Appunti Analisi 2 - seconda parte

FUNZIONI DEFINITE IMPLICITAMENTE

1) Esiste e max_D = ƒ(x₀, y₀) ∈ D t.c. ƒ(x₀, y₀) = max_D

Se posso puntare casi all'interno di D, quando soddisfa: x₀² + y₀² ≤ 1 allora il gradiente si annulla: ∇ƒ(x₀, y₀) = (0, 0)

Se è una saturazione di max e min vincolato, quindi dobbiamo vedere cosa succede sulla frontiera.

max ƒ min ƒ

[a, b] [c, d]

con una funzione a più variabili non si hanno solo estremi di un intervallo, ma si ha una frontiera.

TEOREMA DELLA FUNZIONE IMPLICITA (3.26 P.184)

y = g(x)

y - g(x) = 0

forma esplicita forma implicita

se ho: ƒ(x, y) = 0

7(x, y) = x² y² - x³ y = 0

y = ±√x y = ±x²

Folium di Cartesio

x³ + y³ = 3xy

(x³+y³)(y+x) + y²-x³+y³=y-x=x

Qui non possiamo perdere nessun pezzo. Perché? Dato che la x² copre gli 1, è questo che incontriamo

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insieme di cerchio:

punto giusto non piou

graphico di un funzionale

variazione Y

ENUNCIATO del teorema delle funzioni implicite

• (x₀,y₀) ℝ²
• (x₀,y₀) ℝ

(x, y) = 0

sostituire y = ɸ(x)

ɸ(x) = y - ɸ(x)

∂(x,y) ≠ 0

∂ y

(x₀,y₀) = 0

(x₀,y₀) ≠ 0

in fine P (x,y)

(x₀,y₀)

Considero f(x) = A x

f: ℝⁿ → ℝ^m

f(x) è differenziabile se

f(x + h) - f(x₀) = Df(x₀) h + o(||h||)

Con funzioni composte:

Se per esempio ho:

f: ℝ^R → ℝ^m

g: ℝ^m → ℝ^k

g ∘ f: ℝ^R → ℝ^k

Se f e g sono lineari e G è la matrice di g e F la matrice di f

(g ∘ f) (x) = (G ⋅ F ⋅ x)

D(g ∘ f) (x₀) = Dg (y₀) ⋅ Df(x₀)

matrice jacobiana di g ∘ f

y₀ = f(x₀)

Piano tangente a una superficie regolare

• x = x(μ₀, ν₀)
• y = y(μ₀, ν₀)
• z = z(μ₀, ν₀)

x(μ, ν)

x(μ₀, ν₀)

x_μ(μ₀, ν₀) x x_ν(μ₀, ν₀)

⟂ = x_μ(μ₀, ν₀) x x_ν(μ₀, ν₀)

• Es. Piano

Normale al piano

Forma più compatta

• x(μ₀, ν₀)
• y(μ₀, ν₀)
• z(μ₀, ν₀)

Oppure si può usare la matrice Jacobiana

• x_μ x
• y_μ y
• z_μ z

Con una variabile: se \( g'(x_0) \neq 0 \) ⟹ \( g \) iniettiva e suriettiva

\( g(V) \)

\( g'(x_0) \)

Teorema della derivazione della funzione inversa

In dimensione \( n = 1 \)

\( g: R^n \to R^m \)

\( \det D\Phi(x) \neq 0 \) ∀ \( x \in R^n \)

↝ non è detto che \( \Phi \) sia iniettiva

\( V = e^u \cos v \)

\( \Phi(u, v) = \begin{pmatrix} e^u \cos v \\ e^u \sin v \end{pmatrix} \)

\( \begin{pmatrix} e^u \cos v & -e^u \sin v \\ e^u \sin v & e^u \cos v \end{pmatrix} \)

\( \det D\Phi(u, v) = e^u(\sin v \cdot \cos v) = e^u(\sin^2 v + \cos^2 v) = e^u \neq 0 \)

