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CASO No 3
TORSIONE
TORSIONE
Nella torsione, e' applicato cosa?
Nella base x3 = l sono nulle tutte le caratt. del
la sollecitazione tranne il momento torcente.
Concl: → N = M1 = M2 = T1 = T2 = 0
M3 ≠ 0
Poiche' il momento torcente e' costante, questa
sara' la situazione in ogni sezione della trave.
Es
M3 M3
E poiche' M3 = ∫A(f2x1-f1x2)dA →
⇒ f1 ≠ 0 ] ma t.c T1 = T2 = 0
f2 ≠ 0
f3 = 0 in ogni punto e' per ogni sezione.
Il nostro compito e' dunque trovare:
f1 = σ31 e f2 = σ32.
LI AD S1 LINEA MEDIA TRA S1 ED S2.
PER CONVENZIONE IL FLUSSO ENTRANTE È NEGATIVO.
SO CHE:
∫S Zz dS = 0
QUANTO VALE?
FLUSSO USCENTE - FLUSSO ENTRANTE → LA QUANTITÀ ENTRANTE È PARI A QUELLA USCENTE
GLI ALTRI CONTRIBUTI SONO NULLI PERCHÈ Zz È TANGENTE ALLE LINEE DI FLUSSO
PER IL TEOREMA DELLA MEDIA:
- -∴ Zz t1 + ∴ Zz t2 = 0
VALOR MEDIO DI Zz LUNGO t1 E t2 DELLA COMPONENTE DI Zz LUNGO s
OVVERO: ∴ Zz t1 - ∴ Zz t2
- SUPPONENDO CHE LO SPESSORE TRA S1 E S2 SIA MOLTO PICCOLO, TANTO CHE Zz ABBIA DIREZIONE COSTANTE LUNGO LA TANGENTE DI s È
QUINDI K1 = 0
σ31 = Kxc2
Dunque: dMz = Kxc2 · 4a1xc2 · dxc2
Mz = ∫ dMzx2
Mz = a2∫0 4Ka1xc22 dxc2 = 4Ka1 xc23/₃ |a2/2
= 4Ka1a23/₃ - Ka1a23/₆
K = Mz6/₂₁a23
σ31 = - 6Mzxc2/₂₁a23
Il segno negativo mi dice che scorre diversamente da come supposto.
τz = +σ31 = 6Mzxc2/₂₁a23
CONCL: Le tensioni tangenzi sono // ai lati lunghi e variano linearmente con xc2.
Kz = Mz / 4As2G ∮ ds/dt
Dove l'integrale è semplice solitamente.
Ora:
- N) pz: N / EA — Rigid Assiale
- M) Kxc . Mxc/EJ — Rigid Flessione
- Mz) 1/5t = 1 / 4As2 ∮ ds/dt
- Kz = Mz / G5t — Rigid Torsionale
2) Sez. Aperta:
Per la sezione aperta, si ricorre alle formule ottenute per la sez. composta da più rettangoli.
St = ∑1n aiti3 = 4 a t3 / 3
Concl: (Stch / Stap = 3/4 ( a / t )2 >> 1)
Calcoliamo ora Zzmax.
1) Sez. Aperta:
Zzmax = Mz · t / 3t
2) Sez. Chiusa:
Zzmax = Mz / 2 As t
(Zzmax ap / Zzmax ch = 3/2 a / t >> 1)
Concl:
- La sez. tubulare a sezione chiusa ha migliore comportamento rispetto alla trave a sez. aperta.
- Inoltre è molto meno deformabile.
- Le linee di flusso hanno questo andamento: