Seconda parte appunti Analisi 1

Forte Indeterminate

∞ + (-∞) ; - ∞ + (+∞) ; ^∞/_∞ ; ^∞⁰ ; ∞ - ∞ ; 0·(+∞) ; 0·(-∞)

Esempio: lim _x→+∞ (√(x+1) - √x) = 0

lim _x→+∞ √x = +∞ -> √x+1 > √x ∀x > 0

Per il teorema del confronto:

√x+1 → +∞

√x → +∞

√x+1 - √x = (√(x+1) - √x) (√(x+1) + √x) / (√(x+1) + √x) -

= x+1 - x / (√(x+1) + √x) = 1 / (√(x+1) + √x)

0 (per l'aritmetica partitale)

Esempio: lim _x→+∞ (√(x²+x+1) - √x) = x

√(x²+x+1) + √x = |x|+1 = |x| ∀x > 0

Per il teorema del confronto: √x²+x+1 → +∞ → +∞

√x → +∞ → +∞

^√(x²+x+1)/_√x = √^(x²+x+1)/_x = √^(x²+x+1)/_x / √x

= (x²-x+1)/x = ((^{1-1/x +1/x²})_(1/x)

√^x²+x+1/_√x

Limiti delle Funzioni Razionali

f(x) = aₒ + a₁x + ... + aₙxⁿ

An ≠ 0 ; Bm ≠ 0

dom_f = {x ∈ ℝ; b₀ + b₁x + ... + b_mx^m ≠ 0} = (−∞ |

lim x→±∞ f(x) = ±∞

a₀ + a₁x + ... + a_mx^m (ϰ) a₀/x^m + a₁/x^m−1 + ... + ϰ^a_m → 1 + 0 · logn (a_m)

Risoluzione:

grado max

f(x) = m ⇌ a_mx^m + ... + a_m−1x + a_m = - x^−m

x^m → b₀/x^m + ... + b_m−1/x + b_m

{a_m/b_m} se n = m

{a₀ - a_n/(a_m/b_m)} se n ≠ m

0 se n ≠ m

Esempi: 1. lim x→∞

1 + x^4/x - 17x⁵ = -∞

√2 x − x^1/x + 13/x − x⁻¹ → -∞

2. lim x→∞

1 + x⁶ - 17x⁵ = -∞

√2 x^−x3 + 13

Disequianza di Bernulli:

∀ m ∈ ℕ, m ≥ 1, ∀ x ∈ ℝ, x > 1 : (1+x)^m ≥ 1 + mx (1)

Dim: Per induzione su m:

m = 1 : 1 + x ≥ 1 + x è vera.

Supponiamo che (1) sia vera per n ∈ ℕ

(1+x)^m+1 = (1+x)^m(1+x) ≥ (1+x)(1+mx) = 1+x+mx+m xʲ→prochè

x > 1 ⇒ x + 1 > 0

induce induttiva: (1 + x)² 1 + mx => (1+x)^m (1+x) ≥ (1 + mx) (1+x)

Dir: 2.

k è crescente In X, inf k = -∞

Dobbiamo provare: lim_x→x₀ f(x)

∀ m > 0 ∃ δ > 0 t.c. ∀ x ∈ X, x₀ < x < x₀ + δ f(x) < - m

f non è limitata inferior in X ∧ (x₀, +∞)

fissato un m > 0, m non è minorante, ∃ x ∈ X, x > x₀ t.c.

f(x) < - m

δ = x - x₀; x₀ + s = x

∀ x ∈ X, x₀ < x < x₀ + s f(x) < m

Dir: 3.

x₀ = e.f. p.t. d'accum. per X.

f decresc.: sup_x f = L ∈ R se f è limitata in X

lse ∄ se f non è limitata in X

∀ m ∈ R, m ∈ R. t.c. ∀ x ∈ X, x < m: | f (x) - L | ≤ ε, L - ε f( x₀ )

Poiché f è decrescente in x:

∀ x ∈ X, x₀ < x : f (x) ≤ f ( x₀ ) - ε

In conclusione: ∀ x ∈ X, x < x : |f(x) - L | ≤ ε

Dir: 4.

k è decrescente, sup_x k = + ∞, lim_x→-∞ f (x) = + ∞

Dobbiamo provare:

∀ n > 0; m ∈ R t.c. ∀ x ∈ X, x < m,

f (x) > m

f non è limitata in x → ∄ x ∈ x t.c. f (x) > m

f è decrescente in x: ∀ x ∈ x, x₀ × x: f (x) ≥ f (x

Quindi _{x → x0} a^x = a^x₀

lim _{x → -∞} a^x = inf ℝ (a^x) = 0; lim _{x → +∞} a^x sup (a^x)= +∞

Se 0 ≤ a ≤ 1

Esempi: 1. lim _{x → 0} 2^x = 2⁰ = 1;

