Serie Numeriche

ex. oscillatore armonico smorzato :

y'' + w²y = f(t)

le soluzioni di y'' + w²y = 0 si trovano ponendo

(λ + i w)² = 0 ⇔ λ = ± i w, le soluzioni sono

allora z₁(t) = cos(wt) , z₂(t) = sen(wt)

• C₁ cos(wt) + C₂ sen(wt) = 0

• C₁ (-w sen(wt)) + C₂ (w cos(wt)) = f

C₂ = - C₁ cos(wt) / sen(wt)

-w C₁ sen(wt) - C₁ cos(wt) cos(wt) / sen(wt) = f

dalla seconda ottengo :

-w C₁ / sen(wt) (sen²(wt) + cos²(wt)) = f

C₁ = f sen(wt) / w

C₂ = 1 / w f cos(wt)

⇒ C₁(t) = -∫₀^t 1 / w f(s) sen(ws) ds

C₂(t) = ∫₀^t 1 / w f(s) cos(ws) ds

Esiste una soluzione ỹ dell'equazione composta dalla

forma :

ỹ(t) = cos(wt) ∫₀^t -1 / w f(s) sen(ws) ds + sen(wt) ∫₀^t 1 / w f(s) cos(ws) ds

= ¹/_w ∫₀^t f(s) [sen(ws) cos(ws) − cos(wt) sen(ws)] ds

= ¹/_w ∫₀^t f(s) sen(w(t−s)) ds

Serie Numeriche

Somma di ∞ numeri.

es.

0 |———|———| divid. un segmento

  1 unitario:

1/2 + 1/4 + 1/8 + … + 1/2^m + 1/2 + (1/2)² + (1/2)³ + ... + 1/2^m m → ∞

(punto doppio a 0)

quindi: ∑_k=1^m (1/2)^k oppure ∑_k=1^∞(1/2)^k = 1

Def.: Una successione {a_k}^∞_k=0 ⊂ ℝ definisce la serie

∑_k=0^∞ a_k le somme (finite) S_N = ∑_k=0^N a_k

sono dette somme parziali: (∀N ≥ 0).

La serie è convergente a l ∈ ℝ se ∃ il

lim S_N = l e si scrive l = ∑_k=0^∞ a_k = lim∑_k=0^N a_k

N → ∞

Se lim S_N ≠ l si dice che la serie non converge

N → ∞

N.B. se ∑_k=1^∞ a_k converge → a_k → 0

      k → ∞

Prop.: (criterio radice e rapporto)

1. 0 < a_k ^k√a_k = l

   Allora l < 1 la serie converge (l=1 non vale)

   Allora l > 1 la serie diverge

2. a_k+1/a_k = l, l < 1 converge

   l > 1 diverge

Dim. 1).

∀ ε > 0 ∃ N > 1 K > N ⇒ ^k√a_k - l |< ε

⇒ - ε < ^k√a_k - l < ε ⇒ (l - ε) < ^k√a_k < (l + ε)

Se l < 1 scegliamo 0 < ε < 1 - l ⇒ ^k√a_k < (l + ε)

⇒ a_k < (l + ε)^k = q^k se q := l + ε < 1

poiché la serie geometrica con q<1 converge, per

confronto, converge anche ∑ a_k.

2).

∀ ε > 0 ∃ N > 1 K > N ⇒ |a_k+1/a_k - l| < ε

(l - ε) < a_k+1/a_k < (l + ε) a_k+1 < (l + ε) a_k

Se l < 1 scelgo 0 < ε < 1 - l

? a_k+1 < (l + ε) a_k < (l + ε)(l + ε) a_k-1 < (l + ε)² a_k-1 <

< ... < (l + ε)^k a₁

e si mostra ad esempio, se f è C₁ di periodo

2π ℓ che

f(x) = a₀/2 + ∑_k=1^+∞ [a_k cos(kx) + b_k sen(kx)] ∀ x

a_k = 1/π ∫_−π^π f(x) cos(kx) dx

= 1/π ∫_−π^π f(x) cos(kx) dx

= 1/π ∫_−π^π f(x) cos(kx) dx

= 1/π [X sen(kx)/k]_−π^π − ∫_−π^π sen(kx)/k dx = 0

a₀ = 1/π ∫_−π^π t dt = 0

∫ b_k = ∫ t sen(kt) dt = [t cos(kt)/k]_−π^π + ∫_−π^π cos(kt)/k dt

= − ∫_π cos(kt)/k − ∫ cos(−kt)/k = −2π cos(kn)/k

= 2π (−1)^k+1/k k ≥ 1

a₀/2 + ∑_k=1^+∞ [a_k cos(kx) + b_k sen(kx)]

= ∑_k=1^+∞ b_k sen(kx) (x ∈ ℝ)

= 2 ∑_k=1^+∞ (−1)^k+1/k sen(kx)

| (−1)^k+1/k | | sen(kx) sen(kx)/k | ≤ 1/k

non dice nulla (serie non è convergente)

Teorema:

Sia f ∈ C([-π, π], ℝ) e siano (a_k), (b_k) i suoi coefficienti di Fourier. Allora:

1. ||P_mf||² = 2π[^a₀2/₂ + ∑^m_k=1(a_k² + b_k²)]

2. ||P_mf|| ≤ ||f||

3. La serie ∑_k=1^∞(a_k² + b_k²) converge

4. a_k, b_k → _k→+∞ 0

5. P_m(f) è il polinomio trigonometrico di ordine ≤ m che ha minima distanza di f:

6. ∫_-π^π(f(x) - P_m(x))² = ∫_-π^πf(x)²dx - [^a₀2/₂ + ∑^m_k=1(a_k² + b_k²)

Dim:

1. ||P_mf||² = ||^a₀/₂ + ∑^m_k=1a_kcos(kx) + b_ksen(kx)||² = [^a₀2/₂ |1|² + ∑^m_k=1a_kcos(kx) + b_ksen(kx)|² = ^a₀2/₄ : 2π(∑^m_k=1(a_k² + b_k²))

2. Segue da Teorema della Proiezione 2)

3. Si ha ||P_mf||² = 2π[^a₀2/₂ + ∑^m_k=1(a_k² + b_k²)] ≤ ||f||² ∀m

Dunque la serie a termini positivi ∑_k=1^∞(a_k² + b_k²) ha somme parziali limitate. Perciò essa non può oscillare né divergere quindi converge.

4. Il termine generale di una serie convergente tende a zero.

5. Dal Teorema della Proiezione 2)

Teorema: Sia \( f : [-\pi, \pi] \) \(\rightarrow \mathbb{R}\) regolare a tratti

(la funzione deve essere derivabile in un numero finito di intervallini). Allora

la serie di Fourier della funzione converge

\(\forall x_0 \in [-\pi, \pi[\) al valore

\(\frac{f((x_0)^+) + f((x_0)^-)}{2}\)

dove \( f(x_0^*) = \lim_{x \to x_0^*} f(x) \). In particolare se

f è continua in \( x_0 \), il \( \lim_{n \to +\infty} p_n(f)(x_0) = f(x_0) \)