05 Scienza delle Costruzioni - Taglio e torsione

5 SCIENZA DELLE COSTRUZIONI

TAGLIO E TORSIONE....................................................................................................................... 2

FUNZIONI DELLE TENSIONI – FORMULA DI JOURAWSKY ................................................... 4

SEMPLIFICAZIONE DELLA FORMULA DI JOURAWSKY ....................................................... 10

Esercizio (Sezione rettangolare sottile).......................................................................................... 11

Esercizio (Sezione a T) .................................................................................................................. 13

Esercizio (Sezione a C) .................................................................................................................. 18

CENTRO DI TAGLIO....................................................................................................................... 19

Esercizio (Sezione a C – Calcolo del centro di taglio) .................................................................. 22

UTILITÀ DEL CENTRO DI TAGLIO ............................................................................................. 26

TORSIONE ........................................................................................................................................ 27

SEZIONI CIRCOLARE PIENA .................................................................................................... 28

SEZIONE CIRCOLARE CAVA ................................................................................................... 29

SEZIONE SOTTILE APERTA ..................................................................................................... 30

SEZIONE SOTTILE CHIUSA (FORMULA DI BREDT) ........................................................... 32

CONFRONTO TRA SEZIONI SOTTILI APERTE E CHIUSE................................................... 35

CONCLUSIONI................................................................................................................................. 36

1/36

5 SCIENZA DELLE COSTRUZIONI

TAGLIO E TORSIONE

Nel problema di taglio e torsione sono presenti solo forze aventi direzione

appartenente al piano della sezione del cilindro (analogamente al caso della

presso-flessione in cui le forze avevano invece direzione assiale al cilindro).

In particolare chiamiamo Q la generica forza avente direzione appartenen-

i

te al piano della sezione (si tratta quindi di forze di taglio) e con C il suo

i

punto di applicazione.

Il sistema di forze costituito dalle Q può essere espresso in maniera

i

equivalente (per il principio di Saint-Venant) attraverso la forza equivalente

applicata nel punto .

Q C

eq eq

Cerchiamo di capire qual è la forza equivalente e il suo punto di

Q

eq

applicazione .

C

eq

T

La risultante di tutte le forze di taglio applicate alla sezione, è calcola-

L

bile come la somma di tutte le forze di taglio .

Q

i

N.B. Nel caso della presso-flessione, le forze hanno tutte direzione assiale, pertanto per

calcolare la forza equivalente é sufficiente farne la somma algebrica. Nel caso di taglio e

Q

torsione, le forze sono effettivamente dei vettori (hanno direzione appartenente al

i

piano della sezione), pertanto dovremo farne la somma vettoriale.

= =

T Q ovvero T Q

L i L eq

i

Il risultato di tale somma sarà un vettore appartenente ancora al piano della sezione.

, scelto un generico polo sul piano della sezione, è calcolabile come segue:

Il momento torcente M t L = ×

= × ovvero M r Q

M r Q t L Ceq eq

t L i i

i

Il risultato del prodotto vettoriale sarà un vettore di direzione assiale al cilindro r Q

(i vettori e in-

Ceq eq

fatti appartengono al piano della sezione: il loro prodotto vettoriale darà come risultato un vettore normale ad entrambi).

×

Per evitare di svolgere ogni volta il prodotto vettoriale , sviluppiamolo una volta per tutte:

r Q

(da utilizzare come scorciatoia per i calcoli) = +

× = + × + ( )

r xe ye

r Q xe ye Q e Q e

( ) ( ) essendo 1 2

1 2 1 1 2 2 = +

Q Q e Q e

( )

1 1 2 2

Sviluppiamo il prodotto vettoriale:

× = × + × + × + ×

r Q xe Q e xe Q e ye Q e ye Q e

1 1 1 1 2 2 2 1 1 2 2 2

ricordando che il prodotto vettoriale tra vettori paralleli è nullo , avremo:

(quindi termini 1 e 4 sono nulli)

× = × + ×

r Q xe Q e ye Q e raggruppando i prodotti tra vettori avremo:

1 2 2 2 1 1

× = × + ×

r Q xQ e e yQ e e

( ) ( )

2 1 2 1 2 1 2/36

5 SCIENZA DELLE COSTRUZIONI × = −

= = × e e e

e e e e

dalle permutazioni sappiamo che e che , quindi:

