Scienze delle Costruzioni (Appunti completi del corso)

TH-BETTI

Il lavoro compiuto da un sistema di carichi A per gli spostamenti prodotti dai un secondo sistema di carichi B è eguale al lavoro compiuto dai carichi del secondo sistema per gli spostamenti prodotti dai carichi del primo.

Lavoro di deformazione

Lavoro compiuto dai carichi per produrre cambiamenti di configurazione della struttura da k₀ (iniz.) a k₁ (finale):

L_0→1 = ∫ _k0^k_f ∑ _i f_i (t) du_i (t)

f_i = identità generico carico

u_i = componenti spostam. omologa

TH-CASTIGLIANO

La derivata del lavoro di deformazione rispetto ad un generico carico concentrato eguaglia la componente dello spostamento del punto di applicazione di tale carico nella direzione del carico stesso:

∂L/∂f = f (freccia)

TH-MENABREA

Per una struttura iperstatica, al variare delle incognite iperstatiche il lavoro di deformazione diventa stazionario e si verificano le condizioni di equilibrio del problema:

∂L/∂X_k = 0, k = 1, 2, ... n

* BETTI

Hp: piccoli sistemi (cambiamenti compl. piccole)

• vincoli elastici, ideali
• intrinseche el.-lin
• no deform. ang.

H1:

Il lavoro di un sist. A carichi(A) per gli spostam. prodotto da un secondo sist. di carichi(B) è uguale al lavoro del sist. B per gli spostam. prodotti dal sist. (A).

• carichi A x spostam. B = carichi B x spostam. A

1. Considero gener. soggetta a sist. car. con. conc. p_i^α (i=1...m_α), che produce def. generatamente n_α, t_α, x_α e siano N_A, T_A, H_A, (e az. interne):

   1. Il generico i-to J delle linee d'asse della struttura subisce uno spost. gener. S_j^αβ.Considerando lo stess. struttura, soggetta però ad un sist. di carichi p_j^β (j=1...m_β), che produce def. generatamente n_β, t_β, x_β e siano N_β, T_β, H_β le azioni interne.

      Il generico spostamento del i-to J della linea d'asse sarà S_i^{B^}. I prodotti n_a con il T_β, T_α^B, x_α, i con azioni interne sono la RA.INTERNA d equilibrio con i carichi che che hanno prodotto e le quantità CINEMATICHE dello CONTINUITA' tra loro e con il vincolo esterno —> Posso scrivere ogni LV facendo lavorare carichi A e azioni interne ad A su quantità' cinetiche di B:

      d_e = ∑_i^m_α p_i^A U_i^κ = ∫_int. (N_α n_x T_β + t_β x_β) d^m = di^αB

      (SFA x SPB)

      Allo stesso modo :

      d_e = ∑_i p_j^β U_j^κ = ∫_int. (N_p n_x t_β+ T_e + t_O x_α) d^m = di^{B A}

      (SFB x SPA)

   2. Strutture con legame el.-lin tra az. interne def. possono risolvere esigenze int. un funzionale delle sole az. inter.

      ∫ di^no (  α  + T^β  B + T^β   G_A + n   m  )

      = ∫⁹ (  α  + B  T G_A + B  ) )

2. C.V.D

- teorema Betti- teorema corpopamento lavori mutui- teorema reciprocità

componente dello spostmento del proproita nella direzione dei carichi:

J_U del carico

Equilibrio stativo

• Equilibrio stabile
• Equilibrio instabile
• Equilibrio indifferente

Proprietà delle coppie di attrazioni di equilibrio.

Approccio proprio (molta attenzione)

1. k ≠ 0 no esercizio
2. k ≠ 0, approssimazione per piccoli angoli
3. k ≠ 0, non approssimazione.

Confronto e costruzione: pF, iV e stabilità.

Formule del punto di equilibrio

(m : m = 1: m)

Significato meccanico delle componenti cartesiane del TENSORE degli SFORZI:

Teorema di Cauchy nelle relazioni matriciali:

{σ_x} = [σ^T] {n}

tali matrici sono costituite da componenti riferite a sistemi di riferimento ben precisi.

Utilizzando però il tensore degli sforzi - che stabilisce una corrispondenza tra vettore di sforzo s_A e normale alla superficie nv in cui si risolve agisce - il th. di Cauchy assume forme variabili a partire dalla scelta del sistema di riferimento delle forme:

Generalmente gli sforzi normali sono indicati con la lettera σ (con un pedice che indica le normali alla superficie in quale lo sforzo agisce), mentre gli sforzi tangenziali sono indicati con la lettera τ (con 2 pedici, indicanti il primo le normali alla superficie nelle quale lo sforzo agisce e, il secondo, la direzione della componente)

[σ^T] = [σ_n τ_ng τ_nzτ_gn σ_g τ_gzτ_zn τ_zg σ_z]

N.B.

Un TENSORE è un ente matematico che prescinde dal particolare s.g.r. di rif. in uso;

le MATRICI delle COMPONENTI del TENSORE varia invece al variare del sist. di rif.

Un TENSORE le cui componenti NON CAMBIANO al variare del sist. di rif. si dice ISOTROPO.

# Sforzi isotropi e deviazione

lo sforzo agente in un generico punto è sempre scomponibile nella somma da un sforzo isotropo di P_t ed un secondo contributo è detto deviatorico.

S_t: preso uno isotropa = ¹⁄₃ tr (S)•1 = ¹⁄₃ (σ₁ + σ₂ + σ₃) • 1 = ¹⁄₃ (σ_t + σ_n + σ_l) = ^{- J₁ ⁄k J ⁄ 3}

σ_r,s = 0 Stato di sforzo isotropo (tipico dei fluviali ideali)

Il tensore nontro quanto lo sforzo nel punto esame è arsotta dalle condizioni di isotropia -

• σ₁₂ • σ₂₃ = σ₃₁ = σ₀ triforia σ_t,n + σ_z ➔ σ_n + σ_ph

5^(S)

[S]

=| 2σt,n - 6σn - σl ⁄2 γl,k γt,n1,sub> 2σt,n - 2σ1,n - 2γt,n - γ1,3 ⛭ γ2,1 γl,3 |

Coni come fatto per il torre del sforzi (5^r) li posa ferlo stesso per il deviano per scaro. Non befuse di dunque gli variant :

• J₁' = tr S' = ϕ^{i,vano,ante scialano}
• J₂' = JZ ^{12 ert S'2➔ _{ino ante quadracia,wo}} ➔ πSydney tagli cadavar postal geno via radionossa ai of J₁
• segua the inalia urna trigon
• qualimen J' = lr J² 1/3 JZ -
• J²_guides ^{torne el cug vartenivariate quotidinci} ➔ ^{ne fig they gnadez ➔ & aperfect ?}

#Sforzo ordino Piano

σ₁₃ = 0 el brobab.

= σ_rn1 (stima su fiano) e _{fiano > Your} ➔ σ_4,3 ≥☾ torn_1>^{Moto memere}σ₁₂ ⌷ ⋆ - J₃ = ̧radiate ^{u_spu> ms&mort}J netrices} = some ecno voipa= γ seco onora