Scienza delle Costruzioni - Torsione

Torsione

Nella torsione, cosa viene applicato?

Nella base _x3=l sono nulle tutte le caratteristiche della sollecitazione tranne il momento torcente. Conclusione: _{N̂ = M̂ 1 = M̂ 2 = T̂ 1 = T̂ 2 = 0} e _{M̂ 3 ≠ 0}.

Poiché il momento torcente è costante, questa sarà la situazione in ogni sezione della trave.

Poiché _{M̂ 3 = ∫A (x̂1 ⋅ x̂2) dA =⇒ 1̂ ≠ 0}, _{2̂ ≠ 0}, _{3̂ = 0} in ogni punto è per ogni sezione.

Il nostro compito è dunque trovare: _{1̂ = 0 31} e _{2̂ = 0 32}.

Stato di tensione

Trovare σ_ij non sarà semplice. Esso assume la forma:

σ_ij = | 0 0 σ₁₃ || 0 0 σ₂₃ || σ₃₁ σ₃₂ 0 | dove σ_ij = σ_ji. Il nostro problema è dunque trovare σ₃₁ e σ₃₂. Di loro sappiamo che saranno gli stessi per ogni sezione, ma varieranno in ogni punto della sezione. Come?

Ho saltato tutti gli argomenti fino ad arrivare alla teoria di Bredt.

Teoria di Bredt

(Per sezioni chiuse in parete sottile)

Dobbiamo trovare σ₃₁ e σ₃₂, che sono le componenti del vettore tens tangenziale: τ = σ₃₁i + σ₃₂j.

Questa teoria, applicabile solo a pareti sottili, ha lo scopo di determinare τ_z con semplici calcoli.

Prendiamo le equazioni indefinite di equilibrio: σ_ij,j,t = 0 in V.

Per j = 3 => σ_13,1 + σ_23,2 = 0 in V.

Questo significa che: div τ_z = 0.

Infatti div v = dv_x/dx + dv_y/dy + dv_z/dz.

Se = Linea chiusa contenuta nella sezione A = Area racchiusa da Dal Teorema della Divergenza (o di Gauss) ∫ div d = ∮ (·n) d = Conclusione: Il flusso di è nullo attraverso qualunque linea chiusa.

Considerazioni

Consideriamo due linee di flusso ₁ e ₂ di e applichiamo il risultato ottenuto alla linea ABCD. È una linea chiusa anche quella, no? Come si vede = t₁ e = t₂ sono ortogonali.

Linea media tra S₁ ed S₂. Per convenzione, il flusso entrante è negativo.

So che: ∮ I_z dS = 0.

S quanto vale? ∫_A^B I_z dt + ∫_C^D I_z dt = 0.

Flusso uscente - flusso entrante → La quantità entrante è pari a quella uscente. Gli altri contributi sono nulli perché I_z è tangente alle linee di flusso.

Teorema della media

- T_zz_t1 + T_zz_t2 = 0.

Valore medio di I_z lungo t₁ e t₂ della componente di I_z lungo S. Ovvero: T_zz_tA - T̅_zz_t2.

Supponendo che lo spessore tra S₁ e S₂ sia molto piccolo, tanto che I_z abbia dia e z costante lungo la tangente di S, è che il suo valore locale sia molto vicino al suo valore medio lungo t: I_z ≈ I_z ⟹ (I_z t = COST).

Lungo il canale: T_O di flusso tra S₁ e S₂ ↑ I_z¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯↓↑ ↓↓↓ t t

Calcolare M_z(s)

M_z(s) - Quota di momento torcente riferita al canale.

Per calcolare M_z(s) prendo un polo arbitrario O. M_z(s) = ∫ lzt h ds + lzt ∫ h ds - lzt 2 As dove As è l'area racchiusa da s.

Ottengo la formula di Bredt:

I_z = M_z(s) / 2As t.

Sezioni

Ora M_z(s) è noto solo per sezioni tubulari a parete sottile. Parete sottile significa che t_max² << As.

