Scienze delle Costruzioni (Appunti completi del corso)

Teorema di Betti

Il lavoro compiuto da un sistema di carichi A per quei spostamenti prodotti da un secondo sistema di carichi B è uguale al lavoro compiuto dai carichi del secondo sistema per quei spostamenti prodotti dai carichi del primo.

Lavoro di deformazione

Lavoro compiuto dai carichi per produrre cambiamenti del configurazioni della struttura da _ke(INIZ) a _ke(FINALE):

L_{0 → 2} ∫_ke^up∑_i=1ⁿ p_i(t)du_i(t)^{- P_i identità equilibrio carico}_{- ui componenti deformaz. omeologa}

Teorema di Castigliano

La derivata del lavoro di deformazione indotta ad uno unico carico concentrato EGUALIA la componente dello spostamento del punto di applicazione di tale carico nella direzione del carico stesso:

dL/dF = f (freccia)

Teorema di Menabrea

Per una struttura ipostatica al variare delle incognite iperstatiche il lavoro di deformazione diventa stazionario e coincide con una delle soluzioni del problema:

dL/dX_k = 0, k = 1, 2 ... n

Teorema di Betti (ripetizione)

Il lavoro compiuto da un sistema di carichi A su quei spostamenti prodotti da un secondo sistema di carichi B è uguale al lavoro compiuto dai carichi del secondo sistema per quei spostamenti prodotti dai carichi del primo.

Lavoro di deformazione (ripetizione)

Lavoro compiuto dai carichi per produrre cambiamenti di configurazione della struttura, da ₀ (INIZ) a ₁ (FINALE):

L_0→t=∫_{t0 t1}∑_i=1^ndp_i ^E(t)du_i(t)p_i ^E identica carico carico u_i componenti spostam. omologa

Teorema di Castigliano (ripetizione)

La derivata del lavoro di deformazione rispetto ad un generico carico concentrato eguaglia la componente dello spostamento del punto di applicazione di tale carico nella direzione del carico stesso:

∂u/∂F = f (freccia)

Teorema di Menabrea (ripetizione)

Per una struttura iperstatica al variare delle incognite iperstatiche il lavoro di deformazione diventa stazionario e coincide con una delle soluzioni del problema:

∂L/∂x_k = 0, k=1,2...n

Teorema di Betti (approfondimento)

HP: I piccoli spostamenti (cambiamenti di configurazione presismica), vincoli fissi, lisci, materiale el-lin, no deformazioni angolari.

HH: Il lavoro di un sistema di carichi (A) per gli spostamenti prodotti da un secondo sistema di carichi (B) è uguale al lavoro del sistema (B) per gli spostamenti prodotti dall'(A).

Carichi A × spostamenti B = Carichi B × spostamenti A

Considero struttura soggetta a sistema di carichi concentrati p_i,^“ (i = 1 ... mc), che produce spostamenti generalizzati n⁰, t⁰, x⁰ e seno N^A, T^A, H^A (lavoro interno):

Il generico punto J della linea d'asse della struttura subisce uno spostamento complesso Σ_j^m b_jU_j e, ^“.

Considerando le stesse strutture, soggette però a un nuovo sistema di carichi b⁰ (j = 1 ... mc), che produce spostamenti generalizzati n⁰e, t⁰e, x⁰e e seno N^B, T^B, H^B lavoro interno:

ε^“la entamino i con il REL.INT.LAV d'equilibrio con i carichi che hanno prodotte e le quantità CINETRATICHE dello considerimento riducente e con i nytucoesistono → Possono ridurre crane LV facendo lavorare carichi L lavoro interno ai.

Cinetica di B

• dxe = ∑_i P_iU_i”
• dxe = ∫_int. (N_An₀+ T_Ab₀+ H_Ax₀) dm = L*AB (SFB × SPB)

Alla stesso modo:

• dxe^’ = Τ ∑_i P_iU_j”
• dxe_im→
• dxe = ∫ ∫_mcat. (N_Bn₀+ T_e+ H_ex₀x₀) dm = L*BA (SFB × SPA)

Sistematco con di legame el-lim tra REL.INT.e def posso riscrivere e L'lavoro interno in funzione delle sole RINT.LI:

L^*AEg LBA = ∫_int. (^N_AN₀ƪ – T^B G_AC + (^TABVC) Dextem Hz naln di trasmetzu ace. dellado pe ∫ ∫_int.→ L^ab = L^ba

• C.VD nella applicacComposete dello spostamento del pd papp'int nella direzione del carico del carico – ter Betti – ter Equagenia lavor NTVU – ter huptronicantagico rinze schedef

Teorema di Maxwell

Nelle HP del teorema di Betti vale il principio di sovrapposizione degli effetti. Considero struttura soggetta a generica fatica di carichi CONC. Ph (h = ...).