Seconda parte del corso di Analisi 2

CALCOLO DIFFERENZIALE

Restrizioni: Consideriamo F: A ⊂ R² ⟹ R, A aperto, x₀ ∈ A allora consideriamo le restrizioni lungo le rette x = x₀ e y = y₀, definiamo i seguenti insiemi. A_x0 = {x ∈ R | (x,y₀) ∈ A} e y₀ ∈ A_x0 ⟹ R| g_y0 = F(x,y₀) A_y0 = {y ∈ R | (x₀,y) ∈ A} e y₀ ∈ A_y0 ⟹ R| g_x0 = F(x₀,y)

Derivate parziali: ( N=2 )Sia F: A ⊂ R² ⟹ R, A aperto, (x₀, y₀) ∈ A, definiamo    ∂F/ ∂x (x₀,y₀) = g'_y0(x₀) = lim _{t → 0} g_y0 (x₀ +t) - g_y0(x₀) / t    = lim _{t → 0} F(x₀+t,y₀) - F(x₀,y₀) / t    ∂F/ ∂y (x₀,y₀) = g'_x0(y₀) = lim _{t → 0} g_x0 (y₀ +t) - g_x0(y₀) / t    = lim _{t → 0} F(x₀,y₀+t) - F(x₀,y₀) / t

Derivate direzionali: ( N=2 )Sia F: A ⊂ R² ⟹ R, A aperto, (x₀,y₀) ∈ A, sia v = (v₁,v₂) vettore, direzione i e tale che ||v|| = 1, definiamo derivata direzionale di vettore v    ∂F/ ∂v (x₀,y₀) = lim _{t → 0} F(x₀+tv₁,y₀+tv₂) - F(x₀,y₀) / t

Derivate parziali :Sia F: A ⊂ Rⁿ ⟹ R^m, A aperto, x₀ ∈ A, diciamo che F ammette derivata parziale rispetto alla variabile x_i i = 1,...,n, se ammette derivata direzione rispetto a v = e_i,     ∂F/ ∂x_i = lim _{t → 0} F(x₀+te_i) - F(x₀) / t ∈ R^m

Derivate direzionali:Sia F: A ⊂ Rⁿ ⟹ R^m, A aperto, x₀ ∈ A, diciamo che F ammette derivata direzionale di vettore v ∈ Rⁿ e ||v|| = 1     ∂F/ ∂v = lim _{t → 0} F(x₀+tv) - F(x₀) / t

Proposizione:Sia F: A ⊂ Rⁿ ⟹ R^m, A aperto, x₀ ∈ A, supponiamo F ammette derivata direzionale rispetto a v ∈ Rⁿ e ||v|| = 1. Se w ∈ Rⁿ e ||w|| = 1 allora la funzione g(t) = F(x₀+tw) ∈ R^m è derivabile in 0 e vale    df/dt (0) = lim _{t → 0} F(x₀+tw) - F(x₀) / t

Calcolo Differenziale

Restrizioni:

Consideriamo \( F: A \subseteq \mathbb{R}^2 \to \mathbb{R} \), \( A \) aperto, \( x_0 \in A \), allora consideriamo le restrizioni lungo le rette \( x = x_0 \) e \( y = y_0 \), definiamo i seguenti insiemi

\( A_{x_0} = \{ x \in \mathbb{R} \,|\, (x, y_0) \in A \} \) e \( y_0 \in A_{x_0} \subset \mathbb{R} \to y_0 = (x_0, y_0) \)

\( A_{y_0} = \{ y \in \mathbb{R} \,|\, (x_0, y) \in A \} \) e \( x_0 \in A_{y_0} \subset \mathbb{R} \to x_0 = (x_0, y_0) \)

Derivate parziali \((N = 2):\)

Sia \( F: A \subseteq \mathbb{R}^2 \to \mathbb{R} \), \( A \) aperto, \( (x_0, y_0) \in A \), definiamo

\(\frac{\partial F}{\partial x} (x_0, y_0) = y'_0 (x_0, y_0) = \lim_{t \to +0} \frac{y_{x_0}(x_0 + t) - y_{x_0}(x_0)}{t}\)

\(= \lim_{t \to +0} \frac{F(x_0 + t, y_0) - F(x_0, y_0)}{t}\)

\(\frac{\partial F}{\partial y} (x_0, y_0) = x'_0 (y_0) = \lim_{t \to +0} \frac{y_{y_0}(x_0 + t) - y_{y_0}(x_0)}{t}\)

\(= \lim_{t \to +0} \frac{F(x_0, y_0 + t) - F(x_0, y_0)}{t}\)

Derivate direzionali \((N = 2):\)

Sia \( F: A \subseteq \mathbb{R}^2 \to \mathbb{R} \), \( A \) aperto, \( (x_0, y_0) \in A \), sia \( \mathbf{v} = (v_1, v_2) \)

vettore, direzione, e tale che \( ||v|| = 1 \), definiamo derivata direzionale di vettore \( \mathbf{v}'\)

\(\frac{\partial F}{\partial \mathbf{v}} (x_0, y_0) = \lim_{t \to +0} \frac{F(x_0 + tv_1, y_0 + tv_2) - F(x_0, y_0)}{t}\)

Derivate parziali:

Sia \( F: A \subseteq \mathbb{R}^n \to \mathbb{R}^n \), \( A \) aperto, \( x_0 \in A \), diciamo che \( F \)

ammette derivate parziali rispetto alle variabili \( x_i \), \( i = 1, \dots, n \), se ammette derivata direzionale rispetto a \( \mathbf{v} = e_i\).

\(\frac{\partial F}{\partial v} = \lim_{t \to +0} \frac{F(x_0 + te_i) - F(x_0)}{t} \in \mathbb{R}\)

Derivate direzionali:

Sia \( F: A \subseteq \mathbb{R}^n \to \mathbb{R} \), \( A \) aperto, \( x_0 \in A \), diciamo che \( F \)

ammette derivata direzionale di vettore \( \mathbf{v} \in \mathbb{R}^n \), \( \mathbf{v} \in \mathbb{R}^n \), \( ||v|| = 1 \)

\(\frac{\partial F}{\partial \mathbf{