Domande Segnali

Lezione 1

Classificazione dei segnali biomedici

Un segnale è una grandezza fisica che dipende dalla variabile (indipendente) tempo e che fornisce informazioni sul sistema, processo o struttura che lo ha generato. Esso si può classificare in due macrocategorie: deterministico e stocastico. Un segnale deterministico è noto per ogni valore della variabile indipendente, mentre è stocastico (o casuale) noto solo a livello statistico e quindi non è descrivibile da una funzione analitica.

Un segnale deterministico può essere periodico, ovvero ripetersi identico a sé stesso ad ogni periodo temporale T. Un esempio di segnale deterministico periodico (non ideale) è il respiro. A sua volta i segnali periodici si suddividono in segnali sinusoidali e non sinusoidali. Segnali deterministici non periodici si dividono invece in segnali quasi periodici o transienti. Esempio di segnale deterministico quasi periodico è l’ECG mentre il potenziale d’azione è transiente. L’ECG è caratterizzato dal complesso qrs che si ripete sempre uguale ma la distanza temporale tra le onde non è costante ma molto simile. Il potenziale d’azione si presenta come un’onda dalla forma ben definita ma che si manifesta in modo non periodico nel tempo.

Il segnale stocastico si divide in stazionario e non stazionario. Quello stazionario è un segnale le cui caratteristiche statistiche si mantengono nel tempo (non dipendono da t). Tra queste caratteristiche abbiamo la media, l’auto-correlazione e la cross-correlazione tra due segnali. Esempio di segnale stazionario è l’EEG. Il segnale stazionario a sua volta si divide in ergodico e non ergodico. Un segnale ergodico è un segnale le cui caratteristiche statistiche si possono determinare da una sola realizzazione del processo che genera il segnale. Mentre un segnale non stazionario è ad esempio l’EMG.

I segnali si possono anche classificare in segnali a tempo continuo o discreto. Quelli a tempo continuo sono definiti per ogni istante di tempo t, mentre quelli a tempo discreto solo in determinati istanti di tempo. Quelli discreti si possono ottenere andando a campionare un segnale a tempo continuo scegliendo il numero n di campioni e quindi il tempo di campionamento Tc.

Il segnale può anche essere reale o complesso. Ovvero assumere solo valori reali oppure essere complesso e quindi rappresentabile da due segnali parte reale/immaginaria o modulo/fase.

Caratteristiche del segnale EEG, ECG, EMG

L’EEG è un segnale stocastico stazionario (per brevi tratti). Ovvero un segnale di cui non sono noti i valori per ogni istante di tempo, come invece si può fare con quelli deterministici. Questo segnale si può conoscere solo a livello statistico e quindi non è descrivibile da una funzione analitica. Esso è anche stazionario, ovvero un segnale le cui caratteristiche statistiche (media, auto-correlazione e cross-correlazione) si mantengono nel tempo. Banda (0,1-50Hz).

L’ECG è invece un segnale deterministico quasi periodico (per brevi tratti), ovvero un segnale di cui è nota la morfologia la quale non si ripete dopo un periodo di tempo costante ma leggermente variabile.

L’EMG è invece un segnale stocastico non stazionario, ovvero un segnale di cui non sono noti i valori per ogni istante di tempo e che non è descrivibile usando una funzione analitica e che invece si può conoscere solo a livello statistico. Essendo non stazionario, le sue caratteristiche statistiche non si mantengono costanti nel tempo.

Queste sono le caratteristiche di questi 3 particolari segnali biologici quando il paziente è sano. Quando si trova in condizioni di salute che si discostano dalla norma, variano le caratteristiche di questi segnali. ECG diventa da deterministico quasi stazionario a stocastico, mentre EEG diventa deterministico transiente.

Descrizione del sistema 10/20 per l’acquisizione del segnale EEG

Il segnale EEG (elettroencefalogramma) si acquisisce seguendo il sistema 10/20 ovvero uno standard di posizionamento degli elettrodi che, rispetto alla posizione del nasion e inion, del 10% e 20% in maniera simmetrica. Nasion e inion sono due punti ben identificati del cranio. Trasversalmente si utilizzano come punti di riferimento per il posizionamento gli auricolari. Questo sistema consente di posizionare in modo omogeneo gli elettrodi (componenti passivi) su tutto il cranio per poter acquisire segnali diversi tra loro, essendo le diverse parti dell’encefalo adibite a funzioni diverse. Ad ogni elettrodo corrisponde una sigla alfanumerica. Le lettere indicano il lobo mentre il numero indica l’emisfero. Numero pari= emisfero destro e dispari=emisfero sinistro.