2. lim _{x → 1/3} 3^-1/(x-1) = +∞

3. lim _{x → -∞} (log₂ x) = 0

O₁ log₂ x ∊ L log₃ 3 = 1

4. lim _{x → -∞} (1/8)^x = 0

Limiti Funzioni Logaritmiche:

h(x) = log_a x, a ≥ 0, a ≠ 1, dom_f = (0, +∞)

lim _{x → 0⁺} log_a x = { -∞ se a > 1, +∞ se 0 < a < 1

∀ x₀ > 0; lim _{x → x0} log_a x = log_a x₀

lim _{x → +∞} log_a x = +∞ se a > 1

lim_x→∞ h(x) = lim_x→∞ 1/x = 0

g∘f(x) = g(h(x)) g ( 1/x ) = x⟶0 +∞

Esempio 1. lim_x→∞ 2^4/x = 1

↯ lim finito e composto

↯ lim_x→−∞ 2^4/x = 1

u_x = 1/x⟶0 u_x = 1/x⟶0

lim_u⟶0 2^u = 1 {

2. lim_x→+∞ 2^4/x = 1

3. lim_x→0 2^4/x

↯ lim 1/x

u_x = ±1/x⟶±∞

lim_u⟶±∞ 2^u = 0 {

⇒ lim_x→0⁺ 2^4/x = +∞

⇵

↯ lim_x→0 4/x

0 < x < 1⇾ 1/x > 1/4 ; 2^4/x > 2^1/4

{

se x⟶0⁺ = 4/x⟶0, 2^4/x > 1

{

x⟶0⁺ 1/x > 1/4 ; 2^4/x > 2^1/4

se x⟶0¯ = 1/x < 0, 2^4/x < 1

sen x = x (1+o(1)), x→0;

Esempio: 1.

lim_x→0 1-cosx / x² = 1/2

1-cosx = o(1), x→0 ;

x² o(1), x→0 ;

lim_x→0 1-cosx / x²

f.i. 0/0

1-cosx = (1-cosx) (1+cosx) = 1-cos²x

x²(1+cosx)

= sen²x

x²(1+cosx)

If cosx > 0 x→0 → x→0 → 2/2;

1-cosx = 1/2+ o(1), x→0 ;

x²/2 (1+o(1)) x→0

1-cosx = x²/2 (1/2+ o(1)) = x²/2 (1+o(1)) x→0

1/2 (1+ o(1)) = 1/2 (1+o(1))

o(1) (o(1)) = o(1)

cosx = 1-x²/2 (1+ o(1)), x→0 ;

Algebra di o(1) :

o(1) + o(1) = o(1)

c o(1) = o(1) ∀ r ∈ ℝ

2.

lim_x→0 tg x = 1

lim_x→0 tg x / x

f.i. 0/0

tg x= o(1), x→0

tg x = x senx / x cosx = 1

tg x = 1+ o(1), x→0 ; tg x = x (1+o(1)), x→0 .

lim_{x → +∞} h(x) = -∞

f(x) ≈ g(x) ≈ e^{cos x - 2} = cos x - 2 ; g(x) = -1/cos x - 2

h(x)

∄ lim_{x → +∞} f(x)∄ lim_{x → +∞} g(x)

f(x) g(x)

k e g non sono confrontabili come infiniti per x → +∞

Oss: Analogie def. di infiniti e infinitesimi di ordine sup., infer. e stesso ordine per x → x₀ e x → x₀

Numero e di Nepero:

lim_{m → +∞} (1 + 1/m)^m

m + 1/m

(1 + 1/m)^m ≈ log_e(1+1/m)^m ≈ m log_e(1+1/m)

≈ m log_e → +∞ o m → +∞

Teorema: La successione { (1 + 1/m)^m }_{m ≥ 2} è strett. crescente e limitata

Richiamiamo:Teorema: Se {a_n} è una successione monotona crescente, allora esiste

lim_{m → +∞} a_{m = sup am} = {L ∈ ℝ se {a_n} è limitato sup. ∞ se {a_n} non è limitato sup.}

Dim: La successione { (1 + 1/m)^m }_{m ≥ 2} è strett. cresc. se

∀m ≥ 2: (1 + 1/m)^m+1-1/m-1 < (1 + 1/m)^m (1)

Infatti:

^{m - 1 + 1} m⁺¹ < ^{(m + 1)m} (M)^m*^m (m + 1/m)^m moltiplico per (m - 1/m)^m