Segnali biomedici

Unità di misura nello spettro di potenza

La unità di misura dello spettro di potenza è [potenza]/Hz. Prese le diverse trasformazioni DTFT, DFT, Trasf. Di Fourier e Serie di Fourier importanti sono le unità di misura. Abbiamo DTFT e DFT con uguale scala, DTFT e DFT che per essere paragonate alla trasformata di Fourier devono essere moltiplicate per T e la DFT per essere paragonata alla serie deve essere scalata per 1/N.

Se ho un segnale campionato per ottenere uno spettro di energia utilizzando una DTFT uso l'enunciato di Parseval e lo moltiplico per T. Se invece voglio calcolare lo spettro di potenza usando sempre una DTFT devo moltiplicare per 1/N.

Se ho un segnale DFT (campionamento nella frequenza della DTFT) per ottenere uno spettro di potenza uso lo spettro continuo discretizzato in punti multipli di = 2π/NΔΩ.

Y(Ω) = T · S(Ω)

Y(Ω) = C2(Ω)

Y(Ω) = N(Ω)

Y(k) = N(k)

S(k) = Σ k ∆

spettro di potenza sono: ritmi EEG, ritmi freq. cardiaca, freq. media EMG e suoni valvole cardiache. L'analisi spettrale da come risultato la potenza in specifiche bande che possono avere un andamento piatto piuttosto che a picchi.

Il periodogramma non sfrutta correttamente l'ergodicità (se la sua stima temporale converge con autocorrelazione che tende a 0 al crescere dei valori di t) del processo. Aumentando N si migliora la risoluzione in frequenza ottenendo più campioni fra 0 e f ma l'errore non migliora e mantiene una varianza di .4σC. Questo limite viene corretto diminuendo la risoluzione spettrale a vantaggio di una diminuzione dell'errore di stima così da ottenere spettri più smussati.

- Metodo di Bartlett: divide il segnale di N campioni in K finestre di M campioni con N=KM, calcolare i vari spettri e alla fine fare la media dei K spettri. In particolare la risoluzione in freq peggiora di un K mentre la varianza dell'estima migliora di un K.

banda larga e le vocali che hanno picchi spettrali. La risoluzione nel tempo è quindi tanto migliore quanto è più piccola la finestra MT analizzata. La risoluzione in frequenza è inversamente proporzionale ad MT. Lezione 6 Dati due processi stocastici si definisce un cross-spettro (spettro di fase) la cui ampiezza stabilisce frequenza per frequenza la correlazione fra due processi. La fase del cross-spettro rappresenta ad ogni frequenza la fase fra le componenti armoniche correlate presenti nei due processi. Questa correlazione non implica rapporti causali fra i processi. Quando invece è noto un rapporto di causa allora il cross-spettro contiene informazioni relative alla FdT che lega i due processi. Y (i) e Y (i) sono due processi stocastici stazionari ed ergodici a media nulla e sia C (k) la loro funzione di cross-correlazione (CCF) allora il cross-spettro è la trasformata di Fourier della CCF. Le stime ottenute attraverso il CS sono dette

Le analisi cross-spettrali sono tecniche non parametriche e si basano sul prodotto della trasformata di un segnale per la trasformata coniugata di un segnale di riferimento.

Per l'analisi cross-spettrale si può procedere analizzando in modo diretto le trasformate dei due segnali, siano Y(i) e Y(i) due segnali finestrati su NN1 N2 campioni e siano Y(Ω) e Y(Ω) le rispettive DTFT. Allora posso definire C(Ω) = (Y(Ω) Y*(Ω))/N.N2 N1.

Questa funzione non costituisce una stima del cross-spettro ma rappresenta la trasformata di una stima della CCF e inoltre può essere alla base della stima diretta del cross-spettro tramite la media dei risultati di molteplici spezzoni di segnale.

C(Ω) ha per ampiezza il prodotto delle ampiezze nei due segnali e per fase la fase nel segnale y riferita alla fase nel segnale y. Tramite il metodo diretto si può dimostrare che C(Ω) coincide con la DTFT della stima polarizzata della CCF.

