Serie numeriche

Tetanti 1una >= ='q usoperq=-qoeffetti cioèdefinirepotrebbe ricorrenzaIn si an :per ,tu1ao an 1>am q= = e ,- + oEdiDel geometricaè èse detta dila geometrica ragione an9successione seriean ragione q ., 0Ll =ÈPer qui91=0 puòsi scrivere U 0=teorema dila ragionegeometricaserie :9÷1) 1-1<9aconverge <se,a) diverge 71a se qo+3) oscilla E -1qsedimmi[ delle parzialisusia successionelaau somme= 0ut 19=0 anao 0 1per tue• == = ne£11 1di 1+Siso lo 0SinloQo =+ == = = = =. . ,.,, ,.÷la serie ^converge sommacon = → ,=• 9=1 1 1 1 tuper 70al alleao = = . ,. ., ,inE diverge1 la seriesin 1 net +a coco= = +→ →OU o= +ne → "-1-1 9an#9per• n qo : =1m qui1quE -Sue = =0U = 1 -9 chepuò verificare osservandosi induzione :oppureper +1qui1qui1+9 _1- =+ .. . 1- 9) qu' ^)" (( 1 1q1+9 9 =+ -+ -. .. # ¥-9 "-9/+9/-9%79 "" que1 1++ =. . -.. .^qui + ÷se 1 < 1

.là (lofn( loglog¥ )) oneti¥2 O neti = +++ + →-= .- .. .- comeno +Oss È )( È telescopiche QuandodiMengolidiserie scrivola esempi serieprecedente lalaesuccessionesono ., , trannedelle tutti finitosemplificano loparziali 2 piùsisomme numeroun o, ., ," "generalizzataSerie Mengolidi0+ ' n'( )utnE _ J ER parametrohit ) no( Utri . 1- o+ io ✗ &E ^ Mengoliu÷+Per cioè seriela di-sei : =1 ,(a- ) ,UUti - |✗ titoli è← delle °^ " ^← °>+ •"" "somme"( È" ) ÷÷ :-.÷E ¥# 8=00 sesue ÷= = +- - . -. -. ..nel 8<0O se-0<0serieLa 1 si 8=0convergaconverge se 0a sea0 converge a> e seo, _ . + a "(E) ÷EPer01 iltartarugaAchille incontrino 1+12+1èperché sitempo znecessarioe : -+ = =.., ., ;a- o12geometricasi ditratta diserie ragioneunaTeorema+ oE allorase an anconverge o→,vetro n a todi meEsia

>a• definitivamente positivi negativi la definitivamente termini di termini serie delle serie non non a sono a segno costante. Teorema regolare definitivamente cioè costante di convergenti divergenti termini le serie a segno sono o. DI meE parziali la delle su successione somme an= meno n'I tusia definitivamente 3an an quindi >> o no: >>o =no. Allora limite cioè crescente Sue è aiuti perciò Sue a sui ammette 7+su ites=. definitivamente dire per o due criterio del confronto teorema } }{ { che bubu tali almeno date definitivamente ansiano t te 0 an nano > noa.|+ o°+ EE1) Se • ""↳ "" & ° " "% non °"" "" """ &" Ueno Ueno diverge converge buan,,,in +92E diverge divenga 2) Se anche budinian, hoa-uno supponiamo tubnE an0 E no>"neE EOTU belSw: eh=:=,noa- nello allora tue su E 0in 7 no. limite hanno sue bei 0 inan o= e, + oE1) bei Rduese o converge c-: →a- ho un

→ v0+ linelineDuesuAllora = non=suio mostrone +→+ cocioè Eline R ansu convergec- hoa-o+→un o+E diverse2) Se seu °an +: →a- no mostro )(0m live8m on confronto7 perco+→ =co→ne ++ co beecioè E divergeUeno Ù "dimostrato alletu applicare "bu sise E no quantosi può> serie accorciate0suppone an e =co "1- ÉÈ ÉE barbei hanno di ( )rispettivamentelo stessoche caratterean an e .,Ù nei ho a-a- none +0 EÈ 1-E perchéEs tu 1ancontento '° >E= ,a- o zuco+lo+ "(f)EÈpoiché E geometricaperché è serieunaconverge= ,oa- ↳ olo+Eha criterio delchesi confrontoconvergean per .,0n = È " ( E)8%Stabilire di • logEs il carattere ' +. ." ,=Inche lognotiamo twle ioper : →→ -sarà Indefinitivamente log 1< -f)( %)fi loglog 1log ( 1<+ +-lo+ )(E 1+1che ( )sappiamo divergelog ovvero+0=Te1a-+ io

ÈÉE f)f) (( loglog 1 #" w== --- ,," =Per divergeche datasi laottieneconfronto serie a io_ .+ ioEch