Teoria - Scienze delle Costruzioni

MODELLO DI TRAVE DI EULERO BERNOULLI

γ(z) = 0

ψ(z) = θ(z)

Allora:

EQ. DI CONGRUENZA

ε(z) = u''(z)

γ(z) = v''(z)

condizioni al contorno

u(0) = u_A

u(ℓ) = u_B

ψ(0) = θ_A

ψ(ℓ) = θ_B

EQ. INDIE. EQUILIBRIO:

N'(z) + p(z) = 0

T'(z) + q(z) = 0

condizioni al contorno

R(0) = F_A

R(ℓ) = F_B

M(0) = M_A

R(ℓ) = M_B

EQ. DI LEGAME COSTITUTIVO:

ε(z) = N(z) / E A ≠ θ

χ(z) = M(z) / E I = χ_B

METODO DEGLI SPOSTAMENTI - SINGOLA TRAVE

sostegno il trasporto funivorso

SISTEMA DI TRAVI

Si scelgono le rigvante primnoriali e si oproiuono le eq. di equilibrio in funzione di esse.

Si otuuolko le equazioni ottierentiolo in fineone che č(z), ψ(z) e θ(z).

Ricavati gli aportaumienti ni mosode allo stoate dieeformotino e ocle. C.d.S. N(z),T(z),M(z).

PROBLEMA ASSIALE

Si considera une trave sogetta unsote xcunse e contenutni impise questi mcceusoneti teco

le linee d'rne deullya travi:

CONVENZIONI STATICHE

CONVENZIONI CINEMATICHE

EQUAZIONI PROBLEMA ASSIALE

le equazioni che goverlno ie problema orolre p̅(z)

ε(z) = u''(z)

EQ. CONGRUENZA - [ucaxon]

N'(z) + P(z) = 0

EQ. INDIE. EQUILIBRIO - [branka]

ε(z) = ε(z) / E A

EQ. LEGAME COSTITUTIVO - [methad]

1. Si sceglie come rigamata principale u(z):

N(z) = ε(z) . E A

1. Sutilhçs ε(z) = u''(z) :

N(z) = u(z) . E A

1. Sostitumo nell'eq. sitralica

(u''(z) . E A) + P(z) = 0

Allore:

E A u''(z) + P(z) = 0

EQ. DELLA TRAVE TESA

Problema flessionale

Si consideri una trave soggetta a forze esterne e cedimenti imposti, agenti unicamente perpendicolarmente

monti alle linee d'asse della trave, ovvero a coppie flettenti e rotazioni imposte alle

sezioni di estremità.

Convenzioni sghembe

[T_t M]

T_b

Equazioni P. Flessionale - Bernoulli

• x′(z) = - U′(z) Cinematica
• T' (z) + q(z) = 0 Statica
• M′ (z) - T(z) = 0

χ(z) = - M(z) / EI Materiale

Si sceglie come incognita principale lo spostamento trasversale v(z)

M(z) = χ(z) · EI

Si sostituisce χ(z) con - U′(z)

M(z) = - U′EI

T(z) = - EI U′′(z)

Si arriva M′(z) - T′ (z) = 0

Quindi

M′′(z) + q(z) = 0

Allora:

[- EI ⋅ U′′]² + q(z) = 0

EI ⋅ U′′(z) = q(z)

Eq. Trave inflessa

Equazioni problema flessionale - Timoshenko

• y(z) = φ(z) + U′(z) Cinematica
• y(z) = φ′(z)
• T′(z) + q(z) = 0 Statica
• M′ (z) - T(z) = 0

χ(z) = M(z) / EI Materiale

y(z) = T(z) / GA

Si scelgono come incognite principali: v(z) = φ(z)

M(z) = EI φ′(z)

T(z) = GA[ φ(z) + U′(z)]

Il taglio può essere scritto come:

T(z) = [EI φ′(z)]

o mettendo la deformazione da z:

EI φ′′ - q[GA + ( φ + U′)] = EI φ′(z)

Eq. Della linea elastica

IL PROBLEMA ELASTICO PER LA TRAVE

Dati: Si suppone di avere una trave in equilibrio sotto generiche azioni esterne attive e reactive; si conoscono le seguenti grandezze:

• Azioni Esterne: carichi distribuiti p(z), q(z) lungo l'asse (z ∈ [0, l]); forze e coppie attive applicate alle estremità (z = 0, z = l); variazioni termiche lungo l'asse; cedimenti vincolari.
• Geometria Della Trave: descritta omogenea da luce l e le caratteristiche geometriche delle sezioni: A e I.
• Materiale Costitutivo: definito precisando i parametri che governano le equazioni costitutive di legame costitutivo.

