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precisazioni

alcune

EI È di

ER

sia A dia

accumulazione

f : c-

e punto

*

gcx)

line

3- R che

dice

Se si 8 lo

c- per

converge →

• ✗ xo

→ }

{ diverge

line si

)

3- dice

gcx che

C- per

si xo

se +0 O →

• -

,

✗ lo

$ line oscillante

che

)

Se dice è irregolare

gcx lo xo

si per ✗

o →

• to

✗ →

Def . EI Illo

si definitivamente )

P

proprietà

che 7 P

vale

dice è

di tale che

funzione solo

per xo se

una ✗

una e

se

}

{

)

Iko to

vera E

✗ i

Es .

84 woo

) ✗

= -

è ) definitivamente

fa

che per

O co

vero ✗ +

> → /

18k

" )

Def " line

Scriveremo ( )

line solo

fcx

) + o

senza segno e

co se =

se

=

. Lo to

✗ ✗

→ →

-7 |

live

¥ I /

8K )

es line

) ¥

Socx o

= +

ma

- = , o

o ✗

✗ →

&

line vale

scrivere

può che

che il

esiste del

limite modulo

si il limite esiste

dire

che

il vuol + co

ma

co non e

= ,

o

✗ infinito

bene

questo di

è sottintendere

Per il

mai

B segno

v. non

. equivalente

line è

fcx

) line

non

O Six ) o

+

a -

= to

to →

✗ → SERIE NUMERICHE

( Achille )

la tartaruga

e

Ttt

Alt) )

Achille della

posizione di tartaruga

posizione

(a) ( )

sia 1

A- 1-

0 o =

= , /

vi 1

1 2

sia va e =

=

| i

170)--1

(01--0

1- (a)

raggiunge tempo

al

1 1

A. 1- =

§ (1)

1+12

Ma (1)

T A

>

=

=

(f) § f-

f-

T È

= + =

- che la avanti

è

sarà tempo andata

perché nel T

via raggiunge

A

1- avanti

così

e sempre .

,

, ,

A mai

raggiunge T

non .

Ma contro

ciò il

va comune

senso .

Ma T

a raggiunge .

(2) 2

A =

(2) f.

1- 2

17 2

= =

tempo

fa al

Lo 2 . infiniti

La intervalli infinito

che tempo

gabala tempo

devo significa

di

io questo

è ma non

sommare .

,

Infatti intervalli

infiniti

la in

può tempo

dare

di finito questo caso 2

somma un , .

infiniti ?

di

Quando numeri

la è finita

s om m a

ES . + a

E

{ } '

di termine

Data formale

reale

successione dice

si e

serie espressione an

generale

una an

an no

n o ,

, llo

l l =

"

" vada

serie

legge che +0

o

si a

per

e u . )

(

(

dice divergente

rispettivamente

che )

si irregolare

la co

serie a

ato

è convergente solo

o se

s

a e

: se

o

-

, ,

ne

E irregolare

( )

convergente divergente

risulta a

la successione s

an

i.

sui o

= .

,

ho

a - )

delle (

parziali di

la della

successione serie

detta

successione an

viene

su somme o .

Nota indeterminata

oscillante

anche

di

sinonimi irregolare si :

come o

usano .

,

Es o

+

E

serie

la un

Unto

Quindi della

è serie

il generale

termine

n

au =

in

E delle

successione

la parziali

è somme

n

su = O

ht

in

E 2 1

ne 2

+1 1- + un

0

n +

+ +

due =

=

= _ _

. . . . .

neo m% o

+

-

= a

+

ne →

diverge

sue

" "

la diverge

serie

Il è

di serie divergente

di

proprietà

la irregolare

carattere convergente

essere

una sua o .

,

1) 1-

lo

+ io

E

E au call

c. + o no

ho a

ne = is

+

+

a

+ È

io "

E E

E che

lo

che stesso

hanno

Mostrare au

carattere

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can e can =

e ho

no

ho no ne

a

ne a

= ,

É Su

QK =

K ho

=

n

E )

(

cari Ok Quot

Qu

Cano Camera Qu

C

c

Cano

1- Quot

t

= +

= + = it

1 =

-

.

+ . - -

.

K no

= le

E

C Su

= Olk C-

=

E- no

divenga diverse

su converge

allora mentre converge

Su su

per c.

co per

se su

se co

u c.

u → +

+

→ , ,

2) definita

suppioauo ben

an per

MI

7

il hai

ha >

+ o + io

E E an

an Uz

U

Un

D= =

che

Mostrare hanno stesso carattere

lo .

allo stesso

convergenti valore ?

sono

se convengono

, tu

-1

nz

tu E

E E + an

au an

= 4=42

U Un Un

U

= =

-

somma

finita o

+

+ a E

E anche finito

perché

se an di

qualcosa

converge

an converge sanno .