3 1 2 2 1

× = −

r Q xQ e yQ e risulta il seguente vettore avente direzione assiale:

2 1

× = −

r Q xQ yQ e

( ) da notare che esso corrisponde al seguente prodotto scalare:

2 1

{ } { }

− ⋅

× = , ,

y x Q Q

r Q 1 2 − =

Ricordando che il vettore ( y , x ) r è il ruotato di , possiamo scrivere:

r

( )

⋅

× = ( )

r Q e

r Q

Sostituendo tale risultato nell’espressione di , possiamo esprimere il momento torcente come

M t L

segue:

= ⋅ = ⋅

( ) ovvero ( )

M r Q M r Q

t L i i t L Ceq

i

Esercizio

Consideriamo una sezione quadrata come raffigurata, a cui sono applicate

aventi direzioni appartenenti al piano della sezione.

le 3 forze Q

Calcoliamone la forza equivalente e il punto di applicazione .

Q C

eq eq 3/36

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FUNZIONI DELLE TENSIONI – FORMULA DI JOURAWSKY

Date per dimostrate le affermazioni precedenti, esaminiamo nel dettaglio il problema di Taglio e

Torsione, cioè il problema nel quale il taglio e il momento torcente sono non nulli sulla base :

L

≠ 0

T

L ≠ 0

M t L

Per risolvere il problema scriviamo innanzitutto le equazioni che dobbiamo verificare.

– Le equazioni di equilibrio indefinito sul cilindro nell’ipotesi di Clebsch Saint-Venant:

(devono valere in tutti gli infiniti punti del cilindro):

τ

′

τ = 0 (derivata di rispetto a z è nulla)

′

τ σ

+ =

div 0

– La condizione per la quale la forza di contatto deve essere nulla sul mantello laterale

(deve valere in tutti i punti del mantello):

ν

τ ν

⋅ = 0 dove è la normale al mantello in ogni punto del mantello.

τ

N.B. Tale condizione non ci dice che la tensione tangenziale deve essere nulla sul mantello, ma che essa deve

ν

essere ortogonale a , cioè parallela al bordo del cilindro.

– Le condizioni sulla base L ci dicono che T e (ultima componente ovvero ultima colonna del

tensore T) sulla base L è uguale a t :

L

=

T e t L

Rinunciamo a soddisfare tali condizioni su tutti i punti della base L, e cerchiamo di soddisfarle

soltanto in termini di risultanti N , T , M , M . Andremo quindi ad uguagliare tali risultanti alle

L L f L t L T

azioni esterne applicate alla base L: in questo caso avremo soltanto il taglio e il momento

L

torcente M mentre le altre risultanti saranno nulle:

t L

=

N 0

L =

T Q

L =

M 0

f L = ×

M r Q

t L Ceq

Osservazione

=

Sulla base B 0 possiamo affermare che, per l’equilibrio:

= =

lo sforzo assiale N N 0 ;

0 L

=

il taglio T T

0 L ≠

il momento flettente M M . Infatti sulla base L esso sarà nullo, mentre

0

f f L

sulla base 0 sarà:

= ×

M L e T

0

f L

Più in generale, il momento flettente alla generica sezione z sarà:

( )

= − ×

M ( z ) L z e T

f L 4/36

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Abbiamo quindi una distribuzione lineare del momento flettente, che aumenta linearmente man

mano che ci allontaniamo dalla base L su cui è applicato il taglio T (per questo motivo i problemi di

taglio vengono detti anche “problemi di flessione non uniforme”).

σ τ

Ciò premesso dobbiamo cercare le funzioni delle tensioni e che soddisfano le suddette

equazioni. σ τ

Scriviamo innanzitutto le equazioni delle risultanti delle tensioni (sforzi) in termini di e ,

N

ricordando che, sulla base L, soltanto lo sforzo assiale e il momento flettente M sono nulli:

L f L

σ

= =

N 0

L B

τ

= =

T Q

L B σ

= × =

M r 0

f L B τ

= ×

M r

t L B

Osservazione

Nel caso della presso-flessione, per verificare la nullità del taglio e del momento torcente, avevamo

τ fosse nulla in tutti i punti del cilindro.

scelto l’ipotesi più semplice, cioè che

Nel problema di taglio-torsione, per verificare la nullità dello sforzo assiale e del momento flettente,

σ

non è invece possibile adottare l’ipotesi più semplice per la quale la tensione risulti essere nulla

in tutti i punti del cilindro perché, adottando tale ipotesi, il momento flettente dovrebbe essere nullo

in tutte le sezioni del cilindro: ma ciò non è vero in quanto, come osservato in precedenza, abbiamo

σ

un momento flettente lineare generato dal taglio T. Per questo motivo la funzione della tensione

non può essere nulla ovunque ma soltanto sulla base L.

