Teoria - Scienze delle Costruzioni

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Appunti di scienza delle costruzioni basati su appunti personali del publisher presi alle lezioni del prof. De Angelis, dell’università degli Studi La Sapienza - Uniroma1, della …

Esame Scienza delle costruzioni

Facoltà Ingegneria

Dal corso del Prof. De Angelis Maurizio

Università Università degli Studi di Roma La Sapienza

A.A. 2020-2021

71 pagine

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MODELLO DI TRAVE DI EULERO BERNOULLI

δ(z)=0 ϕ(z)= ϕ’(z)

^Allora:

EQ. DI CONGRUENZA: ε(z)=w’(z)
σ(z)= -ν’(z) ^{→ condizioni al contorno}
u(0)=u_A u(ℓ)=u_B
ϕ(0)= α_A ϕ(ℓ)= α_B
EQ. INDEF. EQUILIBRIO: N’(z) + ρ(z) = 0
T’(z) + ϕ(z) = 0 condizioni al contorno
M’(z) + ϕ(z) = 0
R(0)=F_A R(ℓ)=F_B
M(0)=M_A R(ℓ)=M_B
EQ. DI LEGAME COSTITUTIVO: ε(z)= ^N(z)/_EA + ε_t
χ(z)=^M(z)/_EI + χ_t

METODO DEGLI SPOSTAMENTI

-SINGOLA TRAVE: si sceglie il disegno di sostegno primario

- SISTEMA DI TRAVI

Si sceglie un legante primario e si opportuno le eq. d'equilibrio in funzione di 'one.Si ottengono le equazioni di flessione λ in funzione di w1(z), ν’(z) e ε2

Ricavare gli spostamenti di insieme allo stato deformativo e altre c.d.s. N(2), T(2), M(2)

PROBLEMA ASSIALE

Si considera una trave soggetto a forze esterne e concentramenti, imposti e questi tralciamento lungo la direzione di lineare della trave.

Convensioni statiche
Convensioni cinematiche

APPLICAZIONI PROBLEMA ASSIALE

Le equazioni che governano le problema annelare sono:

ε(z)=w’(z) ^{EQ. CONGRUENZA [assun]}
N’(z) + ρ(z)= 0 ^{EQ. INDEF. EQUILIBRIO [statico]}
ε(z)= ^N(z)/_EA ^{EQ. LEGAME COSTITUTIVO [materiale]}

Si sceglie come incognita principale w1(z):
N(z)= ε(z) EA
a) Sostituisco ε(z)= w’(z)
N(z)= w1(z) EA
b) Sostituisco nell'eq. statica:
(w1(2) EA)' + ρ(z)= 0
Allora: EA w1’’(z) + ρ(z) = 0 ^{EQ. DELLA TRAVE TESA}

MODELLO DI TRAVE DI EULERO BERNOULLI

δ(z)=0 ψ(z)=ψ'(z)

Allora:

ε(z)=w'(z) γ(z)=−ψ''(z)

Eq. di Congruenza: ε(z)=w'(z)

Eq. Indef. Equilibrio: N'(z)+p(z)=0

Eq. di Legame Costitutivo: ε(z)=_N(z)/^EA + εt

χ(z)=_M(z)/^EJ + χt

METODO DEGLI SPOSTAMENTI - SINGOLA TRAVE

Si sceglie un'iterazione primaria e si impostano le eq. di equilibrio in funzione di u. E si ottengono le equazioni di flesso torsione in funzione di w(z), ψ(z) e ε(z).

PROBLEMA ASSIALE

Si consideri una trave soggetta a forze esterne e carichi come indicato in figura, applicati nei punti in cui sono specificati i dati.

Equazioni Problema Assiale

Le equazioni che governano il problema assiale puro sono:

1. Si sceglie come incognita principale w(z):

N(z)=ε(z)·EA

2. Sostituisce nelle espressioni

3. Sostituire nell’equazione statica:

Allora: EA w''(z)+p(z)=0

Eq. della Trave Tesa

PROBLEMA FLESSIONALE

Si consideri una trave soggetta a forze esterne e cedimenti imposti; agenti unicamente perpendicolarmente

mezzo alla linea d'asse della trave, ovvero a coppie flettenti e rotazioni imposte le Sezioni di estremità.

CONVENZIONI GRAFICHE

Equazioni P. Flessionale - Bernoulli

X(H₂) = -U''(Z)

Cinematica

T'(z) + q(z) = 0
M(z) - T(z) = 0

Statica

χ(z) = M(z) / EI

Materiale

Si sceglie come incognita principale lo spostamento trasversale v(z).

M(z) = χ(z) • EI

Si ottiniene X(z) con -U''(z)

M(z) = -U''EI

T(z) = -EI U'''(z)

Si ottine

M''(z) - T'(z) = 0

Quindi:

M''(z) + q(z) = 0

Allora:

[-EI U'']'' + q(z) = 0

EI • U''''(z) = q(z)

EQ. TRAVE INFLESSA

Equazioni Problema Flessionale - Timoshenko

y(z) = φ (z) + χ'(z)

Cinematica

y'(z) = φ '(z)

Statica

T'(z) + φ(z) = 0
M'(z) - T(z) = 0

Materiale

X(z) = M(z) / EI
y(z) = T(z) / GA

Si scelgono come incognite principali

v(z) e φ(z)

M(z) = EI φ'(z)

T(z) = GA [ψ(z) + v'(z)]

Il taglio può emu scritto come:

T(z) = [EI φ'(z)]

O mettendo la dipendenza da z:

EI φ'' - q = GA + (ψ + v) = EI φ'(z)

EQ. DELLA LINEA ELASTICA

LEGAME COSTITUTIVO

Corpi aventi lo stesso geometria, ma differente natura rispondono con deformazioni differenti ad uno stesso sistema di forze.

Teoria delle relazioni costitutive

Relazioni che legano lo stato di deformazione a quello di tensione
Relazioni che restringono la classe delle deformazioni possibili

Legame 1: = (, ̇, t) non dipendente dal tempo

comportamento elastico: le deformazioni si annullano all'annullarsi dello stato tensinale
plastico: al cessare della sollecitazione, permane una deformazione residua

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