Serie Numeriche

02. Oscillatore armonico smorzato:

y'' + w²y = f(t)

le soluzioni di y'' + w²y = 0 si trovano ponendo

det. λ² + w² = 0 ↔ λ = ± iλw. Le soluzioni sono allora

z₁(t) = cos(wt) , z₂(t) = sen(wt)

{ C₁cos(wt) + C₂sen(wt) = 0

 { C₁(- wsen(wt)) + C₂(wcos(wt)) = f

{ C₂ = - C'₁ cos(wt)

      sen(wt)

 - wC₁sen(wt) - C'₁ cos(wt) cos(wt) = f

       sen(wt) w cos(wt)

dalla seconda ottengo:

- wC₁ (sen²(wt) + cos²(wt)) = f

       sen(wt)

C'₁ = − 1 f sen(wt)

    w

C'₂ = 1 f cos(wt)

    w

→ C₁(t) = −∫₀^t 1 f(s)sen(ws) ds

       w

C₂(t) = ∫₀^t 1 f(s) cos(ws) ds

       w

Esiste una soluzione ȳ dell'equazione compla della forma:

ȳ(t) = cos(wt) ∫₀^t − 1 f(s) sen(ws) ds + sen(wt) ∫₀^t 1 f(s) cos(ws)

02. Oscillatore armonico smorzato:

y'' + w²y = f(t)

le soluzioni di y'' + w²y = 0 si trovano osservando che λ² + w² = 0 ↔ λ = ± iλw, le soluzioni sono allora z₁(t) = cos(wt), z₂(t) = sen(wt)

• C₁cos(wt) + C₂sen(wt) = 0
• C₁(-wsen(wt)) + C₂(wcos(wt)) = f

• C₂ = -C₁^' (sen(wt) / cos(wt))
• -wC₁sen(wt) - C₁^'(cos(wt) / sen(wt)) = wcos(wt) = f

dalla seconda ottengo:

-wC₁^' (sen²(wt) + cos²(wt)) = f

C₁^' = f sen(wt) / w C₂^' = 1 / w f cos(wt)

⇒ C₁(t) = -∫₀^t 1 / w f(s) sen(ws) ds

C₂(t) = ∫₀^t 1 / w f(s) cos(ws) ds

Esiste una soluzione y_ƒ dell'equazione compl data dalla forma:

y_ƒ(t) = cos(wt)∫₀^t(-1 / w f(s) sen(ws)ds + sen(wt) ∫₀^t w f(s) cos(ws)

SERIE NUMERICHE

somma di ∞ numeri.

es.

divido un segmento unitario:

1/2 + 1/4 + 1/8 + ... + 1/2^m= 1/2 + (1/2)² + (1/2)³ + ... + (1/2)^m

m → ∞

quindi: ∑_k=1^m(1/2)^k oppure ∑_k=1^∞(1/2)^k = 1

Def: Una successione {a_k}_k=0^∞ ⊂ R definisce la serie

∑_k=0^∞a_k le somme (finite) S_N = ∑_k=0^Na_k

sono dette somme parziali (∀ N > 0).

La serie è convergente a ℓ ∈ R se ∃ il

lim_N→∞S_N = ℓ e si scrive l = ∑_k=0^∞a_k = lim_N→∞∑_k=0^Na_k.

Se ≠ lim_N→∞S_N si dice che la serie non converge.

N.B. se ∑_k=1^∞a_k converge => a_k → 0 _k→∞

es. A_k = ¹/_2^k k = 0, ..., ∞

∑ a_k ⋅ 1 ⟶ l

es. Serie Geometrica di ragione q ≥ 0

∑_k=0^∞ q^k = 1 + q + q² + q³ + ... + q^k

supponiamo q ≥ 1

S_N = ∑_k=0^N q^k ≥ ∑_k=0^N 1 = (N+1)

lim S_N = lim (N+1) = +∞

^{N⟶+∞ N⟶∞}

∑_k=0^∞ q^k non converge (o diverge) a ∞.

se 0 ≤ q < 1: S_N = ∑_k=0^N q^k = ^1-qN+1/_1-q

, si dimostra

per induzione: infatti per N ≥ 0

lim S_N = lim ^1-qN+1/_1-q = ¹/_1-q ≠ ^∞ lim ∑_k=0^∞ q^k

In caso di partizione diversa si hanno due serie diverse:

∑_k=0^∞ q^k ∑_k=Ko^∞ q^k:

a₀ + a₁ + ... + ( a_ko + α_Ko+1 + ...)

Se convergono ∑_k=0^∞ A_k = ⟦∑_k=0