In queste sezioni il contorno esterno e interno sono linee di flusso per Iz e M_z(s) coincide con Mz.

Teoria di Bredt per la "Sezione rettangolare allungata"

La teoria di Bredt viene applicata anche ad una sezione che non rientrerebbe nelle sezioni chiuse in parete sottile: la sezione rettangolare molto allungata.

Per applicare la formula di Bredt, basta fare 2 ipotesi:

• Si può trascurare il contributo delle zone adiacenti ai lati più corti.
• Le linee di flusso di Tz sono parallele ai lati più lunghi del rettangolo tranne le zone adiacenti ai lati più lunghi.

Formula di Bredt

La formula di Bredt dice che: τ_z = M_z / 2A_s.

Ebbene, se:

x₂ = posizione canale di flusso (da s), d x₂ = spessore τ_z = σ₃₁.

dM_z = contributo al momento torcente fornito dal canale di flusso generico dM_z = -σ₃₁ρ A_s d x₂.

A_s = a₁ 2 x₂.

Posso esprimere diversamente σ₃₁? Per Beltrami, nella torsione, ∇²φ+hκ = 0.

Noi abbiamo solo σ₃₁, che dipende solo da x₁ e x₂. ⇒ σ_31,11 + σ_31,22 = 0.

Però, in questo particolare caso: σ₃₁ = σ₃₁(x₂).

Dunque: σ_31,22 = 0 ⇒ σ₃₁ = -kx₂ + k₁.

Quanto valgono k e k₁? So che T₁ = ∫(ˆa dA = 0) ⇒ ∫ σ₃₁ a₁ d x₂ = ∫(-kx₂ + k₁) a₁ d x₂ = 0.

Momento statico. Quindi _K1 = 0.

Dunque: dM_z = Kc2 · 4 a1x_c2 · dx_c2.

M_z = ∫ dM_z.

M_z = ∫₀^a₂/2 4 Ka₁ x_c2² dx_c2 = 4 Ka₁ x_c2³/3 |₀^a₂/2 = 4 Ka₁ a³/3 · a₂³/8 - Ka₁ a₂³/6.

K = M_z 6/2l₂d₂³.

σ₃₁ = -6 M_z x_c2/2l₂d₂³. Il segno negativo mi dice che scorre diversamente da come supposto.

Conclusione

τ_z = + σ₃₁ = -6 M_z x_c2/_2l2d2³.

Le tensioni tangenziali sono // ai lati lunghi e variano linearmente con x_c2.

Massima tensione tangenziale

σ₃₁ max? σ₃₁ max = σ₃₁ (^a₂⁄₂) = - ³⁄₂ ^M_z⁄_a2^a₂²⁄₂ = - ^{3 M_z}⁄_a1a2².

Chiamiamo J_t = ^a₁a₂³⁄₃→ σ₃₁ max = - ^{M_z a₂}⁄_3Jt.

σ3t max = Mz a_z / Jt.

Note

A Jt posso dare un'espressione ancora più generale: OVVERO σ3t |max = 1 / α Mz a_z / Jt.

Dipende dalle misure del rettangolo, anzi, più precisamente, dal suo rapporto di allungamento. Ora Jt = Jo → Mom. d'inerzia polare q → Fattore di torsione ≷ 1.

Per sezioni circolari q ~ 1 → q = f(forma). Per le altre q ≷ 1 q ≠ f(dimensioni).

Deformazione

Non troveremo mai e_ij, perché questa è una teoria approssimata e la congruenza non è più garantita. Però possiamo trovare la curvatura di deformazione torsionale, k_z. È la rotazione relativa di due sezioni poste a distanza unitaria.

Es. k_z = φ_z + dφ_z - φ_z / dz = dφ_z / dz.

La teoria di Bredt ci consente di calcolare questo k_z.

Per Clapeyron, il lavoro di deformazione di un corpo, infinitesimo dz di trave vale: dL_z = 1/2 Mz dφ_z = 1/2 Mz k_z dz.