L’EEG è il risultato delle somme di tutti i potenziali postsinaptici prodotti dalle cellule piramidali.

Descrivere il sistema di derivazioni per l’acquisizione del segnale EEG

Le derivazioni per l’acquisizione del segnale ECG possono essere prevalentemente di due tipi: monopolari o bipolari. Quello monopolare consiste nell’uso di un elettrodo attivo posto su di un’area elettricamente attiva e un elettrodo passivo posto in una zona cranica dall’attività neutra. Questa derivazione è quella maggiormente usata in ricerca. Quella bipolare consiste nell’utilizzo di due elettrodi attivi posti su un’area elettricamente attiva e permette di rivelare la differenza di potenziale tra le due aree prescelte. Questa derivazione è prevalentemente utilizzata a livello clinico.

Descrivere il sistema di derivazioni per l’acquisizione del segnale ECG

Per il segnale ECG vengono utilizzate 12 derivazioni: le prime tre derivazioni derivano dal triangolo di Einthoven: presi come punti di riferimento i polsi e la gamba destra del paziente, vengono misurate le differenze di potenziale tra i singoli poli (si ottengono tre differenze di potenziali), queste derivazioni sono bipolari; altre tre derivazioni, posizionando sempre gli elettrodi ai polsi e alla gamba destra sono chiamate derivazioni aumentate, sono unipolari perché sono misurate le differenze di potenziali tra ciascun punto di riferimento e un punto di neutro, chiamato potenziale di Wilson, pari alla media degli altri due elettrodi non in esame. Queste sei derivazioni misurano l’attività cardiaca in un piano frontale. Le altre sei derivazioni si chiamano derivazioni pericordiali, vengono posti 6 elettrodi vicino al cuore, le misurazioni sono unipolari: misuro le differenze di potenziale tra ciascun elettrodo e il riferimento di Wilson, pari alla media dei potenziali di Einthoven, misurano l’attività cardiaca in un piano trasversale.

Lezione 2

Caratteristiche ed importanza delle funzioni sinusoidali

Le funzioni sinusoidali sono funzioni periodiche descritte dalla equazione y(t)=Asen(2πf +θ). I sistemi lineari forzati da queste equazioni ammettono un andamento sinusoidale con medesima frequenza e opportuna ampiezza e fase. Inoltre, sistemi lineari asintoticamente stabili a regime convergono al comportamento sinusoidale ammesso (regime sinusoidale) dopo un transitorio che dipende dalle condizioni iniziali.

Un sistema lineare può essere forzato da una somma di sinusoidale. Per il principio di sovrapposizione degli effetti si possono calcolare i regimi relativi alle singole sinusoidi e costruire la soluzione complessiva.

Le funzioni sinusoidali sono godono della proprietà di ortogonalità, ovvero il prodotto tra due sinusoidi di frequenza diversa tende a zero se l’integrale tende a ∞. A parità di frequenza vale l’ortogonalità tra sinusoidi in quadratura (sfasate di ±π/2). L’integrale del prodotto è analogo ad un prodotto scalare tra vettori. Come con i vettori, l’integrale del prodotto nullo garantisce ortogonalità. Per via di questa proprietà, le sinusoidi si prestano a costituire una base ortogonale. Le funzioni periodiche si possono infatti tutte scomporre e vedere come somma di sinusoidi secondo il Teorema di Fourier.

Enunciato del teorema di Fourier

Qualunque segnale periodico di periodo T, che presenti un numero limitato di discontinuità, è descrivibile come somma di seni e coseni di frequenza multipla rispetto alla frequenza fondamentale 1/T. La frequenza fondamentale scandisce la frequenza della funzione complessiva mentre le altre frequenze multiple determinano la morfologia dell’onda. La serie illimitata dei coefficienti costituisce lo sviluppo in serie di Fourier del segnale periodico. Se il segnale presenta punti angolosi o/e salti, i coefficienti della serie convergono a zero a frequenze infinite. Ciò ci consente di scegliere il numero di sinusoidi con le quali descrivere il segnale e gestire l’errore.