Incognite: Note le grandezze precedenti, si vogliono determinare le seguenti incognite che descrivono la risposta strutturale della trave alle azioni esterne:

• Incognite Cinematiche: Spostamenti w(z), v(z), rotazione ϕ(z) e misure di deformazione e(z), χ(z).
• Incognite Statiche: Caratteristiche della sollecitazione N(z), T(z), M(z).

Le incognite da determinare sono le sette funzioni:

• w(z), v(z), e(z), χ(z)
• N(z), T(z), M(z)

Formulazione Analitica

Ipotesi:

1. Gli spostamenti sono infinitesimi rispetto alle luci della trave, e le rotazioni sono a loro volta grandezze infinitesime.
2. Le equazioni di equilibrio e le indefiniti di equilibrio possono essere scritti facendo riferimento alle configurazioni indeformate della trave.
3. Il materiale costitutivo della trave è el risultato isotropos e caratterizzato da modulo di Young E costante lungo l'asse della trave.

Equazioni Risolventi

Sulla base delle ipotesi fatte, le incognite del problema devono soddisfare tre gruppi di equazioni che governano rispettivamente cinematica, statica e legame costitutivo.

1) Eq. di Congruenza:

• e(z) = w'(z)
• χ(z) = v'(z)

w(o) = wo w(l) = wl

v(o) = vo v(l) = vl

ϕ(o) = ϕo ϕ(l) = ϕl

2) Eq. Indef. di Equilibrio

• N'(z) + p(z) = o T'(z) + q(z) = o

N(o) = No N(l) = Nl

T(o) = To T(l) = Tl

M(o) = Mo M(l) = Ml

3) Eq. Legame Costitutivo

e(z) = NG_lom/EA + αΔT_m

χ(z) = M_loỿb + 2d_othLa soluzione unica ed e(z) unica

Se le incognite w(z), v(z), e(z), χ(z), N(z), T(z), M(z) soddisfano 3 gruppi di eq. (legame)

Problema elastico della trave

Eq. indefinita di equilibrio

• N(z) + dN(z)/dz
• M(z) + dM(z)/dz
• T(z) + dT(z)/dz

Eq. traslazione orizzontale

• -N(z) + p(z)dz + N(z) + dN(z)/dz dz = 0
• dN(z)/dz = -p(z)

Eq. traslazione verticale

• -T(z) + q(z)dz + T(z) + dT(z)/dz dz = 0
• dT(z)/dz = -q(z)

Equilibrio alla rotazione

infinitesimo di ordine superiore

• -M(z) - T(z)dz + C(z)dz + q(z)dz dz/2 + M(z) + dM(z)/dz dz = 0
• dM(z)/dz = T(z) - C(z)

Equazioni di congruenza

Def. assiale

• ε = (dζ₁ - dζ)/dζ = dw/dz

Teorema dei lavori virtuali

Enunciato: Assegnato un sistema corporeante, indipendentemente, un sistema equilibrato il lavoro virtuale esterno eguaglia il lavoro virtuale interno.

Le^v = Li^v

Questa uguaglianza è noto come "Equazione o Idenutà dei lavori virtuali”, perché vera identicamente per qualsiasi coppia di sistemi congruenti e sistemi equivalenti.

Dimostrazione:

Le^v = ∫₀^L R'(σ)u(σ) + M'(σ)v(σ) + R(L)u(L) + M(L)v(L) + ∫₀^L bu dz

Raccoglo

Le^v = [-∫₀^L[R'(σ)u(σ) + M'(σ)v(σ)]+[R(L)u(L) + M(L)v(L)]₀^L]+∫₀^L bu dz

Secondo Torricelli-Baronio

Le^v = ∫₀^L [d/dσ(Ru+Mv)]dz + ∫₀^L bu dz

Derivando il primo integrale, sommando la seconda integrale e mettendo in evidenza u

Le^v = ∫₀^L[(R'+b)u + Rv'+M'v+Mv']dz

Applicando le equazioni indefinile di equilibrio

Le^v = ∫₀^L Ru'-kKR(σ+Mv')dz = ∫₀^L[R(Mv'–kv^c) + M·σ^c]dz

Utilizzando le equazioni di congruenza

Le^v = ∫₀^L(Rp+Mv)σdz = Li^v