

-0.6.6.40

A =

-3.006

-9.465

1·4Β,3

α₁(t) = g₁

ω_s²

+ exp(-ζω_0t)

[-9.94.65cos(ω_s·t)-6.6.4e-4sin(ω_s·t)]

Usale precedentli per a₂

_a^d₂(t) = q₁·φ⁽¹⁾₂ + q₂·φ⁽²⁾₂

K_C = K_tt - K_tr * K_rr^-1 * K_rt

K_C = ^24E3⁄₃

K_C = ^24E3⁄₃ ¹⁄_10h (10 -10) ( ^5E3⁄₁₂ )

K_C = ^24E3⁄₃ ¹⁄_10h ( ^6E3⁄₁₂ )

K_C = ^24E3⁄₃ ^12E3⁄₃ ^12E3⁄₃

K_C = ^12E3⁄₃

Nota: Prodotto Matriciale A x B

• Il numero delle colonne di A deve essere uguale al numero di righe di B. La matrice risultante avrà le righe di A e le colonne di B.

Esempio:

A = ₁ 1 -1

B =₂ 1 0

C =₄ 4 -1

C₁₁ = 1 . 1 + 1 . 3 + (-1 . 0) = 4

C₁₂ = 1 . 2 + 1 . 1 + (-1 . -1) = 4

C₁₃ = 1 . -1 + 1 . 0 + (-1 . 0) = -1

• La matrice delle masse condensate è

M_c = ( ^2m1⁄₀ )

• Dato che si approssima la matrice delle masse con il singolo blocco si traslazione M_tt mentre gli altri blocchi si considerano 0.

^Mmn⁄₂ = 4.10³ N/m₂ mob

Calcolo la frequenza propria:

w₀ = √ ^K_C⁄_mr = √ ^12E3⁄₃ / ^2m1⁄₂

Esercizio risolto a pagina seguente

Un oscillatore ad un grado di libertà di massa m=35 tonnellate, smorzamento pari a ξ₀=3.50% e sorretto da pilastri in acciaio presenta una rigidezza non lineare data dall’espressione k(d)=k_i(1−c d²) dove k_i è la rigidezza iniziale in fase elastica lineare data da due pilastri metallici della serie HE200A ( E=210 GPa , J=3692 cm⁴) alti h=3.70 metri.

Il parametro di softening vale c=0.03 cm².

L'equazione del moto è perciò

m ̈ d+c ̇d +k_i(1−c d²)d = F₀sin(ω_r t) con:

• c=2 ξ₀√ k_im ;
• F₀=15 kN ;
• ω_r=3π rad/s

Determinare il sistema lineare equivalente al sistema dato e valutare il massimo dello spostamento del traverso.

2) Vibrometro