\(\Phi(u, v) = \Phi(u, v + 2\pi)\)

f (x,y) = x² - y²

ψ (x,y) = x² + y²

Trovare le max e min di f nell'insieme ψ(x,y) = 1

x² + y² = 1

∇f = λ ∇ψ

• f_x(x,y) = λψ_x (x,y)
• f_y(x,y) = λψ_y (x,y)
• x² + y² = 1
• ψ = 0

(x (1 - λ) = 0

⇒ x = 0

(y (1 + λ) = 0

⇒ y = 0

x² + y² = 1

se λ = 0

y² = 1

y = ± 1

⇒ x = 0

se λ = 1

y = 0

⇒ x = ± 1

Individuano i punti: (0, 1), (0, -1), (1, 0), (-1,0)

f(0,1) = f(0,-1) = -1

f(1,0) = f(-1,0) = 1

f(0,0) = 0

Max f = 1, Min f = -1

Esempio: Determinare le linee del campo

F (x, y, z, t) =

x²/x y²/y z²/z

dove φ ∉ 0

∫ φ = ∫ x³

∫):

Dobbiamo considerare:

( x' ) ( φ )

( y' ) = ( β )

( z' ) = ( β₃ )

dx x

dy y

dz z

Integrando:

ln | x | = ln | y | + C₁

ln | z | = ln | y | + C₂

C₁, C₂ ∈ ℝ

ln | x/y | = ln | z/y | = C

{ x = k₁y

{ z = k₂y

k₁, k₂ > 0

Eseguendo t ∈ [0, ∞) →

x(t) = k₁t

y(t) = t

z(t) = k₂t

Il fattore di k₁, k₂ ottengo delle famiglie

Per k₁ = k₂ non una linea giusta una sola.

Poiché √_u succede questo, si dice che le punte è singolare.

{x, y, z} = C (x^1/3, y^1/3, z^1/3){ (x/y^1/3)}, { (y/x)^1/3} = { (z/y)^1/3 }

D'altro canto il campo non si dispone nell'origine e non si estende. In modo soggiacente (paralleli formano il limite per (x, y, z) = (0, 0) all'infinito ω)

Def: Un campo vettoriale F: Ω ⟹ ℝⁿ ⊆ ℝ³ → ℝ³ si dice

conservativo in Ω (aperto) se ogni componente del vettore

è C¹ (cioè f ∈ C¹(Ω)) e esiste una funzione scalare

U: Ω ⟹ ℝ tale che U ∈ C²(Ω) e F = ∇U

U = POTENZIALE di F

Lemma: Sia F un campo conservativo in Ω,

γ una curva regolare di tratto contenuta in Ω che

compone i punti p e q dello spazio, orientata p ⟹ q

Allora ∮_γ F · dr = U(q) - U(p)

Quindi, pei campi conservativi, l'integrale di campo lungo

una curva, non dipende dalla curva stessa ma dai punti

iniziale e finale.

✧OSSERVAZIONE✧

F conservativo, allora ∮_γ F · dr non dipende da γ ma

daga estremi p e q.

✧OSSERVAZIONE✧

m = n = 1 (dimensione 1),

f conservativo se f^‡ = U^' (derivata di U)

∫_a^b f(t) dt = ∫_a^b U^'(t) dt = U(b) - U(a)

Forme DIFFERENZIALI LINEARI

Sia m ≥ 1, dato m funzioni lisce (differenziabili ∞ volte) a₁, a₂, ..., a_m ∈ CR^∞ → ℝ si definisce una FORMA DIFFERENZIALE LINEARE (1- forma) la seguente espressione formale:

ω(x) = a₁(x) dx₁ + a₂(x) dx₂ + ... + a_m(x) dx_m

dove dx₁, ..., dx_m sono i simboli base relativi a (x₁, ..., x_m).

Definiamo INTEGRALE di una FORMA DIFERENZIALE LINEARE ω lungo una curva γ ⊂ ℝⁿ nel seguente modo:

∫_γω = ∫_a^b [a₁(x(t)) x₁'(t) + ... + a_m(x(t)) x_m'(t)] dt

dove f (c(t) = parametrizzazione di γ_n , t ∈ [a,b]

OSSERVAZIONE

∫_γω = ∫_{x =} F^(b) dr T (→= ω)

∫_x^bx( x(t))x_σ'(t) dt f: d dove F = (X_o)

Data una funzione differenziabile f: Ω → ℝ definiamo

df = ∂₁ f dx₁ + ∂₂ f dx₂ + ... + ∂_m f dx_m.

Diciamo che una forma ω è ESATTA se ω = df per qualche f.

Una forma è CHIUSA se il corrispondente campo è IRROTAZIONALE