Riassunti Scienze delle Costruzioni

Cinematica della trave (Timoshenko ed Eulero-Bernoulli)

Introduzione

Trave rettilinea rappresentata nel piano. Lo spostamento nel piano di questa trave verrà espresso dal vettore:

u(z) = [w(z), v(z), ψ(z)]^T

Dove:

• w(z) = spostamento longitudinale
• v(z) = spostamento trasversale
• ψ(z) = rotazione

Definirò il direttore come un vettore orientato con ogni sezione. Il spostamento di una trave può essere espresso dal vettore:

η_q = [ω_q, σ_q, φ_q] spostamento deformativo.

O_q = [v_q, τ_q, φ_q] spostamento rigido.

Definizione dello spostamento

Ora definisco lo spostamento:

1. Fase iniziale
2. Rotazione su P.

FGSRO = PQ = [X_Q = L, Y_Q = 0]

Considero un'area di questa trave.

w(z + Δz) + V_t(z) = V(z + Δz)

W(z + Δz) + W_t(z + Δz)

Pongo lo spostamento deformativo uguale a zero.

Kinematica della trave (Timoshenko ed Eulero-Bernoulli)

Trave rettilinea rappresentata nel piano. Lo spostamento nel piano di questa trave sarà espresso dal vettore:

u(z) = (w(z), v(z), ψ(z))^T

Dove:

• w(z) = spostamento longitudinale
• v(z) = spostamento trasversale
• ψ(z) = rotazione

Definiamo direttrice come un vettore orientato che congiunge sezioni. Ogni sezione ha il suo direttore.

Lo spostamento di una trave può essere espresso dal vettore:

y_s = {u_s, v_s, ψ_s} spostamento deformativo.

Spostamento rigido:

ʇ = {v̂, v̂, ϕ̂}

Ora descrivo lo spostamento:

1. Fase iniziale
2. Rotazione su P.

(Ipotesi di piccoli spostamenti)

FGSRμ_Q = u₀ - θX^Q₀ = u₀

v_Q = v₀ + θY_Q

Ora considero un convito di questa trave dove questi sono gli spostamenti del punto a lunghezza (z + Δz). Pongo lo spostamento deformativo uguale a zero.

Rivivo gli spostamenti di Q in funzione di P:

• W'(z + Δz) = W'(z)
• W(z) = u₀
• V'(z + Δz) = V'(z) + φ Δz
• V(z) = v₀
• Φ(z + Δz) = Φ(z)
• Φ(z) = θ Δz = χ

Riconduciandomi alla FGSR.

Definizione del vettore gradiente spostamento

Per definire gli spostamenti di una trave devo introdurre il vettore gradiente spostamento:

g_s := lim_{Δz → 0} (y_s(z + Δz) - y_s(z))/Δz = dy/dz ⇒ g_s = (w', v', φ')^T

Vettore gradiente di spostamento rigido:

g_s^~ := lim_{Δz → 0} (u(z + Δz) - u(z))/Δz ⇒ g_s^~ = (0, φ, 0)^T

L'unico "grosso" spostamento:

Così posso definire:

ϒ = g_s - g_s^~ = du/dz - g_s^~

Con:

ϒ(z) = (ϒ, γ, k)^T vettore deformazione.

Equazioni di congruenza

Trave di Timoshenko

• ϒ = w' deformazione estensionale
• γ = v' - φ
• k = φ' spostamento angolare, forma reale curvatura flessionale.

ϒ = D^3x3 u^3x1 ⇒ ( ϒ ) ( γ ) ( k ) = [ d/dz 0 1 0 ] ( w ) ( v ) ( φ )

Trave di Eulero-Bernoulli

Considerando travi nelle dimensioni prevalenti si considera γ = 0 quindi:

d = v'

Forma reale

ϒ = w' k = v'( ϒ ) ( k ) = [ d/dz² 0 ] ( w ) ( v )

Deformazione

Deformazione filmionle:

d_z² - d_z = (1 + E) d_z - d_z

Dove:

d_z^* = d_z + w (z + d_z) - w (z) := d_z + dw/dz d_z + w (z) - w (z) = (1 + E) d_z

Scorrimento angolare

Direttori:

d_irettori^* >= ( **-# L difetto di rotoncolotà d_{ei direttori di una sezione.}Curvutura flessionaledoze dv = # d#_dt v. _d# ¹ 1 K Non è adimensionale.EE > 0E < 0dd > 0d < 0KK >