Le diverse formulazioni della serie di Fourier e relazioni reciproche

Per ogni componente armonica si indica ampiezza e fase. Prima forma: in maniera equivalente si può indicare l’ampiezza della componente in fase (coseno) e della componente in quadratura (seno). Seconda forma: le componenti si possono indicare impiegando coefficienti complessi a di esponenziali ad argomento immaginario (positivo o negativo). Terza forma: la terza forma si può ricavare a partire dalla seconda mediante la formula di Eulero. Fissiamo la pulsazione ω e rappresentiamo le sinusoidi tramite i fasori le prime due forme: k. La seconda forma consente di trovare la formula per il calcolo dei coefficienti della serie di Fourier, nota y(t) su un periodo, sfruttando l’ortogonalità NB. L’estrazione dell’ampiezza di una componente è ottenuta tramite un prodotto scalare.

Relazioni tra serie di Fourier e trasformata di Fourier

Il contenuto in frequenza di un segnale continuo e periodico si può rappresentare in maniera discreta tramite la rappresentazione degli a in modulo e fase sull’asse delle pulsazioni 2πf. Il calcolo di questi coefficienti rappresenta una trasformazione dal dominio del tempo a quello delle frequenze. Analogamente, il calcolo di y(t) costituisce la trasformazione inversa dal dominio delle frequenze a quello del tempo. La rappresentazione nel dominio delle frequenze si può estendere anche a funzioni non periodiche. Infatti una funzione non periodica si può vedere come una funzione periodica dal periodo T infinito. Ciò implica una distanza nulla tra le armoniche. Si ottiene così una funzione di ω continua detta Trasformata di Fourier (TdF). Da una funzione reale a variabili reali si ottiene una funzione complessa di variabili reali. (NB.) La y(t) si ottiene come antitrasformata di Fourier (integrazione delle infinite componenti).

Serie/trasformate di Fourier di alcune funzioni notevoli

Impulso Rettangolare: di durata d e ampiezza h=1/d. Impulso rettangolare nel tempo equivale ad un seno cardinale nel dominio delle frequenze. NB. La larghezza del lobo principale è inversamente proporzionale alla larghezza dell’onda rettangolare. Impulso di Dirac: l’impulso equivale ad un impulso a rettangolo quando d viene fatto tendere a zero. L’impulso δ(t) ha la caratteristica di includere tutte le frequenze. Seno e Coseno:

Proprietà delle trasformate di Fourier

Le proprietà delle trasformate di Fourier:

• Linearità: F{a y₁(t) + b y₂(t)} = a Y₁(ω)+b Y₂(ω)
• Ritardo τ: (il ritardo equivale ad uno sfasamento negativo ed è lineare in ω=2πf)
• Derivata: (la derivata equivale ad una amplificazione proporzionale a ω e ad anticipare la fase di π/2)
• Integrale: (attenuazione proporzionale a ω e ritardo di fase di π/2)
• Scala temporale: (La restrizione della durata dell’impulso » allargamento ampiezza banda.
• Simmetria della TdF: simmetria pari rispetto al modulo e dispari rispetto alla fase.
• Fase nulla: se e solo se y(t)=y(-t). Alla simmetria nel dominio del tempo corrispondono valori reali nel dominio delle frequenze.
• Teorema di Parsel: l’energia del segnale nel tempo è pari all’energia della sua trasformata.
• Convoluzione temporale: il prodotto di convoluzione nel dominio del tempo corrisponde ad prodotto nel dominio delle frequenze. La TdF di h(t) corrisponde alla risposta in frequenza.
• Moltiplicazione temporale: la moltiplicazione nel tempo equivale al prodotto di convoluzione nel dominio delle frequenze. Un caso particolare è la modulazione, ovvero la moltiplicazione di un segnale per una sinusoide. Convoluzione dominio TdF funziona generica TdF sinusoide delle frequenze.

Lezione 3

Teorema del campionamento

Il teorema del campionamento/di Shannon dice che considerando la frequenza massima del segnale f_max (banda del segnale) e la trasformata di Fourier con banda limitata di larghezza B=f_max allora il segnale può essere campionato senza perdita di informazioni e senza introduzione di distorsioni purché la frequenza di campionamento sia almeno doppia rispetto alla massima frequenza presente nella banda occupata dal segnale: ≥2B (=2f_c).

