Scienza delle finanze - appunti completi per l'esame

DILEMMA DEL PRIGIONIERO

Il gioco più famosa della teoria dei giochi è il

Dopo una rapina, A e b sono presi dalla polizia perché trovati con armi illegali in auto. E

vengono messi in prigioni separate. Sottoposti ad interrogatorio separato gli viene chiesto

se confessa o no e se accusa o no il suo compagno:

 Se entrambi confessano, entrambi si beccano 10 anni di prigione (-10 pay off

negativo).

 Se invece tutti e due tengono duro e non confessano: stanno in prigione 1 anno per

detenzione illegale di armi.

 Se invece a non confessa, e b confessa: uno si becca 20 anni e l’altro è libero,

 o viceversa. B

A Confesso Non confesso

Confesso -10, -10 0, -20

Non confesso -20, 0 -1, -1

Si può fare una previsione su cosa scegliere di fare un individuo, senza sapere cosa farà

l’altro individuo?

MI METTO NEI PANNI DI A:

Se A si aspetta che B non confessa, se b non confessa anche io (a) mi becco 1 anno

 di prigione per il proprio tornaconto personale scelgo “non confesso”.



Qualunque cosa mi aspetto dall’altro, io (A) mi becco sempre meno anni confessando,

 indipendentemente da quello che fa l’altro!

Dilemma del prigioniero, analisi dei beni pubblici, teoria dei giochi che è branca

autonoma delle scienze sociali che ha trovato negli anni ’70 ’80 e ’90 negli studi economici

grande spazio, si propone di studiare in modo formalizzato la natura dell’interazione

strategica tra individui in ambito economico ma anche sociale.

Tabella confesso/non confesso: nella sua forma più semplice, un gioco può essere

rappresentato dai giocatori, qui due A e B, dobbiamo specificare la mosse che hanno a

disposizione, due mosse che sono confesso e non confesso, in ciascuna cella della

matrice con righe e colonne ci sono le strategie in combinazione e in corrispondenza di

ciascuno ci sono i pay off cioè quello che ottiene ciascun giocatore con quella

combinazione di mosse, sono ricavi, profitti, utilità, qualunque cosa. Qui sono anni di

reclusione. I due sono fermati dalla polizia e trovano delle armi in macchina, c’è stata una

rapina e sono indiziati, li mette in due celle separate e devono confessare o no. È un gioco

a mosse simultanee, o dicono la stessa cosa o no comunque sono all’oscuro di cosa dice

l’avversario e devono scegliere la propria strategia. Diversi sono i giochi con mossa

sequenziale cioè ci si muove di conseguenza all’avversario, avendo osservato la sua

ultima mossa. I pay off hanno segno meno qui perché massimizzare il pay off sarebbe

ridurre gli anni di pena, se entrambi confessano si prendono 10 anni, se non confessano

solo 1, se uno confessa e l’altro no il primo non prende anni il secondo 20. Obiettivo

massimizzare il pay off e possono perseguirlo in modo coerente e razionale, entrambi

sanno che l’avversario è razionale. L’obiettivo è formulare previsioni dei comportamenti di

individui razionali sottoposti a questo gioco.

Nei panni di A cosa conviene fare se B sceglie confesso o non confesso? Calcoliamo la

risposta ottima di A in corrispondenza di ogni mossa di B. Se si aspetta che confessi gli

conviene confessare a sua volta perché ottiene 10 anni di pena, se A non confessa 20

anni; se si aspetta che B non confessa gli conviene confessare perché ottiene 0 anni, se

non confessa 1: A ha una strategia dominante, cioè qualunque cosa faccia B gli conviene

confessare, gli da sempre un risultato migliore di non confessare. Il gioco è simmetrico,

sulla diagonale principale (angolo in alto a sinistra angolo in basso a destra) in cui

entrambi fanno la stessa cosa, i pay off sono gli stessi, in quella secondaria sono

simmetrici (in alto a destra, in basso a sinistra). Anche a B conviene sempre confessare,

esiste una combinazione in cui la risposta ottima della scelta di un giocatore coincide con

quella ottima dell’altro? Si è confesso-confesso. L’esito del gioco è che ciascuno confessi,

10 anni di reclusione ciascuno, come esito disturba perché sarebbe meglio non

confessare e essere liberi dopo un anno di reclusione, abbiamo 4 esiti cioè 4 allocazioni in

corrispondenza delle 4 celle.

Nel senso di Pareto l’allocazione è efficiente quando almeno uno dei due migliora la

situazione senza che peggiori quella dell’altro: la prima non è efficiente perché la quarta

domina su questa perché fanno meno anni di galera entrambi, e non ce n’è un’altra in cui

uno sta meglio senza che l’altro stia peggio. Entrambi starebbero meglio nella strategia

con esito efficiente (non confesso per entrambi), ma alla fine scelgono entrambi

quell’allocazione che non è efficiente in senso di Pareto, per non confessare devo fidarmi

dell’altro ma non è certo anche se ci si è messi d’accordo prima, se io decido di

confessare e l’altro no mi becco 0 anni e l’altro 20.

Equilibrio di Nash: utilizzato nella teoria dei giochi, equilibrio a strategie dominanti, gioco

di competizione e non di collaborazione. Questo equilibrio è definito così: una

combinazione di strategie, in questo caso due, rappresenta un equilibrio di Nash quando

dato il profilo di strategie proposte, la strategia di equilibrio di A è la risposta ottima della

strategia di equilibrio di B e viceversa. Questa nozione fa riferimento alla compatibilità

della strategia di ciascun giocatore con quella dell’avversario. Qui se poniamo confesso

per entrambi siamo in equilibrio di Nash.

