Seconda parte del corso di Analisi 2

CALCOLO DIFFERENZIALE

Restrizioni:

Consideriamo \(f: A \subseteq \mathbb{R}^2 \to \mathbb{R}\), A aperto, \(x_0 \in A\), allora consideriamo le restrizioni lungo le rette \(x = x_0\) e \(y = y_0\), definiamo i seguenti insiemi

\(A_{x_0} = \{x \in \mathbb{R} \ | \ (x,y_0) \in A \}\)    e    \(g_{y_0}: A_{x_0} \to \mathbb{R} \ | \ g_{y_0} = f(x,y_0)\)

\(A_{y_0} = \{y \in \mathbb{R} \ | \ (x_0,y) \in A \}\)    e    \(g_{x_0}: A_{y_0} \to \mathbb{R} \ | \ g_{x_0} = f(x_0,y)\)

Derivate parziali (N = 2):

Sia \(f: A \subseteq \mathbb{R}^2 \to \mathbb{R}\), A aperto, \((x_0,y_0) \in A\), definiamo

\(\frac{\partial f}{\partial x}(x_0,y_0) = g'_{y_0}(x) = \lim_{t \to 0} \frac{g_{y_0}(x_0 + t) - g_{y_0}(x_0)}{t} = \lim_{t \to 0} \frac{F(x_0 + t, y_0) - F(x_0, y_0)}{t}\)

\(\frac{\partial f}{\partial y}(x_0,y_0) = g'_{x_0}(y) = \lim_{t \to 0} \frac{g_{x_0}(y_0 + t) - g_{x_0}(y_0)}{t} = \lim_{t \to 0} \frac{F(x_0, y_0 + t) - F(x_0, y_0)}{t}\)

Derivate direzionali (N = 2):

Sia \(f: A \subseteq \mathbb{R}^2 \to \mathbb{R}\), A aperto, \((x_0,y_0) \in A\), sia \(\mathbf{v} = (v_1, v_2)\) vettore, direzione, e tale che \(|\mathbf{v}| = 1\), definiamo derivata direzionale di vettore \(\mathbf{v}\)

\(\frac{\partial f}{\partial \mathbf{v}}(x_0,y_0) = \lim_{t \to 0} \frac{F(x_0 + tv_1, y_0 + tv_2) - F(x_0,y_0)}{t}\)

Derivate parziali:

Sia \(f: A \subseteq \mathbb{R}^n \to \mathbb{R}\), A aperto, \(x^0 \in A\), diciamo che \(f\) ammette derivate parziali rispetto alle variabile \(x_i, i = 0, 1, \ldots, n - 1\) se ammette derivata direzionale rispetto a \(\mathbf{v} = e_i\)

\(\frac{\partial f}{\partial x_i} = \lim_{t \to 0} \frac{F(x^0 + te_i) - F(x^0)}{t} \subseteq \mathbb{R}^n\)

Derivate direzionali:

Sia \(f: A \subseteq \mathbb{R}^n \to \mathbb{R}\), A aperto, \(x^0 \in A\), diciamo che \(f\) ammette derivata direzionale di vettore \(\mathbf{v} \in \mathbb{R}^n\) e \(|\mathbf{v}| = 1\), se

\(\frac{\partial f}{\partial \mathbf{v}} = \lim_{t \to 0} \frac{F(x^0 + t\mathbf{v}) - F(x^0)}{t}\)

Proposizione:

Sia \(f: A \subseteq \mathbb{R}^n \to \mathbb{R}\), A aperto, \(x^0 \in A\), supponiamo \(f\) ammetta derivata direzionale rispetto a tutti \(\mathbf{v} \in \mathbb{R}^n\) e \(|\mathbf{v}| = 1\), allora la funzione \(g(t) = f(x^0 + t\mathbf{v})\) è derivabile in \(0\) e vale

\(\frac{dg}{dt} (0) = \lim_{t \to 0} \frac{f(x^0 + t\mathbf{v}) - f(x^0)}{t}\)

Funzione differenziabile:

Sia F: A ⊆ ℝⁿ → ℝ^m, A aperto, x⁰ ∈ A, diremo che F è differenziabile in x⁰ se ∃ l’applicazione lineare

^lim_h→0 ^{F(x0+h) - F(x0) - L[h]}/_||h|| = 0

lim_h→0 ^{||F(x0+h) - F(x0) - L[h]||}/_||h|| = 0

limx→x0 ||F(x) - F(x0) - L[x-x0]||/||x-x0|| = 0

F(x) = F(x0) + L[x-x0] + R(x) con limx→x0 R(x)/||x-x0|| = 0

Teorema:

Sia f: A ⊆ ℝⁿ → ℝ^m, A aperto, x⁰ ∈ A, se f è differenziabile in x⁰ allora f è continua in x⁰

