Serie Numeriche

Dimostrazione

Da tale dimostrazione occorre ottenere due risultati, una volta considerando p ≤ 1 ed un’altra considerando

p > 1.

Dimostrazione per p ≤ 1

la serie è a termini non negativi, quindi essa è regolare;

si considera il limite della successione che genera la serie per n → + ∞:

+ ∞ < 0

1 1 = 0

lim =

→ 0 0 < ≤ 1

 si è quindi ottenuto che per p ≤ 0 la serie diverge positivamente; inoltre per p = 1 è stato già provato

con il risultato precedente che la serie diverge positivamente;

 occorre studiare ora il comportamento della serie per 0 < p < 1;

si considera un generico x / k ≤ x ≤ k + 1, passando ai reciproci si ha

∈ ℝ

≤ ≤ , elevando tutto a 0 < p < 1,

≤ ≤ , considerando gli integrali calcolati tra k e (k + 1), per i risultati di confronto tra

( )

integrali si ha , da cui

≤ ≤

∫ ∫ ∫

( ) ≤ ;

≤

∫ ∫ ∫

( )

essendo = = [k + 1 – k] = 1, si ha

[]

∫

≤ , fissando un generico n e considerando le sommatorie per k da 1 ad n:

≤ ∈ ℕ

∫

( ) 1 1 1

≤ ≤

( + 1)

per il teorema sull’additività dell’integrale definito

1 1

= ;

si osserva inoltre che

1 1

= = − 1, :

( + 1)

, calcolando l’integrale si ha

−1≤∫ ≤

– 1 – 1 – p + 1 – p + 1

= (– p + 1) = (– p + 1) [(n + 1) – 1 ], essendo 0 < p < 1, si ha

[ ]

∫ ( )

= , calcolandone il limite, si ha

∫ (– )

( ) = + ∞;

lim (– )

→

essendo , per il teorema dei carabinieri sui limiti di successioni divergenti, anche

≤

∫

s → + ∞, dunque

n

anche per 0 < p < 1 la serie diverge positivamente.

Si è ottenuto che p ≤ 1 allora la serie armonica generalizzata diverge positivamente.

∀

Dimostrazione per p > 1

si giunge in maniera del tutto analoga al caso precedente alle disuguaglianze

, si considera la prima disuguaglianza

−1≤∫ ≤

da cui

−1≤∫ ,

s + 1, essendo s sicuramente una quantità positiva, si ha

≤

∫

n + 1 n + 1

0 ≤ s + 1, calcolando l’integrale si ha

≤

∫

n + 1 – 1 – 1 – p + 1 – p + 1

+ 1= (– p + 1) + 1 = (– p + 1) [(n + 1) – 1 ] + 1, essendo p > 1, si ha

[ ]

∫ + 1= = calcolandone il limite, si ha

− + 1 + + 1,

∫ (– )( ) (– ) (– )( ) ( )

= 0 il quale è un valore finito, dunque essendo

lim + + 1 + + 1= + 1,

(– )( ) ( ) ( ) ( )

→

0 ≤ s + 1, per il confronto tra i limiti si ha che anche s → s e quindi:

≤ ∈ ℝ

∫

n + 1 n + 1

s → s / 0 ≤ s ≤ + 1.

n ( )

Si è ottenuto che p > 1 la serie converge.

∀

Proposizioni sulle serie

Esistono tre semplici proposizioni che caratterizzano le serie:

 avendo due serie regolari

la serie della somma

( + )

la quale non si presenta nella forma indeterminata (+ ∞ – ∞),

è anch’essa regolare ed è uguale alla somma delle serie, cioè:

⇒ ( + ) = + è ;

 avendo una serie regolare

ed un numero reale c ≠ 0,

la serie

∙

è anch’essa regolare ed è uguale al prodotto tra c e la serie, cioè:

≠ 0 ⇒ ∙ = è ;

 avendo una serie

aggiungendo o togliendo dei termini alla serie,

la nuova serie ha lo stesso carattere della serie di partenza, in più:

- se la serie è indeterminata la nuova serie continua ad essere indeterminata;

- se la serie diverge positivamente o negativamente, la nuova sere diverge con lo stesso tipo di

divergenza della serie di partenza;

- se la serie converge la nuova serie continua a convergere e la somma della serie è uguale alla

somma della serie di partenza togliendo o aggiungendo gli stessi termini che sono stati tolti o

aggiunti.

Dimostrazione proposizione 1

si considera la somma parziale n-esima di ciascuna serie:

= =

si considera inoltre la somma parziale n-esima della somma delle due:

( + ) , per le proprietà delle sommatorie

( )

+ = + , :

( )

+ = + .

Considerando il limite di tale somma per n → + ∞, si ha

( )

lim + = lim + = lim + lim

→ → → →

lim + lim = + ,

→ →

essendo per ipotesi le serie regolari e non trovandosi nella forma (+ ∞ – ∞)

+ è , :

( + ) è .

Dimostrazione proposizione 2

si considera la somma parziale n-esima della serie:

=

si considera inoltre la somma parziale n-esima della serie con la successione generatrice moltiplicata per c:

∙ , per le proprietà delle sommatorie

∙ = , :

∙ = ∙ .

Considerando il limite di tale prodotto per n → + ∞, si ha

lim ∙ = lim ∙ = lim

→ → →

lim = ,

→

essendo per ipotesi la serie regolare

è , :

∙ è .

Dimostrazione proposizione 3

la terza proposizione è dimostrabile tramite un esempio:

si considera la serie

ed una nuova serie legata alla prima tramite l’eliminazione di tre termini:

si considera la somma parziale n-esima della prima serie:

=

mentre la somma parziale n-esima della nuova serie è

=

le due somme differiscono di tre termini: i primi tre della successione s , quindi:

n

t = s – (a + a + a );

n n + 3 1 2 3

considerando il limite di t , si ha

n ( ) ( )

lim = lim = lim − + + = lim − + +

→ → → →

si osserva che

 se s diverge, anche s – (a + a + a ) diverge, con lo stesso tipo di divergenza;

n n 1 2 3

 se la serie s è indeterminata, chiaramente anche la serie s – (a + a + a ) è indeterminata;

n n 1 2 3

 se la serie s converge, la sua somma è s, mentre si osserva per la nuova serie il valere della somma è

n

s – (a + a + a ).

n 1 2 3

Caso generalizzato della proposizione 2

Avendo una serie

ed un numero reale c ≠ 0,

la serie

∙ ℎ , ù :

⎧ è ;

⎪

⎪

⎪

∙ = .

∙ ±∞ è ;

⎨

⎪

⎪

⎪ ∙ = ;

⎩

Dimostrazione

si considera la somma parziale n-esima della serie:

=

si considera inoltre la somma parziale n-esima della serie con la successione generatrice moltiplicata per c:

= ∙ , per le proprietà delle sommatorie

∙ = , :

∙ = ∙ .

Considerando il limite di tale prodotto per n → + ∞, si ha

lim ∙ = lim ∙ = lim

→ → →

lim = ,

→

, ℎ .

Criterio del confronto

Avendo due serie a termini non negativi

/ 0≤ ≤

− è ⇒ è ;

− è ⇒ è .

Dimostrazione

Occorre dimostrare entrambi i punti del criterio.

Si hanno due serie a termini non negativi le quali per il teorema relativo non possono essere indeterminate,

quindi necessariamente esiste il limite per entrambe:

∃ lim , lim

→ →

per ipotesi 0 ≤ a ≤ b , quindi

n n

definendo le due serie come

= = , ℎ

0 ≤ s ≤ t n

∀ ∈ ℕ;

n n

 nel primo caso si ha per ipotesi

, :

essendo 0 ≤ s ≤ t , ed esistendo i limiti di entrambe le serie, per il confronto tra i limiti si ha

n n

.

 Nel secondo caso si ha per ipotesi

, :

essendo 0 ≤ s ≤ t , ed esistendo i limiti di entrambe le serie, per il confronto tra i limiti si ha

n n

.

Criterio degli infinitesimi

Avendo una serie a termini non negativi,

un elemento p ed inoltre il limite per n → +∞ di

∈ ℝ,

lim =

→

− se p > 1 ed ≠ + ∞ ⇒ è ;

− se p ≤ 1 ed ≠ 0 ⇒ è .

Dimostrazione

Occorre dimostrare entrambi i punti del criterio.

Per ipotesi

∃ lim =

→

 nel primo caso tale limite è