L’impossibilità di adottare la soluzione più semplice per tutto il cilindro, complica molto la ricerca

della soluzione nel problema di taglio-torsione.

È per questo motivo che, adottando alcune semplificazioni, andremo alla ricerca di una soluzione

approssimata.

(nel caso di taglio-torsione abbiamo una soluzione approssimata, a differenza del caso della presso-

flessione in cui la soluzione è esatta in ogni sezione del cilindro).

La soluzione approssimata che andremo a ricercare è la Funzione di

JOURAWSKY e sarà valida esclusivamente per SEZIONI SOTTILI

(travi a parete sottile). σ τ

Facciamo alcune valutazioni sulle funzioni e e vediamo quali

semplificazioni è possibile adottare. τ

Anche nel caso di taglio-torsione, la tensione non dipende da z,

τ

pertanto è una funzione del tipo:

τ

τ ( x , y ) ( non dipende da z, ma solo da x e y) σ

Nel caso di taglio-torsione (a differenza della presso-flessione) la tensione dipende anche da z (lo

σ è una funzione del tipo:

deduciamo dal fatto che esiste il momento flettente), pertanto

σ

σ ( x , y , z ) ( dipende anche da z oltre che da x e y) 5/36

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σ σ

La dipendenza della tensione da z è lineare, infatti è proporzionale al momento flettente che,

come abbiamo visto, cresce linearmente con la distanza z dalla base L. τ

∞ 3

Queste funzioni devono valere su tutti gli punti del cilindro. Tuttavia una volta appurato che

σ

non dipende da z e stabilito che è lineare rispetto a z, dobbiamo scrivere le due funzioni affinché

∞ 2 punti).

esse siano valide in ciascun punto di una certa sezione ( ∞ 2

Con la semplificazione di Jourawsky rinunciamo a soddisfare esattamente le equazioni sugli

′

τ σ

+ =

chiediamo che l’equazione sia verificata in media

punti della sezione, e soltanto div 0 sul

dominio.

In generale, la media di una generica funzione f ( x , y ) , definita su un dominio D, è data

dall’integrale della funzione esteso al dominio D, diviso il volume (o l’area) del dominio D, cioè:

1

=

f f ( x , y ) (media di una generica funzione f ( x , y ) su un volume D)

D vol D D

L’idea di Jourawsky è quella di considerare, quale dominio di integrazione su cui

′

τ σ

+ =

far valere l’equazione indefinita di equilibrio div 0 , non l’intera sezione

*

, ma un suo sottodominio (come raffigurato ad esempio in figura).

B B *

Andiamo ad integrare l'

equazione indefinita di equilibrio sul sottodominio :

B

( )

′

τ σ

+ = che può essere separato nella somma di due integrali:

div 0

*

B ′

τ σ

+ =

div 0

* *

B B τ

1) Analizziamo il primo termine div .

*

B

Dal teorema delle divergenza ricordiamo che l’integrale della divergenza di una funzione sul

∂ *

*

dominio B , è uguale al flusso della funzione attraverso il bordo B del dominio, cioè:

ν

τ τ ν =

= ⋅ dove vettore normale al bordo del dominio

div

* *

∂

B B

∂ *

B del dominio in questo caso è quello complessivamente

Il bordo

evidenziato (in verde e in arancione).

∂ *

Il bordo del dominio B è quindi costituito da due parti: una parte

∂ *

( B ) è in comune con il bordo (mantello) del dominio complessivo B

1 ∂ *

(in verde) mentre una parte interna ( B ) è costituita dalla corda interna

2 ∂ *

(in arancione) che distingue il sottodominio B dal dominio B.

τ nella somma di due equazioni:

È quindi possibile separare l’equazione del flusso di

τ ν τ ν τ ν

⋅ = ⋅ + ⋅

* * *

∂ ∂ ∂

B B B

1 2 6/36

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Tale distinzione ci è utile perché, dato che sul mantello laterale deve valere l’espressione

τ

τ ⋅ν = ∂ *

0 , possiamo affermare che il flusso di sul bordo B è sempre nullo. Pertanto, nella

1

τ ∂ *

precedente equazione, sopravvive soltanto il flusso di sul bordo interno B :

2

τ ν τ ν

⋅ = + ⋅

0 ovvero:

* *

∂ ∂

B B 2

τ τ ν

= ⋅

div

* *

∂

B B 2 ′

σ .