, nella

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+

+ lo E

E diverge anche finito

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an di

qualcosa

converge

an

se sanno .

, Nella

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valori

se perché

convergono a sanno

convergono

, .

,

NUMERICHE

SERIE rapporto

=

ma

Del si dice R

successione E

geometrica ragione

di q

{ ^ per u o

=

an = "

q 71

per u

TE

Tanti 1

un

a >

= =

'

q uso

per

q

=

-

qo

effetti cioè

definire

potrebbe ricorrenza

In si an :

per ,

tu

1

ao an 1

>

am q

= = e ,

- + o

E

di

Del geometrica

è è

se detta di

la geometrica ragione an

9

successione serie

an ragione q .

, 0

Ll =

È

Per qui

91=0 può

si scrivere U 0

=

teorema di

la ragione

geometrica

serie :

9

÷

1) 1

-1<9

a

converge <

se

,

a) diverge 71

a se q

o

+

3) oscilla E -1

q

se

dimmi

[ delle parziali

su

sia successione

la

au somme

= 0

ut 1

9=0 an

ao 0 1

per tu

e

• =

= = ne

£

1

1 1

di 1

+

Si

so lo 0

Sin

lo

Qo =

+ =

= = = = =

. . ,

.

,

, ,

.

÷

la serie ^

converge somma

con = → ,

=

• 9=1 1 1 1 tu

per 70

al alle

ao = = . ,

. .

, ,

in

E diverge

1 la serie

sin 1 net +

a co

co

= = +

→ →

O

U o

= +

ne → "

-1-1 9

an

#

9

per

• n q

o : =

1

m qui

1

qu

E -

Sue = =

0

U = 1 -9 che

può verificare osservando

si induzione :

oppure

per +1

qui

1

qui

1+9 _

1- =

+ .

. . 1- 9

) qu' ^

)

" (

( 1 1

q

1+9 9 =

+ -

+ -

. .

. # ¥-9 "

-9/+9/-9%79 "" que

1 1

+

+ =

. . -

.

. .

^

qui + ÷

se 1 < 1 sue

q

< o

- _

co

ma +

a

un +

^

qui -1%

+

se sue

1 co

:

>

q a

+ +

_

_ =

ma o

+ • un +

"

"

se limite

può

-1 avere

E

q : non

q "

"

^

+

"

"

" /

/ (

perché / )

può

1 limite

cui limite

1

| 0 né

positivo ±

negativo

può avere

avere

non n

non

q e

>

q o

per

=

= dispari

è

1

{ se ne

""

perché sgn q pari

= è

→ se ne

È

Se '

fosse avrebbe

sue C- assurdo

S e

si :

un a

→ +

9Mt ^ 1)

( cioè

( (

1) avrebbe limite

)

1 1

sue s su

q + q

= →

+ - - .

vuoto

che -1

conclude oscilla

si quindi

limite la

ha

E

per su

q serie

non .

,

, pari

{ 1

" n

E )

fa

9=-1 an

per =

= dispari

1 u

-

{ pani

1 in

sui -1

+1

1

1- =

= .

. . dispari

o in

limitata

limite è

ha

non ma 1 Sul

Invece 9<-1 : a

se +

un +0

Proposizione

+ co ( f)

E diverge

log ' a a

+ +

,

u=

dire "

un " [ ]

E ) È

§

( cogliete log

)

parziali fa eag È

sui

successione log u

somme = =

: + -

= ,

1

A- )

( )

2) log

) login

log (

( 3

log

loft -11

(

2-

log t un

+

+ =

-

-

= . . .

là (

lofn

( log

log

¥ )

) o

neti

¥2 O neti = +

+

+ + →

-

= .

- .

. .

- co

meno +

Oss È )

( È telescopiche Quando

di

Mengoli

di

serie scrivo

la esempi serie

precedente la

la

e

successione

sono .

, , tranne

delle tutti finito

semplificano lo

parziali 2 più

si

somme numero

un o

, .

, ,

" "

generalizzata

Serie Mengoli

di

0

+ ' n'

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Scienze matematiche e informatiche MAT/05 Analisi matematica

I contenuti di questa pagina costituiscono rielaborazioni personali del Publisher kevinziroldi di informazioni apprese con la frequenza delle lezioni di Analisi matematica e studio autonomo di eventuali libri di riferimento in preparazione dell'esame finale o della tesi. Non devono intendersi come materiale ufficiale dell'università Politecnico di Milano o del prof Migliavacca Christian.
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