Scienza delle Costruzioni - Torsione

CASO N^o 3

TORSIONE

TORSIONE

Nella torsione, e' applicato cosa?

Nella base _x3 = l sono nulle tutte le caratt. del

la sollecitazione tranne il momento torcente.

Concl: → ^N = ^M₁ = ^M₂ = ^T₁ = ^T₂ = 0

^M₃ ≠ 0

Poiche' il momento torcente e' costante, questa

sara' la situazione in ogni sezione della trave.

Es

^{M₃ M₃}

E poiche' ^M₃ = ^{∫_A(f₂x₁-f₁x₂)dA} →

⇒ ^f₁ ≠ 0 ] ma t.c ^T₁ = ^T₂ = 0

    ^f₂ ≠ 0

    ^f₃ = 0 in ogni punto e' per ogni sezione.

Il nostro compito e' dunque trovare:

^f₁ = ^σ₃₁ e ^f₂ = ^σ₃₂.

LI AD S₁ LINEA MEDIA TRA S₁ ED S₂.

PER CONVENZIONE IL FLUSSO ENTRANTE È NEGATIVO.

SO CHE:

∫_S Z_z dS = 0

QUANTO VALE?

FLUSSO USCENTE - FLUSSO ENTRANTE → LA QUANTITÀ ENTRANTE È PARI A QUELLA USCENTE

GLI ALTRI CONTRIBUTI SONO NULLI PERCHÈ Z_z È TANGENTE ALLE LINEE DI FLUSSO

PER IL TEOREMA DELLA MEDIA:

• -∴ Z_z t₁ + ∴ Z_z t₂ = 0

VALOR MEDIO DI Z_z LUNGO t₁ E t₂ DELLA COMPONENTE DI Z_z LUNGO s

OVVERO: ∴ Z_z t₁ - ∴ Z_z t₂

• SUPPONENDO CHE LO SPESSORE TRA S₁ E S₂ SIA MOLTO PICCOLO, TANTO CHE Z_z ABBIA DIREZIONE COSTANTE LUNGO LA TANGENTE DI s È

QUINDI K₁ = 0

σ₃₁ = Kx_c2

Dunque: dM_z = Kx_c2 · 4a₁x_c2 · dx_c2

M_z = ∫ dM_zx2

Mz = a2∫0 4Ka1xc22 dxc2 = 4Ka1 xc23/₃ |a2/2

= ^4Ka₁a₂3/₃ - ^Ka₁a₂3/₆

K = ^M_z6/₂₁a₂³

σ₃₁ = - ^6M_zx_c2/₂₁a₂³

Il segno negativo mi dice che scorre diversamente da come supposto.

τ_z = +σ₃₁ = ^6M_zx_c2/₂₁a₂³

CONCL: Le tensioni tangenzi sono // ai lati lunghi e variano linearmente con x_c2.

K_z = M_z / 4A_s²G ∮ ds/dt

Dove l'integrale è semplice solitamente.

Ora:

• N) pz: N / EA — Rigid Assiale
• M) K_xc . M_xc/EJ — Rigid Flessione
• M_z) 1/5t = 1 / 4A_s² ∮ ds/dt
• K_z = M_z / G5t — Rigid Torsionale

2) Sez. Aperta:

Per la sezione aperta, si ricorre alle formule ottenute per la sez. composta da più rettangoli.

St = ∑₁ⁿ a_it_i³ = 4 a t³ / 3

Concl: (St_ch / St_ap = 3/4 ( a / t )² >> 1)

Calcoliamo ora Zz_max.

1) Sez. Aperta:

Zz_max = Mz · t / 3t

2) Sez. Chiusa:

Zz_max = Mz / 2 As t

(Zz_{max ap} / Zz_{max ch} = 3/2 a / t >> 1)

Concl:

• La sez. tubulare a sezione chiusa ha migliore comportamento rispetto alla trave a sez. aperta.
• Inoltre è molto meno deformabile.
• Le linee di flusso hanno questo andamento: