Analisi B - seconda parte

Siamo equivalenti regolari e curve di lavoro è lo stesso equiorientate se sono è e fds dsf f cambialavoro equiorientate solo non ilse equivalenti sono e segno ma è èE Ifds as Dimostrazione

Sia 1km fvettori f1 di siano equivalenti e un punto e curve campo per ogni f f le didel definire è anche che di il funzionisostegno sostegno posso è P TI TEP Ffè dove nel Imuil versare Lg punto Ptangente eaP è TIf TI III I Inuit dove è Imunel Ppuntoila versare tangente eaf f1 che equiorientate sono Supponendo eOPETETE FImmFIP FIFI Fè EE LEIFEET Quindi SISe è I èEf Ef fecef Edsdsds dsle La a EPerché invarianticurvilineigli integrali equivalenti sono funzioniperF F orientatein edequivalentiquesto equie ecaso sono f equiorientateche2 equivalenti sono Supponendo nonmaeOPETETE FImmFIP FIFI TE E EE FEET SEQuindi Se è I èEff EI Ef f dsds dsSp Lle dsa a EPerché invarianticurvilineigli integrali

equivalenti sono funzioni F e G se sono orientate equivalenti. In questo caso non sono equivalenti ma:

Teorema di Schwartz: se F e G sono campi vettoriali di classe C^1 in un aperto A, allora F è conservativo se e solo se G è irrotazionale.

Dimostrazione: è semplice. Infatti, se F è conservativo, allora esiste una funzione potenziale U tale che F = grad(U). Dato che grad(U) è irrotazionale, allora G = grad(U) è irrotazionale.

Esempio: F = (x^2, y^2, z^2) è irrotazionale. Infatti, calcolando il rotore di F si ottiene:

rot(F) = (0, 0, 0)

Quindi F è irrotazionale.

Teorema dei conservativi: se F è un campo vettoriale di classe C^1 in un aperto A, allora F è conservativo se e solo se il suo rotore è nullo.

importante campo di integrazione è Cirmsia Irm di archiconservativo vettori aperto a e commesso campo per èf ilsia dibsia a u potenziale curva eregolareunae a è FIDI Fcaf1 dsf U Ua a Dimostrazione IRinè è Sia IIN It VHALAY BX xy y Fitla Considerando V1 IRb funzione acalcola funzionelanee TE FILAFCA FCAU Fit Fit y'Ittx FGEHA Y'ABH è lavoro la Calcolo il lungo curva Iè I FINJINf X'HL A Atds B YFINULPIA I Feb V18Uat U adello Proposizione di2 stesso vettoripotenzialisu campoè Sia 1km cirmdi vettori eA archiapertoun campo commesso perFSe diU costanteir potenzialia Ua astr sonoe differiscono unaperè NÈI UIRcioè ticK E AKVa E int tuttica chiede anonè IrmSia sirm vettorididi2 e aperto connesso un campoè a conservativob chiusa èil lavoro nullolungo curvaqualsiasiti ti1bse BIe ac regolariaaa curveF fiè ètic b pla sono equivalentinona e èÈI I E dsds

Dimostrazione:

Se il campo è conservativo, allora ha un potenziale. Sia F un campo vettoriale tridimensionale. Devo dimostrare che il lavoro è nullo. Per il teorema dell'integrazione dei campi conservativi, il lavoro di F lungo una curva chiusa è uguale a zero. Quindi, devo dimostrare che il lavoro di F lungo una curva chiusa è zero.

Supponiamo che la curva sia regolare e che sia tracciata in modo che completi un giro. Sia J una curva chiusa che inizia e termina nello stesso punto. Poiché J è una curva chiusa, è equivalente a una curva opposta. Quindi, il lavoro di F lungo J è uguale al lavoro di F lungo la curva opposta.

Per dimostrare che il lavoro è nullo, devo dimostrare che il lavoro di F lungo J è uguale al lavoro di F lungo la curva opposta. Quindi, devo dimostrare che il lavoro di F lungo J è uguale a meno il lavoro di F lungo J.

Per dimostrare che il lavoro è nullo, devo dimostrare che il lavoro di F lungo J è uguale a zero. Poiché J è una curva chiusa, posso dividere J in due curve, J1 e J2. Il lavoro di F lungo J è uguale alla somma del lavoro di F lungo J1 e il lavoro di F lungo J2.

Siamo arrivati a due punti, x e y. Poiché J è una curva chiusa, il punto finale di J1 è uguale al punto iniziale di J2. Quindi, il lavoro di F lungo J1 è uguale al lavoro di F lungo J2.

Poiché J è una curva chiusa, posso scegliere qualsiasi punto di partenza e qualsiasi punto di arrivo. Quindi, posso scegliere il punto di partenza di J1 e il punto di arrivo di J2 in modo che siano gli stessi. Quindi, il lavoro di F lungo J1 è uguale al lavoro di F lungo J2.

Per dimostrare che il lavoro è nullo, devo dimostrare che il lavoro di F lungo J1 è uguale a zero. Poiché J1 è una curva chiusa, posso dividere J1 in segmenti di curva più piccoli. Il lavoro di F lungo J1 è uguale alla somma del lavoro di F lungo ciascun segmento di curva.

Per dimostrare che il lavoro è nullo, devo dimostrare che il lavoro di F lungo ciascun segmento di curva è zero. Poiché J1 è una curva chiusa, posso scegliere qualsiasi punto di partenza e qualsiasi punto di arrivo per ciascun segmento di curva. Quindi, posso scegliere il punto di partenza e il punto di arrivo in modo che siano gli stessi per ciascun segmento di curva.

Per dimostrare che il lavoro è nullo, devo dimostrare che il lavoro di F lungo ciascun segmento di curva è zero. Poiché J1 è una curva chiusa, posso scegliere qualsiasi punto di partenza e qualsiasi punto di arrivo per ciascun segmento di curva. Quindi, posso scegliere il punto di partenza e il punto di arrivo in modo che siano gli stessi per ciascun segmento di curva.

Per dimostrare che il lavoro è nullo, devo dimostrare che il lavoro di F lungo ciascun segmento di curva è zero. Poiché J1 è una curva chiusa, posso scegliere qualsiasi punto di partenza e qualsiasi punto di arrivo per ciascun segmento di curva. Quindi, posso scegliere il punto di partenza e il punto di arrivo in modo che siano gli stessi per ciascun segmento di curva.

Per dimostrare che il lavoro è nullo, devo dimostrare che il lavoro di F lungo ciascun segmento di curva è zero. Poiché J1 è una curva chiusa, posso scegliere qualsiasi punto di partenza e qualsiasi punto di arrivo per ciascun segmento di curva. Quindi, posso scegliere il punto di partenza e il punto di arrivo in modo che siano gli stessi per ciascun segmento di curva.

Per dimostrare che il lavoro è nullo, devo dimostrare che il lavoro di F lungo ciascun segmento di curva è zero. Poiché J1 è una curva chiusa, posso scegliere qualsiasi punto di partenza e qualsiasi punto di arrivo per ciascun segmento di curva. Quindi, posso scegliere il punto di partenza e il punto di arrivo in modo che siano gli stessi per ciascun segmento di curva.

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Per dimostrare che il lavoro è nullo, devo dimostrare che il lavoro di F lungo ciascun segmento di curva è zero. Poiché J1 è una curva chius

Bè cioè potenziale e ovvero Provo la 1 La benun è definita funzione e y su perché F è un'altra da b e che lase va curva l'ipotesi un a3 prendessi per È E È Ef fds UdsU x y xa y Provo 2 Dato che è aperto un È I 5 5 t.c e Bo È h I th5,5e escegliendo y È E 5 B ca E È È È BCE contenuto è il 5 da La che in segmento e va a F Sia 5 È che hin 1 da con va sostegno curva una f è esiste archie 1 aperto perché commesso per F È Considerando la ottenuta da che curva va percorrendo prima a P È f E È È ottiene che che si dada il va poi av a segmento e È E È È È È È È È È È È È È È È È È È È È È È È È È È È È È È È È È È È È È È È È È È È È È È È È È È È È È È È È È È È È È È È È È È È È È È È È È È È È È È È È È È È È È È È È È È È È È È È È È È È

ècalcolare che Alaydimostrarel'integraleora e cero una parametrizzazioneperè t a0,11 èELA X Yth htyx o Èèèè th1io x y yh F lI Blechè alè hf atè dslime e t aox y efigo leie h qE l lèdtIh Alxth thatal th Blythe o yfigolime II th A diAline atA Aat xyx xx yyyh soEQuindi Al ydimostra allo chestesso modo Bixsi TI È É conservativaèdel teorema dei conservativiApplicazione campiBleyyÈSia conservativovettori elettricodix y campoun campo4,43 yayaetf sint tecost la2NIo Rtsia spirale logaritmicaee conÈ ÌCalcolare il lavoro di lungoY xIl dal dal finalelavoro puntosolo inizialecamminodipendenon ma eparametrizzazionecerco una Pè ÈSia dail segmento aÈ Flo 1,0È J at e 0èEH IR1 èÈ t to t 1,0 tÈE I Lf dsL ds Alay Bix O'AliBH.geABC _è ee IIIII èè atIgna atL 1e s1,02 021312Definizione di insieme