Successioni e serie

Serie di funzioni

(f_n) successione di funzioni

f_n : A ⊂ ℝ → ℝ

DEF somme parziali: m-e s_n

s_n (x) = ∑_i=0ⁿ f_i (x)

DEF successione somme parziali

(s_n)

DEF Serie di funzioni

(serie di funzioni cartesiana (p, m-e)) successione delle somme parziali

∑_n=0^∞ f_n (x) (s_n (x))

CONSEGUENZA

1. ∑_i=0^∞ f_i (x) converge PUNTUALMENTE.
2. ∑_i=0^∞ f_i (x)
3. Somma delle funzioni

lim s_n (x) = ∑_i=0^∞ f_i (x)

(s_n) converge uniforme

(S-L) P.Glor. R_s (x)= f(x) - s_n(x)

Patto m-n

R_s (x) = f(x) - s_n(x)

Se R_n(x) -> 0 ∀ x la serie converge uniforme.

3. ∑_i=0^∞ f_i(x) converge assoluta.
4. ∑_i=0^∞ f_i(x) conv TOTAL.

∑_i=0^∞ f_i(x) -> ∑_i=0^∞ |f_i (x)|

∑_i=0^∞ |f_i (x)| converge L₁ n=0 |f_n(x)

convergenza totale ⇒ converge uniforme ⇒ converge assoluta ⇒ converge (puntuale)

CONSEGUENZA TOTALE

convergenza assoluta ⇒ converge uniforme ⇒ converge (puntuale)

Criterio di Weierstrass (di convergenza totale)

Esiste un num. nome num!

∑_n=0^∞ |V_n| ∑_n=0^∞ f_n(x) converge totalemente

OSSERVAZIONE

Inf. con max (n e soma) F (A) s_n

|f_n (x)| ≤ sup|f_n (x)|

x

(4) Si discute la convergenza della serie

∑ 3^m2

m=1

x>0.

sol. Da criterio delle radici lim √^ma_n = l

m

⇒ l < 1 se la converge

l > 1 diverge

lim √^3m2xm = lim 3^xm < 1

m m

⇒ x < ¹⁄₃. fissato x :

lim |3x|^m < 1 ⇒ |3x| < 1 ⇒ |x|<¹⁄₃.

ESERCIZI

Determinare il raggio di convergenza e l'intervallo di convergenza delle seguenti serie:

1. ∑ m n=1 ∞ x m m

   Sol. lim n→∞ | a m + 1 | | = lim | x m + 1 m x m m + 1

3. ∑ m 1 ∞ 2 χ m

   Sol. Criterio radice lim m→∞ m 2

4. ∑ m 1 ∞ χ m + 1 m

5. ∑ m 1 ∞ χ 3 + m m