>> il campionamento nel tempo è il prodotto del segnale y(t) per un pettine di Dirac a passo T_c, ovvero una convoluzione del dominio delle frequenze.

Aliasing

Aliasing è l’equivocazione delle frequenze. Si ha quando il segnale viene campionato con una frequenza di campionamento che viola il teorema di Shannon. Per esempio: tre sinusoidi diverse campionate con la stessa frequenza producono la stessa risposta in frequenza, quindi risultano indistinguibili. Inoltre con un periodo di campionamento non valido si può avere una sovrapposizione del segnale (con se stesso o con del rumore) a livello della f_N.

Filtro antialiasing

Il filtro anti-aliasing serve per eliminare le frequenze del segnale maggiori della frequenza di Nyquist prima della conversione A/D. Se non applico il filtro, nonostante la f_c valida, posso trovare una trasformata del segnale distorta perché la replica del segnale si sovrappone al rumore (f_N > f_N); si avrebbe quindi un’introduzione di rumore che inizialmente non influiva sul segnale.

Determinare la frequenza di campionamento più opportuna

Per esempio un segnale ECG (di frequenza 0.01÷250 Hz) può essere campionato in modo diverso a seconda dell’obiettivo:

• f_c~500 Hz per diagnostica (campionamento molto dettagliato)
• f_c~250 Hz per sistema Holder (macro-osservazioni)
• f_c~100-200 Hz per monitoraggio terapia intensiva (non si vuole la morfologia ma è sufficiente vedere la presenza del battito).

Frequenza di Nyquist

È la massima frequenza rappresentabile in un segnale campionato: f_N = f_c/2. Nota: f. di Nyquist è diversa dalla banda del segnale! F. di Nyquist dipende del campionamento mentre la banda del segnale è una proprietà intrinseca del segnale stesso.

Errore di quantizzazione

Calcolare l’errore di quantizzazione nota la dinamica D e il numero di livelli L del quantizzatore:

Ɛ ≤ D/2ⁿ = q/2 poiché q = D/n e n = 2^L.

• q = precisione, ampiezza del livello di quantizzazione
• D = dinamica del segnale
• n = 2^L = numero di livelli rappresentabili con L numero di bit.

Determinare il numero di livelli L minimo

Nota la dinamica di un convertitore AD, determinare il numero di livelli L minimo per commettere un errore inferiore ad una quantità data. Da Ɛ ≤ D/2ⁿ sostituire ad n = 2^L, quindi determinare L sapendo Ɛ_dato.

Caratteristiche statistiche dell’errore di quantizzazione

L’errore massimo di quantizzazione è pari alla metà dell’ampiezza del livello di quantizzazione ovvero q/2. Ɛ è caratterizzato a livello statistico da una media nulla e una densità di probabilità uniforme tale per cui =q²/12. Quindi in grafico la quantizzazione è una funzione a gradino derivata da una retta:

Lezione 4

La trasformata di Fourier a tempo discreto DTFT

La trasformata di Fourier a tempo discreto DTFT (Discrete-Time Fourier Transform) è una trasformata che a partire da un segnale discreto nel tempo e aperiodico, ne fornisce una descrizione periodica e continua nel dominio della frequenza. L’espressione Y(Ω) si ottiene applicando la trasformata di Fourier a tempo continuo a y(k), cioè al pettine di Dirac modulato per y(t) (y(t) campionato nel tempo discreto). Se y(k) risulta dal campionamento nel tempo di una y(t) allora Y(Ω) è ottenuta replicando Y(ω) (cioè la trasformata di Fourier del segnale y(t) a tempo continuo) attorno ai multipli di f_c. Y(Ω) è una funzione complessa di variabile reale.

La trasformata discreta di Fourier DFT

Si tratta di una trasformata che converte una collezione finita di campioni nel dominio del tempo equispaziati di un intervallo T_c in una collezione di coefficienti di una combinazione lineare di sinusoidi complesse, ordinate al crescere della frequenza.

• In ingresso segnale campionato periodico con periodo T₀ e distanza tra i campioni pari a T_c;
• In uscita trasformata discreta periodica con periodo 1/T_c e distanza tra le armoniche 1/T₀.

Il calcolo effettivo della DFT richiede:

• Un numero finito N di campioni contenuti in una finestra temporale finita di durata T_C = NT₀;
• Di calcolare la trasformata su un numero finito di campioni.