∑( )−k−1N1 ( )( )=F ( ) ( )∗y=F (i+k )C

Ω C k y iN 12 N 12 1 2N i=0

Passi stima diretta CS:

• Divisione in K finestre di M campioni con eventuale overlap e finestra esplicita
• Calcolo delle DFT dei due segnali su ogni spezzone: Y () e Y ()I1 I2
• Nello spezzone I il C ha per modulo il prodotto fra i moduli e per fase la fase I di y riferita a quella di y2 1
• Calcolo della media per ogni dei K valori complessi ottenuti dalla stima del  cross-spettro

Quindi il processo di media è indispensabile perché la funzione C () relativa ad I un singolo spezzone stimerebbe una correlazione massima anche dove è nulla.

Utile è normalizzare il CS in modulo quadrato per lo spettro di potenza di entrambi i processi ottenendo la coerenza quadratica che è un indice compreso fra 0 e 1 che indica il grado di correlazione lineare frequenza per frequenza.

¿( )∗C ( )C Ω Ω2 12 12( ) =K Ω12 ( )∗S ( )S Ω Ω1 2

L’esistenza di una correlazione non indica un

preciso rapporto causale, solo inalcuni casi i rapporti di fase permettono di dedurre un rapporto causale.In genere i rapporti di fase cambiano frequenza per frequenza e le connessionifra i segnali possono essere di diversi tipi: meccanismi di retroazione sonocomuni nei processi biologici oppure i segnali possono avere una originecomune.Solo quando si può supporre che Y è causato dal segnale Y tramite una funzione H (Ω) è possibile stimare questa dal cross-spettro.Dove v è un rumore in uscita scorrelato dall'ingresso Y , la fase di CS viene calcolata come fase di uscita meno la fase di ingresso.H invece è significativa solo dove il PSD ha contenuto, la stima non ha infatti significato al di fuori della banda di Y .Tramite la stima si può eliminare l'effetto del rumore v sia per le ampiezze sia per le fasi se questo non è legato all'ingresso.

Lezione 7

SISTEMI DINAMICI possono essere a tempo discreto (vengono

descritti da equazioni alle differenze) o a tempo continuo (vengono descritti da equazioni differenziali).

Si opera in tempo discreto se: si tratta di un fenomeno intrinsecamente a tempo discreto, si sta simulando un sistema a tempo continuo in modo numerico, si è costruito un algoritmo dinamico che tratta un segnale campionato.

SISTEMI DISCRETI LINEARI possono essere tempo invarianti, in questo particolare caso vengono descritti da equazioni di stato (cioè un sistema di equazioni alle differenze lineare a coefficienti costanti) e da equazioni di uscita (cioè una trasformazione di uscita lineare e costante) che nel caso a tempo discreto possono essere scritte in forma matriciale. In particolare vengono studiate a istanti di tempo successivi i e i-1, dove tra di questi vi è quindi un passo di campionamento.

La prima equazione, quella di stato, mi dice come variano le variabili di stato, la seconda invece, quella d'uscita, mi dice che l'uscita non è

nient’altro che unacombinazione lineare delle variabili all’istante precedente.

A queste due equazioni può poi essere aggiunta una relazione di tipoingresso/uscita in cui le variabili interne non compaiono esplicitamente:

Y(i) = a Y() + … – a Y(i-n) + b u(i) + … + b u(i-m)

dove le variabili interne1 n 0 msono gli n e m campioni passati dell’ingresso edell’uscita.

Importante è poi anche la risposta all’impulso, un impulso nel tempo discretonon è altro che una serie nulla ovunque tranne che per i=0 dove vale 1. Larisposta all’impulso è fondamentale in quanto contiene tutte le informazioni sulsistema che si sta studiando e sul suo comportamento (stabilità, instabilità,risposta finita o infinita). Per calcolare una risposta all’impulso adeguata devopartire dal sistema a riposo (ovvero devo verificare che ingressi e uscite sianopari a zero) solo in questo caso posso applicare un impulso e

Studiarne la risposta così da ricavarne delle informazioni. I sistemi discreti lineari possono essere suddivisi a seconda del tipo di risposta all'impulso:

• Non recursivi: se il sistema dipende solamente dagli ingressi (non vi sono coefficienti a K)
• Recursivi: se il sistema oltre che dagli ingressi dipende anche dai valori precedenti d'uscita (vi sono coefficienti a K)