Set Theory

SET THEORY

Let be a set

X (insieme)

( ) ≔ ⊆

{Y ∨Y } power set

P X X (insieme delle parti)

index set

I

{ } ⊆ ∀ ∈

E E X i I

family (or collection) indixed by ,

I i

i ∈

i I { } { }

=

E E

=N sequence

I (successione)

n n

n∈ N { } ( )

⊆

E P X

Def: A sequence is said to be monotone increasing (monotona crescente)

n ( )

⊆ ⊇

E E E E ∀

(decreasing) if n∈ N

n n+1 n n+ 1

{ } { }

( )

⊆ ∈ ∈ ∈

¿ =

E P X i∈ I E x X :∃i I , x E

Def: i i i

∈

i I

{ }

∈ ∀ ∈

¿ =

i∈ I E x X : i∈ I , x E

i i

{ } ∀ ∈

=∅

E ∩ E j, k I , j≠ k

E

A family is disjoint if

(disgiunta) j k

i ∈

i I

Ex: [ ]

( )

1 1 1 1

[ ] ( )

¿ ¿ = ¿ ¿ =

n=1 ∞ a− ,b+ a , b n=1 ∞ a+ , b− a , b

n n n n

Recall:

{ } ⊆

x R

i { }

{ } ¿

≔

lim inf x k ≥1 inf x

≔inf

¿ ¿

lim x x n n

n n

n ≥k n →∞ n ≥k

n →∞ k ≥1 ≔ ≔

¿ E inf E

n n

¿ ¿

n=k n=k

Def: Let { } ∞ E ∞ E

( )

⊆ ¿ ¿ ¿ ¿ ¿ ¿ ¿ ¿

E P X lim k=1 ∞ ⁡ lim k=1 ∞

[ ] [ ]

n n

n n→ ∞ n →∞

≔

¿ =lim =F

lim E inf E F lim E ⁡

If then

n n n

n →∞ n→∞ n→∞

Ex: ∈ ⟺ ∈ ∀ ⟺ ∈

¿ ¿ ¿

x lim E x n=k ∞ E k ≥1 x E ∈

i. for infinitely many n N

n n n

n→ ∞

∈ ∈¿ ¿

x lim inf E ⁡⟺ x n=k ∞ E ∈ ⟺ ∃k ∈ ∈ ∀

k N N s . t . x E n ≥ k

ii. for some

n n n

n→ ∞ ( )

( )

C C

= ¿

lim inf E lim E ⁡

iii. n n

n→∞ n→+ ∞

Ex: =¿

E n=1

n

i. { } ↗ ⇒ ¿ ¿

E lim ∞ E ⁡

n n

n→∞

=¿

E n=1

n

ii. { } ↘ ⟹ ¿ ¿

E lim ∞ E ⁡

n n

n →∞ { }

E

Def: A family of sets is called a cover (a covering) of if

X

i ∈

i I

⊆¿

X i∈ I E i { }

⟺ ⊆

E J I

Def: A subfamily of a cover ( ) which itself forms a cover is

i ∈J