Set Theory

SET THEORY

Let X be a set (insieme).

( ) ≔ ⊆{Y ∨Y } power setP X X (set of parts)

index setI{ } ⊆ ∀ ∈E E X i Ifamily (or collection) indixed by ,I

ii ∈i I { } { }( )⊆E E=N sequenceI (successione)n nn∈ N { }

( )⊆E P XDef: A sequence is said to be monotone increasing (monotona crescente)n ( )⊆ ⊇E E E E ∀(decreasing) if n∈ Nn n+1 n n+ 1{ } { }

( )⊆ ∈ ∈ ∈¿ =E P X i∈ I E x X :∃i I , x EDef: i i i∈i I{ }∈ ∀ ∈¿ =i∈ I E x X : i∈ I , x Ei i{ } ∀ ∈=∅E ∩ E j, k I , j≠ kEA family is disjoint if(disgiunta) j ki ∈i IEx: [ ]( )1 1 1 1[ ] ( )¿ ¿ = ¿ ¿ =n=1 ∞ a− ,b+ a , b n=1 ∞ a+ , b− a , bn n n nRecall:{ } ⊆x Ri { }{ } ¿≔lim inf x k ≥1 inf x≔inf¿ ¿lim x x n nn nn ≥k n →∞ n ≥kn →∞ k ≥1 ≔ ≔¿ E inf En n¿

<strong>¿n=k n=kDef: Let { } ∞ E ∞ E( )⊆ ¿ ¿ ¿ ¿ ¿ ¿ ¿ ¿E P X lim k=1 ∞ ⁡ lim k=1 ∞[ ] [ ]n nn n→ ∞ n →∞≔¿ =lim =Flim E inf E F lim E ⁡If thenn n nn →∞ n→∞ n→∞Ex: ∈ ⟺ ∈ ∀ ⟺ ∈¿ ¿ ¿x lim E x n=k ∞ E k ≥1 x E ∈i. for infinitely many n Nn n nn→ ∞∈ ∈¿ ¿x lim inf E ⁡⟺ x n=k ∞ E ∈ ⟺ ∃k ∈ ∈ ∀k N N s . t . x E n ≥ kii. for somen n nn→ ∞ ( )( )C C= ¿lim inf E lim E ⁡iii. n nn→∞ n→+ ∞Ex: =¿E n=1ni. { } ↗ ⇒ ¿ ¿E lim ∞ E ⁡n nn→∞=¿E n=1nii. { } ↘ ⟹ ¿ ¿E lim ∞ E ⁡n nn →∞ { }EDef: A family of sets is called a cover (a covering) of ifXi ∈i I⊆¿X i∈ I E i { }⟺