Domande Segnali

EXTRA

EEG presenta 4 bande di frequenza dalle caratteristiche ben specifiche. Alpha (8-13Hz): ritmo principale a

riposo in adulti svegli, ad esempio nell’area motoria quando si è rilassati oppure nella zona occipitale ad occhi

chiusi. Beta (13-30Hz): condizione di stress o quando si eseguono attività che richiedono concentrazione.

Theta (4-8Hz): sonno. Delta (0,5-4Hz): sonno profondo, encefalo individui con malattie neurodegenerative o

neonati.

Descrivere il sistema di derivazioni per l’acquisizione del segnale EEG

Le derivazioni per l’acquisizione del segnale ECG possono essere prevalentemente di due tipi: monopolari o

bipolari. Quello monopolare consiste nell’uso di un elettrodo attivo posto su di un’area elettricamente attiva

e un elettrodo passivo posto in una zona cranica dall’attività neutra. Questa derivazione è quella

maggiormente usata in ricerca. Quella bipolare consiste nell’utilizzo di due elettrodi attivi posti su un’area

elettricamente attiva e permette di rivelare la differenza di potenziale tra le due aree prescelte. Questa

derivazione è prevalentemente utilizzata a livello clinico.

Descrivere il sistema di derivazioni per l’acquisizione del segnale ECG

Per il segnale ECG vengono utilizzate 12 derivazioni: le prime tre derivazioni derivano dal triangolo di

Einthoven: presi come punti di riferimento i polsi e la gamba destra del paziente, vengono misurate le

differenze di potenziale tra i singoli poli (si ottengono tre differenze di potenziali), queste derivazioni sono

bipolari; altre tre derivazioni, posizionando sempre gli elettrodi ai polsi e alla gamba destra sono chiamate

derivazioni aumentate, sono unipolari perché sono misurate le differenze di potenziali tra ciascun punto di

riferimento e un punto di neutro, chiamato potenziale di Wilson, pari alla media degli altri due elettrodi non

in esame. Queste sei derivazioni misurano l’attività cardiaca in un piano frontale. Le altre sei derivazioni si

chiamano derivazioni pericordiali, vengono posti 6 elettrodi vicino al cuore, le misurazioni sono unipolari:

misuro le differenze di potenziale tra ciascun elettrodo e il riferimento di Wilson, pari alla media dei potenziali

di Einthoven, misurano l’attività cardiaca in un piano trasversale.

LEZIONE 2

CARATTERISTICHE ED IMPORTANZA DELLE FUNZIONI SINUSOIDALI

Le funzioni sinusoidali sono funzioni periodiche descritte dalla equazione y(t)=Asen(2πf +ϑ).

I sistemi lineari forzati da queste equazioni ammettono un andamento sinusoidale con medesima

frequenza e opportuna ampiezza e fase. Inoltre, sistemi lineari asintoticamente stabili a regime

convergono al comportamento sinusoidale ammesso (regime sinusoidale) dopo un transitorio che

dipende dalle condizioni iniziali.

Un sistema lineare può essere forzato da una somma di sinusoidale. Per il principio di

sovrapposizione degli effetti si possono calcolare i regimi relativi alle singole sinusoidi e costruire la

soluzione complessiva.

Le funzioni sinusoidali sono godono della proprietà di ortogonalità, ovvero il prodotto tra due

sinusoidi di frequenza diversa tende a zero se l’integrale tende a ∞.

A parità di frequenza vale l’ortogonalità tra sinusoidi in quadratura (sfasate di ±π/2).

L’integrale del prodotto è analogo ad un prodotto scalare tra vettori. Come con i vettori, l’integrale

del prodotto nullo garantisce ortogonalità. Per via di questa proprietà, le sinusoidi si prestano a

costituire una base ortogonale. Le funzioni periodiche si possono infatti tutte scomporre e vedere

come somma di sinusoidi secondo il Teorema di Fourier

L’ortogonalità implica la somma delle potenze:

ENUNCIATO DEL TEOREMA DI FOURIER

Qualunque segnale periodico di periodo T, che presenti un numero limitato di discontinuità è

descrivibile come somma di seni e coseni di frequenza multipla rispetto alla frequenza fondamentale

1/T.

La frequenza fondamentale scandisce la frequenza della funziona complessiva mentre le altre

frequenze multiple determinano la morfologia dell’onda.

La serie illimitata dei coefficienti costituisce lo sviluppo in serie di Fourier del segnale periodico. Se

il segnale presenta punti angolosi o/e salti, i coefficienti della serie convergono a zero a frequenze

infinite.

Ciò ci consente di scegliere il numero di sinusoidi con le quali descrivere il segnale e gestire l’errore.

LE DIVERSE FORMULAZIONI DELLA SERIE DI FOURIER E RELAZIONI RECIPROCHE

Per ogni componente armonica si indica ampiezza e fase. Prima forma

In maniera equivalente si può indicare l’ampiezza della componente in fase (coseno) e della

componente in quadratura (seno). Seconda forma

Le componenti si possono indicare impiegando coefficienti complessi a di esponenziali ad

k

argomento immaginario (positivo o negativo). Terza forma

La terza forma si può ricavare a partire dalla seconda mediante la formula di Eulero

Fissiamo la pulsazione ω e rappresentiamo le sinusoidi tramite i fasori le prime due forme:

k

La seconda forma consente di trovare la formula per il calcolo dei coefficienti della serie di Fourier,

nota y(t) su un periodo, sfruttando l’ortogonalità

NB. L’estrazione dell’ampiezza di una componente è ottenuta tramite un prodotto scalare.