Troviamo dL_D con la densità di energia di deformazione:

dL_D . dz ∫_A φ dA = dz * ∫_A 1/2 σ_ij ε_ij dA* dZ. È INFINITESIMO E NON SI FA L'INTEGRALE RISPETTO AD UN INFINITESIMO.

ORA, O_ij e_ij = 2O₃₁E₃₁ + 2O₃₂E₃₂ = O₃₁O₃₁ + O₃₂O₃₂ = O₃₁² + O₃₂² - QUINDI: dLOL = dZ ∫_A^S 1/2 tZ² G dA = dZ ∫_S 1/2 tZ² G tds = = dZ/2G ∫ tZ² t ds.

DIVIDO E MOLTIPLICO PER t —> dLOL= ∫_O dZ/2G t² tZ² ds = —> dLOL = ∫_O dZ/2G tZ² t² 1/t ds.

CONGI: dLOL = dZ/2G t² tZ² ∫ ds/t = 1/2 MzKzdZ.

Dove tZ = Mz/2Ast ; tZ² = Mz²/4Ast² ;—> dZ t² Mz²/ZG 4As² t² ∫ ds/dt = 1/2 MzKzdZ K_z = M_z / 4 A s² G ∮ ds / dt Dove l'integrale è semplice solitamente.

Rigidezza

Ora: N) ρ z - N / EA → Rigidezza assiale M) K_xc - M_xc / E3 → Rigidezza flessione M_z) 1/S_t = 1/4 A s² ∮ ds / dt K_z = M_z / G5t → Rigidezza torsionale.

Sezioni particolari

Sezioni aperte in parete sottile composte da rettangoli. Molte sezioni sono ottenute mediante composizione di rettangoli. Es. Conoscendo quale parte di momento torcente Mzi compete a ciascun rettangolo, posso applicare a ciascun rettangolo il risultato della sezione rettangolare allungata. Ma io non la conosco, di solito.

Facciamo allora un'ipotesi: “la sezione mantiene la sua forma, cioè ruota rigidamente nel suo piano. E quindi ogni rettangolo ruoterà dello stesso angolo di cui ruota l'intera sezione.”

K_z = K_z1 = K_z2 = ... = K_zn Dove K_zi = _Mzi⁄_GSti, M_z = _Mz1⁄_3t = _Mz2⁄_3t2 ... K_z = _Mz⁄_3tG.

Dunque: M_z = ∑_i=1^N M_zi / ∑_i=1^N St_i. Perciò: St = ∑_i=1^N St_i.

Dunque posso calcolare St purché conosco St_i: St = ∑_i=1^N 1/3 ai b_i³ ⇒ M_zi. Conclusione: I_{zi MAX} = M_zi·b_i = M_z·b_i I_{Z ASS MAX} = M_z·b_max.

Sezioni chiuse e aperte

Ho 2 sezioni. La prima è chiusa e la seconda è aperta. Entrambe sono composte da 4 rettangoli uguali, perciò esse hanno la stessa area. Calcolo per ciascuna St.

1. Sezione chiusa: Per la sezione chiusa applico ciò che ho trovato per la sezione generica. 1/St = 1/_{4 As²} ∮ ds/t St = 4 As² / ∫_s ds/t Dove As = a² e ∫_s ds/t = 4a St = 4 a² / 4²/t = a³t
2. Sezione aperta: Per la sezione aperta, si ricorre alle formule ottenute per la sezione composta da più rettangoli. St = Σ_i=1ⁿ 1/3 a_i t_i³ = 4/3 at³

Conclusione: [St_ch / St_ap = 3/4 (a/t)² >> 1]

Calcoliamo ora Zz_max

1. Sezione aperta: [Zz_max = M_zt / 3t]
2. Sezione chiusa: [Zz_max = M_z / 2Ast] [Zz_{max ap} / Zz_{max ch} = 3/2 (a/t) >> 1]

Conclusione: La sezione tubulare a sezione chiusa ha miglior comportamento rispetto alla trave a sezione aperta. Inoltre, è molto meno deformabile.

Le linee di flusso hanno questo andamento:

Es M₂ M_Z iztdM_Z