Serie Numeriche

Definizione di serie numerica

Considerando una successione di numeri reali (a_n), per definizione di successione, (a_n) = a₁ + a₂ + … + a_n ∈ ℕ. Da tale successione è possibile costruirne una nuova avente per termini le somme parziali dei primi n termini, cioè:

Somme parziali

Indicando con s tale somma si ha

• s₁ = a₁
• s₂ = a₁ + a₂
• s₃ = a₁ + a₂ + a₃
• ⋮
• s_n = a₁ + a₂ + … + a_n

Ogni somma è un termine della successione ed è detta somma parziale n-esima, la quale si indica con s_n. La successione (s_n) è quindi una nuova successione, detta successione delle somme parziali. Essa può essere una serie numerica di termine generale a_n.

Carattere della serie

Ogni serie ha un carattere che si stabilisce calcolandone il limite per n → + ∞:

lim s_n = lim (a₁ + a₂ + ... + a_n)

Tale limite può essere uguale a un numero finito, all’infinito, oppure non esistere, a seconda della condizione si stabilisce il carattere della serie:

• La serie è convergente se il limite è uguale a un valore s ∈ ℝ, il quale viene anche detto somma della serie.
• La serie è divergente se il limite è uguale a ± ∞.
• La serie è indeterminata se il limite della serie non esiste.

Nei casi in cui la serie sia convergente oppure divergente è detta regolare.

Serie di Mengoli

Per molte serie non è semplice calcolarne il limite, ne esistono però alcune per cui il valore della sommatoria è noto, come la serie di Mengoli:

Avendo la successione (a_n) = 1 / (n + 1), la serie corrispondente è

S = 1 / (n + 1)

Dimostrazione

Tale uguaglianza può essere provata per induzione:

• Considerando n = 1, si ha 1 = 1 / 2, quindi l’uguaglianza vale per n = 1, dunque vi è la base dell’induzione.
• Per ipotesi di induzione l’uguaglianza vale per n, quindi 1 / (n + 1) = (n + 2).
• L’uguaglianza vale anche per n + 1, quindi per il principio di induzione essa vale ∀ n ∈ ℕ.

Avendo provato che la serie 1 / (n + 1) = 1, si ha

lim_n→∞ s_n = 1

La serie di Mengoli quindi converge e la somma della serie è s = 1.

Condizione necessaria per la convergenza di una serie

Avendo una serie (s_n), se essa è convergente, allora il limite della successione (a_n) è uguale a 0, cioè:

lim_n→∞ a_n = 0

Dimostrazione

Avendo la serie (s_n), si considera s_n+1 = s_n + a_n+1 da cui

a_n+1 = s_n+1 – s_n

Considerando lim_n→∞ (s_n+1 - s_n) = 0, allora lim_n→∞ a_n = 0.

Teorema sulle serie a termini non negativi

Prima di enunciare il teorema sulle serie a termini non negativi occorre innanzitutto precisare la differenza tra serie a termini non negativi e serie a termini positivi: infatti le prime includono la possibilità che la successione (a_n) sia uguale a 0 per alcuni n, mentre le seconde escludono la possibilità di avere termini uguali a 0, più precisamente:

• ∃ a_n ≥ 0 ∀ n ∈ ℕ;
• ∃ a_n > 0 ∀ n ∈ ℕ.

Il teorema sulle serie a termini non negativi ingloba in sé anche le serie a termini positivi. Tale teorema afferma che, avendo una serie (s_n), se essa è a termini non negativi, allora non può essere indeterminata, cioè:

• Se s_n converge, la somma della serie è s ≥ 0.
• Se s_n diverge, diverge positivamente.

Dimostrazione

Si considera una serie (s_n), a termini non negativi, si osserva che:

• Per n = 1, s₁ = a₁.
• Per n = 2, s₂ = a₁ + a₂, essendo la serie a termini non negativi, necessariamente a₁ + a₂ ≥ a₁, quindi s₂ ≥ s₁.
• Per n = 3, s₃ = a₁ + a₂ + a₃, da cui s₃ = s₂ + a₃, essendo la serie a termini non negativi, necessariamente s₂ + a₃ ≥ s₂, quindi s₃ ≥ s₂.
• Considerando n ∀ n ∈ ℕ, s_n+1 = s_n + a_n+1 ≥ s_n, quindi la successione è crescente.

Per il teorema sui limiti delle successioni monotone, esiste il limite di (s_n), cioè:

∃ lim_n→∞ s_n, allora la serie non può essere indeterminata ed è quindi regolare;

Ancora una volta, per il teorema sui limiti delle successioni monotone:

= sup s_n;

Tale estremo superiore è finito o infinito a seconda che la serie sia superiormente limitata o meno:

• (s_n) ≥ 0 ∈ ℕ, sup s_n = +∞
• Si osserva che s_n è positivo oppure la serie diverge positivamente perché essa ha unicamente termini non negativi.

Serie geometrica di ragione x

La serie geometrica di ragione x non è necessariamente una serie a termini non negativi, ma dipende da un fissato elemento x ∈ ℝ.

La serie geometrica di ragione x è definita come

= 1 + x + x² + ⋯+ x^n-1 + ⋯

Carattere della serie

È possibile studiare il carattere di tale serie:

• Si considera la serie per x ≥ 0; per questo caso si ha una serie a termini non negativi, quindi per il precedente teorema, essa non può essere indeterminata. Dunque per x ≥ 0 la serie converge oppure diverge positivamente.
• È possibile a questo punto calcolare il limite della successione che genera la serie:
• Per x > 1, lim_n→∞ s_n = +∞.
• Per x = 1, lim_n→∞ s_n = 1.
• Per 0 < x < 1, lim_n→∞ s_n = 0.
• Per la condizione necessaria sulla convergenza di una serie, si osserva che per x ≥ 1 la serie non può convergere, inoltre per il teorema sulle serie a termini non negativi essa non può neanche essere indeterminata, allora per x ≥ 1 la serie diverge positivamente.
• Occorre ora verificare il carattere della serie per x < 1:
• Considerando una somma parziale n-esima si ha s_n = 1 + x + x² + ⋯ + x^n-1, che può essere espressa come:
• s_n = (1 - xⁿ) / (1 - x), poiché (1 - x)(1 + x + x² + … + x^n-1) = 1 - xⁿ, quindi:
• lim_n→∞ s_n = 1 / (1 - x) per -1 < x < 1, e indeterminata per x ≤ -1.

In definitiva, la serie geometrica di ragione x:

• Per x ≥ 1 diverge positivamente.