Riassunti Scienze delle Costruzioni

6 Cinematica della trave (Timoshenko ed Eulero-Bernoulli)

Trave rettilinea rappresentata nel piano.

Lo spostamento nel piano di questa trave sarà espresso dal vettore:

u(z) = (w(z), v(z), ψ(z))^T

dovew(z) = spostamento longitudinalev(z) = spostamento trasversaleψ(z) = rotazione.

Definiamo direttrice: vettore orientato asse della sezione. Ogni sezione ha il suo direttore (d) sono infinite.

Lo spostamento di una trave può essere espresso dal vettore:

y_z = ỹ_z + ŷ_z doveŷ_z = (w̃, ṽ, φ̃) spostamento rigido.

Ora definiamo lo spostamento:

• fase iniziale
• rotazione su P.

(Teoria di piccoli spostamenti)

Ora considero un camme di questa trave.

_z+Δz

Spostamenti

scrivo gli spostamenti di Q in funzione di P.

z(z+Δz) = w(z) w(z) = u₀

v(z+Δz) = v(z) + φΔ z v(z) = v₀

θ(z+Δz) = θ θ(z) = θ

lø(z+Δz) = ø ø(z) = x_a

Per definire gli spostamenti di una trave devo introdurre:

• vettore gradiente spostamento.

g_y = lim _Δz→0 y(z+Δz) - y(z) / Δz = dy/dz. ⇒ g_y = (w', v', ø')^T

• vettore gradiente di spostamento rigido.

g̃_y = lim _Δz→0 u(z+Δz) - u(z) / Δz ⇒ g̃_y = (0, φ, 0)^T

Tórú posso definire ε = g_y - g̃_y = du/dz - g̃_y

con ε(z) = (Σ, γ, k)^T vettore deformazione.

Equazioni di congruenza.

Trave di Timoshenko.

• Σ = w' deformazione estensionale
• γ = v' - φ
• K = ø'

Borma relare curvatura flessionale.

Trave di Eulero - Bernoulli.

Considerando travi nelle dove la lunghezza è la dimensione prevalente si considerara che γ = 0 quindi:

ø = v' → Ø dipende da v'

Borma relare

Teorema dei lavori virtuali

Per la risoluzione del problema elastico per travi iperstatiche, esistono due strategie di soluzione:

1. Metodo degli spostamenti
2. Metodo delle forze

Che possono essere risolti con diversi approcci:

• Diretto
• Variazionale
• Integrale (Basato sul teorema dei lavori virtuali) del metodo integrale

ΔL_E = ΔL_A + ΔL_V = 0attivi reattivi

Teorema lavori virtuali

Hp. 1 (lunghezza reale) deformazione $conguenzaΣ_i = ^i = 2, ...h_c.A = elementi in coniematica

Hp. 2 (equilibrio reale)E∗Σ_i = b_i, i = 1,... h_cB r + F_o = 0 operatore sufficiente a equilibrio

Ib.1 (Identità lavori virtuali)ΔL_E = ΔL_I.

Lavoro virtuale esterno

ΔL_E = ΔL_A + ΔL_I =Σ_hc b_i dz_i + q_o^T F_o + r_s r_s =Σ_i=1ⁿ[w_i, q_i, v_i, p_i q_o(z_i) dz_i+Σ_j=1^h F_j m_j + Σ_j=1 s_j r_j

Lavoro virtuale interno

ΔL_I = Σ_J=1ⁿ [E_i dalle sigma_i]dove

Le 6 costanti possono essere determinate:

m con le CC. geometriche, e 6-m con le CC. meccaniche.

Esempio:

m > n Ipotesi.

w''(z) = q(z) / EA z² = W_g(z) + C₁ z + C₂

v''(z) = ∫∫ dz⁴ = V_p(z) + C₃ z³ + C₄ z² + C₅ z + C₆

1. geometriche
2. meccaniche

Geometriche

w(0) = 0

v'(0) = ϕ_L = 0

Meccaniche

EI v''(0) = 0

EI v''''(L) = -F_yL = 0.

In ogni estremo vanno applicate 3 CC; se l'estremo è condiviso tra 2 travi allora 6 CC.

Nel caso della forma diretta, si useranno le Equazioni implicite di congruenza, con le opportune condizioni al contorno.

Esempio con un solido:

Ω ⊂ R³

∂Ω = ∂Ω_u ∪ ∂Ω_f

bontiera vincolata

bontiera libera (free)

Nel caso di forma inversa, per la risoluzione del problema userò le Equazioni di compatibilità cinematica o Equazione esplicite di congruenza.

∂²ε_ij / ∂x_k² + ∂²ε_ik / ∂x_j∂x_k = ∂²ε_ij / ∂x_i∂x_k + ∂²ε_ik / ∂x_j∂x_i

con i, j, k = 1, 2, 3.

8) Legame costitutivo (trave di E B e solido di Cauchy)

Con la prova di trazione monoassiale rileviamo al diagramma di riporta.

σ = F / A tensione nominale

= ramo elastico

= ramo plastico

ε _E e σ _E deformazione e tensione limite di proporzionalità elastica lineare

ε _γ e σ _γ deformazione e tensione limite di scorrimento.

ε _R e σ _R deformazione e tensione limite di resistenza massima

ε _u e σ _u deformazione e tensione ultima prima della rottura.

Sostanzialmente due tipi di grafici:

• Materiale duttile
• Materiale fragile

Non vi è comportamento simmetrico a pressione e trazione.

A noi interessa β in particolar tg β = E = modulo di Young.

σ / ε = E = σ - ε E => F = E ε A da N = E ε A Legge di Hooke

Avendo F _A sopra N alle Equazioni di legame elastico lineare

N = E A ε

nel caso di trave di

Euler-Bernoulli

γ = 0 quindi

{N = EA ε

{T = GA γ

{M = EJ κ

in forma vettoriale per (EB) diretta

N - EA ε

M - EJ κ

σ / ε = C

2 × 1 = 2 × 2

= 2 × 2

C = _EA |-_{E J}

dove _dΣ/ - / ho derivato

occorre il caso di flessione deviata formula bionomio.

Stabilità dell’equilibrio.

Stabile - Instabile - Indifferente

Stabilità dell’equilibrio.

Per il caso di trave/tasta di Eulero-Bernoulli:

Provo a descrivere il comportamento di E^II (metodo numerabile)

• EA u'''(0) = 0
• v'(0) = 0
• EJ u''(0) = 0
• EJ u''(l) = 0

L’equilibrio. N⁺ - N = M⁺ + T

Eq. verticale

T⁺ - T + dT - dj/dz = dj/dz + T + N/dv = 0

Eq. orizzontale

• dj/dz = 0
• dv = 0
• M⁺ - M = M⁺¹ + Tdz - Ndv = 0