2) Analizziamo il secondo termine *

B σ

Andiamo a cercare l’equazione della tensione (z ) tale che soddisfi le condizioni imposte in

precedenza:

σ

= =

N 0 (sforzo assiale nullo in tutti i punti del dominio)

L B ( )

= − ×

M ( z ) L z e T (momento flettente lineare e dovuto alla presenza del taglio)

f L σ avente la seguente forma:

Scegliamo l’equazione di (z )

σ = + ⋅

( z ) a ( z ) b ( z ) r

Come nel caso della presso-flessione, (attenzione rifare i calcoli come fatti la volta precedente)

calcolando i termini a e b, avremo i seguenti risultati:

F

= − ⋅

a b r

G

A [ ] −

1

= − − ⊗

b F ( r r ) J A

( r r )

C G G G = =

Ricordando che il prodotto F r ( M ) e che F r N , possiamo scrivere b come segue:

C f G L

( )

[ ] −

1

= − ⊗ −

b J A ( r r ) ( M ) N

G G f L =

N 0

Nel caso di taglio-torsione, poiché abbiamo detto che lo sforzo assiale , andremo ad

L

eliminare all’interno dei termini a e b, tutti quei parametri che si riferiscono allo sforzo assiale

N

(cioè F/A e ). Resterà dunque:

L

= − ⋅

a b r

G ( )

[ ]

−

1

= − ⊗

b J A ( r r ) ( M )

G G f

σ σ = + ⋅

L’equazione della tensione (z ) , sostituendo i coefficienti a e b in ( z ) a ( z ) b ( z ) r :

( ) ( )

[ ] [ ]

− −

σ 1 1

= − − ⊗ − ⋅ + − ⊗ − ⋅

( z ) J A ( r r ) ( M ) r J A ( r r ) ( M ) r

G G f G G G f

Cambiando si segno e raggruppando i termini avremo:

[ ] −

σ 1

= − ⊗ ⋅ −

( z ) J A ( r r ) ( M ) ( r r )

G G f G 7/36

5 SCIENZA DELLE COSTRUZIONI

A tal punto dobbiamo sostituire il generico momento flettente M , con l’equazione del

f

T

momento flettente all’ascissa z derivante dal taglio , cioè:

L

= − ×

M ( z ) ( L z ) e T

f L

Il ruotato di M sarà pertanto il seguente:

f ×

= − × e T T

( M ) ( L z ) e T inoltre, dato che il ruotato è proprio , otteniamo:

f L L L σ

= −

( M ) ( L z )

T il ruotato di M , che sostituiremo nell’espressione di :

f L f

[ ]

−

1

σ = − ⊗ − ⋅ −

( z ) J A ( r r ) ( L z )

T ( r r )

G G L G σ

Poiché in effetti stiamo cercando la sua derivata prima rispetto a z, deriviamo la funzione (z ) :

[ ]

− 1

′

σ = − − ⊗ ⋅ −

( z ) J A ( r r ) T ( r r )

G G L G ′

σ *

A questo punto vediamo cosa viene fuori dall’integrazione di sul dominio B :

[ ]

−

′

σ 1

= − − ⊗ ⋅ −

( z ) J A ( r r ) T ( r r )

G G L G

* *

B B *

Poiché l’unico elemento che dipende da x e y (coordinate dei punti sul dominio B ) è il vettore r,

−

lasciamo ( r r ) nell’integrale, e tiriamo fuori tutte le altre quantità costanti:

G

[ ]

−

′

σ 1

= − − ⊗ ⋅ −

( z ) J A ( r r ) T ( r r )

G G L G

* *

B B

Risolvendo l’integrale avremo (notare che r , baricentro del dominio B, è costante):

G

[ ]

−

1

′

σ * * *

= − − ⊗ ⋅ − =

* *

( z ) J A ( r r ) T ( r A A r ) dove A area del sottodominio B

G G L G G =

* *

r baricentro del sottodominio B

*

B G =

* * *

A r momento statico del s.d. B

G ′

τ σ

+ =

Abbiamo in questo modo ott