RELAZIONI TRA SERIE DI FOURIER E TRASFORMATA DI FOURIER

Il contenuto in frequenza di un segnale continuo e periodico si può rappresentare in maniera

discreta tramite la rappresentazione degli a in modulo e fase sull’asse delle pulsazioni 2πf . Il calcolo

k k

di questi coefficienti rappresenta una trasformazione dal dominio del tempo a quello delle

frequenze. Analogamente, il calcolo di y(t) costituisce la trasformazione inversa dal dominio delle

frequenze a quello del tempo.

La rappresentazione nel dominio delle frequenze si può estendere anche a funzioni non periodiche.

Infatti una funzione non periodica si può vedere come una funziona periodica dal periodo T infinito.

Ciò implica una distanza nulla tra le armoniche. Si ottiene così una funziona di ω continua detta

Trasformata di Fourier (TdF).

Da una funzione reale a variabili reali si ottiene una funzione complessa di variabili reali.

(NB. )

La y(t) si ottiene come antitrasformata di Fourier (integrazione delle infinite componenti).

SERIE/TRASFORMATE DI FOURIER DI ALCUNE FUNZIONI NOTEVOLI

Impulso Rettangolare: di durata d e ampiezza h=1/d. Impulso rettangolare nel tempo equivale ad

un seno cardinale nel dominio delle frequenze. NB. La larghezza del lobo principale è

inversamente proporzionale alla

larghezza del dell’onda rettangolare

Impulso di Dirac: l’impulso equivale ad un impulso a rettangolo quando d viene fatto tendere a zero.

L’impulso δ(t) ha la caratteristica di includere tutte le frequenze.

Seno e Coseno:

PROPRIETA’ DELLE TRASFORMATE DI FOURIER

Le proprietà delle trasformate di Fourier:

Linearità: F{a y1(t) + b y2(t)} = a Y1(ω)+b Y2(ω)

Ritardo τ: (il ritardo equivale ad uno sfasamento negativo ed è lineare in

ω=2πf)

Derivata: (la derivata equivale ad una amplificazione proporzionale a ω e

ad anticipare la fase di π/2)

Integrale: (attenuazione proporzionale a ω e ritardo di fase di π/2)

Scala temporale: ( La restrizione della durata dell’impulso »

allargamento ampiezza banda.

Simmetria della TdF: simmetria pari rispetto al modulo e dispari rispetto alla fase.

Fase nulla: se e solo se y(t)=y(-t). Alla simmetria nel dominio del tempo

corrispondono valori reali nel dominio delle frequenze.

Teorema di Parsel: l’energia del segnale nel tempo è pari all’energia della sua trasformata.

Convoluzione temporale: il prodotto di convoluzione nel dominio del tempo corrisponde ad

prodotto nel dominio delle frequenze. La TdF di h(t)

corrisponde alla

risposta in

frequenza

Moltiplicazione temporale: la moltiplicazione nel tempo equivale al prodotto di convoluzione nel

dominio delle frequenze. Un caso particolare è la modulazione, ovvero la moltiplicazione di un

segnale per una sinusoide. Convoluzione dominio

TdF funziona generica TdF sinusoide delle frequenze

LEZIONE 3

1. Enunciare il teorema del campionamento

Il teorema del campionamento/di Shannon dice che considerando la frequenza massima del segnale f (banda

max

del segnale) e la trasformata di Fourier con banda limitata di larghezza B=f allora il segnale può essere

max

campionato senza perdita di informazioni e senza introduzione di distorsioni purché la frequenza di

campionamento sia almeno doppia rispetto alla massima frequenza presente nella banda occupata dal segnale:

≥2B (=2f

f ).

c max

>> il campionamento nel tempo è il prodotto del segnale y(t) per un pettine di Dirac a passo T , ovvero una

c

convoluzione del dominio delle frequenze.

Spiegare cosa è l’aliasing

2.

Aliasing è l’equivocazione delle frequenze. Si ha quando il segnale viene campionato con una frequenza di

campionamento che viola il teorema di Shannon. Per esempio: tre sinusoidi diverse campionate con la stessa

frequenza producono la stessa risposta in frequenza, quindi risultano indistinguibili. Inoltre con un periodo di

campionamento non valido si può avere una sovrapposizione del segnale (con se stesso o con del rumore) a

livello della f .

N

3. Spiegare la funzione del filtro antialiasing

Il filtro anti-aliasing serve per eliminare le frequenze del segnale maggiori della frequenza di Nyquist prima

della conversione A/D. Se non applico il filtro, nonostante la f valida, posso trovare una trasformata del

c

segnale distorta perché la replica del segnale si sovrappone al rumore (f >f ); si avrebbe quindi

rumore N

un’introduzione di rumore che inizialmente non influiva sul segnale.

4. Noto il contenuto in frequenza di un segnale determinare la frequenza di campionamento più

opportuna

fc≥f /2. Per esempio un segnale ECG (di frequenza 0.01÷250 Hz) può essere campionato in modo diverso a

max

seconda dell’obbiettivo:

- fc~500 Hz per diagnostica (campionamento molto dettagliato)

- fc~250 Hz per sistema Holder (macro-osservazioni)

- fc~100-200 Hz per monitoraggio terapia intensiva (non si vuole la morfologia ma è sufficiente vedere

la presenza del battito).

5. Cosa è la frequenza di Nyquist

È la massima frequenza rappresentabile in un segnale campionato: f =f /2.

N c

Nota: f. di Nyquist è diversa dalla banda del segnale! F. di Nyquist dipende del campionamento mentre la

banda del segnale è una proprietà intrinseca del segnale stesso.

Calcolare l’errore di quantizzazione nota la dinamica D e il numero di livelli L del quantizzatore

6.

Ɛ ≤D/2n=q/2 poiché