Scienza delle costruzioni: analisi delle lezioni

Scienza delle Costruzioni

Componenti dello spostamento

- Prendiamo un punto P e all’interno dell’elemento si P₀, per effetto

della deformazione si porterà in P' con un moto rigido

di sottotraslazione.

• Coordinate di P' rispetto al reatto xyz: (x', y', z')
• Coordinate di P₀, moto rigido: (x₁, y₁, z₁)
• Vettore spostamento da P a P' → ΔP = (u, v, w)
• Vettore spostamento da P₀ a P₀' → ΔP₀ = (u₀, v₀, w₀)

- Si vede che P₀P₀' = P₀P₀ + ΔP cioé

e P₀P₀' = P₀P' - P₀P₀ cioé

• x₁ = x + (u - u₀),
• y₁ = y + (v - v₀),
• z₁ = z + (w - w₀)

dove   (u - u₀)     sono le componenti del

  (v - v₀)     vettore spostamento relativo

  (w - w₀)     fra i punti P e P₀.

Ora essendo le componenti del vettore spostamento funzioni

uniformi e di classe C¹, è possibile sviluppare queste

in serie di Taylor intorno a P₀, fermando al primo ordine:

• u(x, y, z) = (∂u/∂x)x + (∂u/∂y)y + (∂u/∂z)z,
• v(x, y, z) = (∂v/∂x)x + (∂v/∂y)y + (∂v/∂z)z,
• w(x, y, z) = (∂w/∂x)x + (∂w/∂y)y + (∂w/∂z)z

dovendo calcolare all’origine.

Sostituendo nelle (3) (coordinate di P' del nuovo sys w v z)

_1bis

x₁ = (1 + ^∂u/_∂x)x + ( ^∂u/_∂y)y + ( ^∂u/_∂z)z [Legge di conservazione]

y₁ = ( ^∂v/_∂x)x + (1 + ^∂v/_∂y)y + ( ^∂v/_∂z)z [rotazione ortotropia]

z₁ = ( ^∂w/_∂x)x + ( ^∂w/_∂y)y + (1 + ^∂w/_∂z)z [ipotesi coord P-P' = passano idea con def.e nulla riferimento]

Queste relazioni può essere scritte come:

p = [x, y, z]^T p' = [x₁, y₁, z₁]^T scriverò:

p' = Cp dove C = I + gradi Sdescrive delle componenti u, v, w rispetto normale x₁, y₁, z₁

quando: C = [1 0 0]        [0 1 0]        [0 0 1]+ [ ^∂u/_∂x ^∂u/_∂y ^∂u/_∂z]    [ ^∂v/_∂x ^∂v/_∂y ^∂v/_∂z]     [ ^∂w/_∂x ^∂w/_∂y ^∂w/_∂z]

Per esempio, una sfera che non ha punti impropri si trasformain un’ellissoide.

Tra le tre trasformate sopra una sfera, solo uno si mantiene tale dopo ladeformazione, ed è proprio la Terra dell’ellissoide.- Gli assi di tale Terra individuano due piani su cui presauna qualsiasi coppia di rette formanti un certo angolo, nonsi produrranno scorrimenti, cosicché dopo la deformazione l’angolorimarrà quello di partenza.

Tali essi sono detti direzioni principali di deformazione.

Dunque il generico spostamento piú essere visto come la somma di una traslazione rigida e di una deformazione pura.

La scienza delle costruzioni si occupa soltanto della deformazione pura.

u_x^t = E_x + 1/2 γ_xy · y + 1/2 γ_xz · z

u_y^t = E_y + 1/2 γ_xy · x + 1/2 γ_yz · z

u_z^t = E_z + 1/2 γ_xz · x + 1/2 γ_yz · y + E_z · z

Esempio

- Teste, aste e si deforma → fissa sopra asse x

- Considerare solo la deformazione pura

deformare da momento flettente.

ANALISI DELLA TENSIONE

• le forze cui può essere sottoposto un corpo sono distintamente:
  1. ESTERNE → masse e superfici (reattive e di contatto)
  2. INTERNE
• Forze esterne → sia dato un corpo di volume V

L'interno elementare di un punto P del corpo. ΔV risultante delle forze agenti su ΔV per l'effetto del campo esterno, gravitandi. La forza di massa → lim _ΔV→0 ΔF/ΔV

La forza f ha comporant (x,y,z)

• Sia dato un corpo S

• S, sono ΔS infima superficiale, si in un P ∈ S e ΔF risultante forze agenti su P per effetto da vincoli (superficiali) e per effetto di contatto con altri corpi → Forze superficiali → lim _ΔS→0 ΔF/ΔS = ρ

Il vettore ρ ha componenti (p1, p2, p3)

Equilibrio delle forze → Condizione necessaria e sufficiente

• rigido sta in equilibrio è che la risultante R e il momento risultante M_O del sistema di forze agenti siano nulle
• Per l'equilibrio dei corpi deformabili è necessario imporre
• R e M_O del sistema di forze interne siano nulle;

FORZE INTERNE → TENSIONI

Sia dato un corpo continuo ed elastico soggi atto sistema esterno {F₁} equilibrio del corpo somma F₁ + F₂ = 0.

Se un punto interno al corpo, una frazione in taglio

• Si considera una sup S conferimento n₁,
• La super ci appartiene e P e ortogonale sul punto lato normale
• Tenuta posizione inserito limite lato dS

• Considerando solo la parte {*} effetti di

• Im equilibrio, deve esser soggetto oltre alle F, oltre alle forze esercitate volta delle superficie → equivalente alle {F₂},
• regione scelte forze interne →

Se ΔS valutando su Più forze interne rapporto sua superficie, ΔF su ΔS definito:

lim _ΔS→0 ΔF/ΔS = t_n →

Imponendo l'equilibrio alle tensioni si ottiene la

proprietà di simmetria delle tensioni tangenziali:

• σ_xy = σ_yx
• σ_yz = σ_zy
• σ_zx = σ_xz

Infatti ∫_V(t_xt - t_xl)dV = 0 ⇒ σ_xy = σ_yx

(Diagramma di convergenza alle origini)

• ESPRESSIONE DELLE COMPONENTI TENSORIALI
• COMPONENTI SPECIALI

• ι, ζ = componenti specif. ⇒ Definiscono lo stato tensionale nel punto.
• Se le conosciamo, attraverso le relazioni di Cauchy,
• otteniamo le componenti cartesiane della tensione
• su qualsiasi elemento piano come funzioni lineari ed
• omogenee. Se le osservi proprio su delle componenti
• speciali.
• Relazione comp. speciali e cartesiane:

• t_nx = σ_xx dx + σ_xy dy + σ_xz dz
• t_ny = σ_yx dx + σ_yy dy + σ_yz dz
• t_nz = σ_zx dx + σ_zy dy + σ_zz dz

• In forma matriciale ⇒ t = τᴺ