Individuiamo l’equilibrio qui: S

5 1 4 4

9 -1 0 0 P W P

L W

Se L si aspetta che S giochi P è meglio W, se si aspetta che giochi W è meglio P, per L

non c’è una strategia dominante, deve ragionare strategicamente. Se S si aspetta che L

giochi P deve scegliere W, se si aspetta W sceglie W, S ha una strategia dominante.

L’equilibrio di Nash è 4,4, Pl è la risposta ottima a Ws e Ws è la risposta ottima a Pl,

nessuno dei due ha incentivo a scegliere una cosa diversa, S non ha incentivo a muoversi

verso 5,1 e L non ha incentivo a muoversi verso 0,0. Anche questo gioco ha equilibrio di

Nash.

L sta per maiale large, S small, se vogliono mangiare devono schiacciare un bottone,

correre fino a là costa 2, P è press, ci sono 10kg di cose da mangiare, quello grande

riesce a mangiare 7kg quello piccolo 3, 5 è il pay off del grande, 1 quello del piccolo, se

non schiacciano ottengono 0. Se è il piccolo ha schiacciare, il grosso ottiene 9, il piccolo

-1, se è il grosso a schiacciare ottengono pay off 4 entrambi. L’equilibrio di Nash è

quest’ultimo, al grande non conviene aspettare, è l’unico che ha incentivo a sostenere il

costo, al piccolo non conviene schiacciare.

Carta forbice sasso: A

C F S

0 0 -1 1 1 -1

1 -1 0 0 -1 1

-1 1 1 -1 0 0

C

B F

S

Non c’è equilibrio di Nash, qualsiasi strategia dà incentivo a spostarsi in un’altra strategia,

non c’è una combinazione che incentiva a rimanere lì, non c’è equilibrio di Nash in

strategie pure in questo gioco, strategie pure significa che propongo quella strategia per A

e quella per B, una ed una sola strategia per ciascuno che segue sicuramente. Questo

gioco non ha equilibrio di Nash in strategie pure, ma tutti i giochi hanno equilibrio di Nash

in strategie miste, per ogni strategia c’è una certa probabilità che venga giocata, i giocatori

randomizzano, anche questo gioco ammette equilibrio di Nash in strategie miste.

Se gioco a caso ho il 33% di probabilità di giocare ciascuna delle strategie carta forbice

sasso. Se io mi aspetto che l’avversario giochi con probabilità 1/3 per tutte e 3 conviene

anche a me, anche all’avversario conviene se io gioco con probabilità 1/3 per tutti e 3 è

equilibrio di Nash, porteremo a casa 0,0. In un solo round c’è un vincitore ma alla lunga ci

sono pari vittorie e sconfitte.

M P

M 3 2 1 1

P 1 1 2 3 A

B

Questo è un gioco simmetrico, se A si aspetta che B giochi M sceglie M, se si aspetta che

giochi P conviene P, non c’è strategia dominante. Se B si aspetta M gioca M se si aspetta

P gioca P, no strategia dominante. L’equilibrio di Nash può essere unico in strategie pure,

o miste, non esistere, può essere molteplice.

Questi individui hanno interessi coordinati, ad allinearsi sulla stessa strategia, se si

allineano su M-M o P-P prendono di più che a scoordinarsi, le due 1,1 sono inefficienti, le

altre due sono efficienti, ma ciascuno dei due preferisce coordinarsi su una cosa diversa

(in MM conviene ad A, in PP conviene a B), non c’è interesse a fregare l’altro. Esistono 2

equilibri di Nash, anche se si sceglie in maniera altruistica, oltre che egoistica, si rischia di

finire su un’allocazione peggiore per entrambi e non efficiente.

Esiste anche equilibrio a strategie miste.

Questa storia è la battaglia di sessi, A è un ragazzo, B ragazza, M è andare al match di

baseball, P andare al teatro (play). Entrambi preferiscono fare cose insieme (MP e PM

sarebbero da soli). Abbiamo due equilibri di Nash, esistono equilibri a strategie miste in cui

ciascuno dei due gioca M o P con probabilità 50%, se entrambi si coordinano in questo

modo c’è il 25% di probabilità per ciascuna cella, una qualunque delle quattro celle, 50%

di probabilità di collocarsi su celle non efficienti (1,1).

La teoria dei giochi pone l’accento sulla razionalità dei giocatori, a volte l’analisi è molto

complessa, se prendiamo il dilemma del prigioniero lascia perplessi, entrambi scelgono di

confessare ma la scelta efficiente sarebbe non confessare. Può emergere la possibilità di

collaborare, se il gioco si ripete più volte potrebbero non confessare. Se si passa all’analisi

di giochi ripetuti diventa complicata perché se ragioniamo con razionalità dobbiamo

prevedere le mosse dell’avversario. In linea di principio gli scacchi ad es. sono un gioco

risolvibile. La teoria dei giochi funziona bene quando prendiamo soggetti non razionali, con

semplice algoritmo di azione reazione, programmata come può accadere tra specie

nell’evoluzione, quelli vincenti giocano nell’equilibrio di Nash. Emerge da individui pensanti

che agiscono senza pensare sia nell’ambito della teoria evolutiva.

Beni pubblici: analizziamo 4 categorie di beni diversi da quelli privati, i primi sono quelli

puri non rivali dal consumo e non escludibili da questi. La teoria economica dice che se

affidiamo l’allocazione di questi beni al mercato cioè all’iniziativa privata (mercato che

funziona bene), fallisce