Sistema Stereo

Sistema stereo, stereopsi e rettificazione epipolare

Un sistema stereo consiste in due camere che, poste in modo opportuno, riprendono la stessa scena. La stereopsi computazionale si occupa di evincere la tridimensionalità di una scena date le immagini catturate dal sistema stereo. Questa operazione è possibile grazie al calcolo delle corrispondenze e alla triangolazione.

Calcolo delle corrispondenze

Il calcolo delle corrispondenze consiste nell'individuare nelle due immagini i punti che sono proiezione di uno stesso punto della scena. In pratica, presa una delle due immagini come immagine di riferimento, si cercano i coniugati dei punti presenti su di essa nell'altra immagine e che entrambi sono proiezione di uno stesso punto della scena. Questo è possibile grazie alla geometria epipolare.

Geometria epipolare

Preso il punto P e i centri ottici O_r e O_l delle due camere, definiamo:

• R e R' le rette che uniscono i centri ottici al punto P
• P e P' i punti che R e R' intersecano i rispettivi piani immagini. Tali punti sono la proiezione di P
• Baseline la retta che unisce i due centri ottici
• Epipoli i punti in cui la baseline interseca i piani immagine
• Rette epipolari le rette che uniscono P e P' agli epipoli sui rispettivi piani immagine

Dunque, preso un punto P della scena e nota la sua proiezione sul piano immagine di una delle due camere, il suo coniugato nel piano immagine dell’altra camera si troverà sulla sua retta epipolare.

Parametri del sistema stereo

In generale, i parametri del sistema stereo sono 3:

• P_r: coordinate 3D del punto dal punto di vista della camera destra
• P_l: coordinate 3D del punto dal punto di vista della camera sinistra
• R: matrice di rotazione indicante l'orientazione tridimensionale delle camere
• T: vettore ternario indicante la posizione delle camere

Tali parametri godono delle proprietà che: (P_l - T)^T * (T^P_l) = 0 perché complanari. Grazie ai parametri estrinseci, P_l può essere espresso in funzione di P_r per cui vale che P_l = R^T(P_r + T) e, sostituendo e semplificando, vale che (R^T * P_r)^T * (T^P_l) = 0.

Poiché il prodotto vettoriale può essere scritto in prodotto matriciale trasformando T in un'opportuna matrice S, vale che: (R^T * P_r)^T * S*P_l = 0. Mettendo in ordine si ha che P_r^T * R*S*P_l = 0. R*S è detta matrice essenziale e indica la relazione che sussiste tra i coniugati delle due immagini che sono proiezione di uno stesso punto della scena. R*S*P_l = 0 è l'equazione della retta epipolare nella camera destra. Qualora si scegliesse P_r come incognita, R*S*P_l è l'equazione della retta epipolare nella camera di sinistra.

Quindi, conoscendo la matrice essenziale, riusciamo ad individuare la retta epipolare.