Dim

F è differenziabile ⇒ F(x) - F(x⁰) = L[x-x⁰] + R(x)

passando al limite

lim_x→x⁰ F(x) - F(x⁰) = lim_x→x⁰ [L[x-x⁰] + R(x)] =

= lim_x→x⁰ L[x-x⁰] + R(x)]/_||x-x⁰|| = 0

Proposizione:

Sia f: A ⊆ ℝ → ℝ^m, A aperto, f differenziabile in x⁰ ∈ A con differenziale L. Allora ∀ v ∈ lrn ||v|| = 1 si ha:

∂f/∂v [x⁰] = L[v]

Dim

lim_t→0 [f(x⁰+tv) - f(x⁰)]/_t = lim_t→0 [L[tv] + R(x⁰ + tv)]/_t

ĝ(t) = g(x₁) - g(x₀)

=>

∥x² - x¹∥ ∂f(x⁰ + tx¹n(x¹ - x⁰))/∂t = F(x¹t) - F(x⁰)

=> ξ = x⁰ + ξ ∥x¹ - x⁰∥

=> ∂f(ξ)/∂v = F(x¹t) - F(x⁰)

_______________________

∥x¹ - x⁰∥

Gvellerio :

Sia F: A⊆ℝᴺ→ℝᴹ A: Bᵣ(x₀) , supponiamo che ∀x₀∈A

f(x) - ₀ allora F è continua.

Dim

n = 1

∀f(x)→₀ => ∂f/∂r(x) →₀

∀v∈ℝᴺ ,∥v∥=1

∀ x¹,x² ∈ B abbiamo che (x¹x² ∈ B infiniti

∀t∈ [0,1] , x⁰ = x¹ + t(x² - x¹)

+ (1-t)(x¹ - x⁰)∥

∥x² - x⁰∥ = ∥1-t(x² - x¹) - x⁰∥ =

≤ [t∥x² - x⁰∥] + (1-t)∥x¹ - x⁰∥]

=[t ∥x²-x⁰∥ + (1-t)∥x¹-x⁰∥

posso quindi applicare Lagrange

=>

F(x¹) - F(x⁰) = ∂f /∂r(ξ) ∥x¹ - x⁰∥ = 0

∀ x¹,λ,²

Funzione Lipschitziana :

Siano (X,d) , (Y,d̄) F: X→Y è Lipschitziana

se Ǝ L > 0 :

d_Y(F(x)-F(x¹)) ≤ Ld_X(x,x¹) ∀ x¹,x²∈ℝ

Funzione localemente Lipschitziana :

Sia F: A⊆ℝᴺ→ℝᴹ A aperto, si dice Secc. Lipschitziana se ∀x₀ Ǝr > 0. Ǝr Bᵣ(x)⊆A

∥F(x¹) - F(x⁰)∥ ≤ L ∥ x¹ - x⁰ ∥

Teorema di Schwarz :

Sia F: A⊆ℝᴺ→ℝᴿ A aperto,x⁰∈A supponiamo ∃

∂²f /∂x_i∂x_j = ∂²f/∂x_i∂x_j

in un intorno di x⁰ e supponiamo

siano continue in x⁰ allora ξ ∈(x⁰)

_____________________

(x)

= 0

→ |R(c₀, t_x)|_(z-1) | 1, (y/2)(g/9)

lo touch rimane positivo

4) Se λ < 0 dobbiamo mostrare che ∀ r > 0 :

∀ y' ∈ U e ∀ t ∈ (o,r)  z = max ∀&sub2;∀&sub3;λ<0

   F(c_r+G) - F(x₀) →≤ ⋂ΔDB(t_yy) + B(z) →≤ R (c₀+t_y)

   = ¼ &en; &dsub;&emacsu;&ememj;36(y-tsy) + R(®c₀+t_y)

   ≤⅔ &e + R(c₀) →&box;

   &cind; e&sub3;

   &isi; &p; &subs; lo touch rimane negativo × x₀

Regolo di Cartes o per il segno delle edici di un polinio

Sio doto P(x) = a_nxⁿ + &ellinen; ax_i+ a_ℓ&subi;1 ∈≤ ∉ limi.

• Il massimo numino di voci real positive di un polinio e dato dal numero di...di segno tra coefficienti consecutivi, escudendo nelli nelli.
• L'informazioni relativo al numino di vedoi negative si deduce appicciano la istees reglo del polinio P(ℓ) x...Ille Niel & variames...indiono il numero insuffizirativi di voci negative

P(x) = x&iance;&intens; x&inscarse; 26x

 2 varioini →◊ &yo;&max;

P(l-x) =  x&pro0;&temel;&intens&emzanp;€36x = &p 3max →z vet po…

Insieme di livell

Sil^{F &asopp;&asimp;&ascolt;&corder; versio;} dovnni

{ ∑&pinV; ; J F(x) ≅ } = {osio ζ_D &in kusol>

Teoremo del Divi

Sio F ≅ψ∼&asemp;&asemp;&spacens;&linearulo;

&smcind;&incompleti;&aomp&phi