05 Scienza delle Costruzioni - Taglio e torsione

T T

B L

Proprietà importante dell'equazione del centro di taglio è che è sempre vera, qualunque sia la

Q

forza di taglio considerata.

Questa proprietà ci permette di ricavare due incognite ( x e y ) con una sola equazione, attraver-

C C

T T

so la scelta della forza Q che di volta in volta ci sarà più utile.

Per ricavare le coordinate del centro di taglio, dobbiamo in sostanza applicare due volte la formula:

– la prima volta sceglieremo una forza di taglio Q, di valore unitario, avente direzione orizzontale

(parallela all’asse x) che avrà quindi le seguenti coordinate:

=

= = Q e

Q 1 Q 0 cioè 1

x y

Inserendo le coordinate di Q orizzontale nell’equazione del centro di taglio:

τ τ

× = = −

r (

Q e ) x Q y Q τ =

= Q e

(

Q e )

la notazione ci ricorda che è calcolata per

1

J C y C x J 1

J 1

T T

B τ

× = = −

r (

Q e ) x ( 0

) y (

1

)

1

J C C

T T

B τ

× = = −

r (

Q e ) y mettendo in evidenza la coordinata y

1

J C C

T T

B 20/36

5 SCIENZA DELLE COSTRUZIONI

τ

= − × =

y r (

Q e ) otteniamo la coordinata y del centro di taglio.

1

C J

T B

– la seconda volta sceglieremo una forza di taglio Q, di valore unitario, avente direzione verticale

(parallela all’asse y) che avrà quindi le seguenti coordinate:

=

= = Q e

Q 0 Q 1 cioè 2

x y

Inserendo le coordinate di Q nell’equazione del centro di taglio:

τ

× = = −

r (

Q e ) x Q y Q

2

J C y C x

T T

B τ

× = = −

r (

Q e ) x (

1

) y ( 0

)

2

J C C

T T

B τ

× = =

r (

Q e ) x mettendo in evidenza la coordinata x

2

J C C

T T

B τ

= × =

x r (

Q e ) otteniamo anche la coordinata x del centro di taglio.

2

C J

T B

Osservazione τ

Da notare che a primo membro la tensione tangenziale è quella calcolata con la formula di

J

Jourawsky ed è riferita alla forza di taglio Q scelta:

τ

× = ×

r (

Q ) r Q

J C T

B L

In particolare per le sezioni senza assi di simmetria (come quelle rappresentate a

lato) dovremo risolvere due problemi ausiliari. τ

Utilizzeremo prima una forza verticale e, calcolata la tensione con la formula

J

di Jourawsky, inserendola nell’equazione del centro di taglio ricaveremo x .

C T τ

Successivamente utilizzeremo una forza orizzontale e, calcolata la tensione J

con la formula di Jourawsky, inserendola nell’equazione del centro di taglio

ricaveremo y .

C T

Se la sezione ha un asse di simmetria, allora la posizione del centro di taglio cade sull’asse di sim-

metria della sezione. In questo caso, conoscendo una coordinata del centro di taglio, sarà sufficiente

applicare l’equazione del centro di taglio una sola volta con una forza di taglio ortogonale all’asse

di simmetria.

Per le sezioni con due assi di simmetria, diciamo subito che il centro di taglio cade nell’intersezione

dei due assi di simmetria: è pertanto univocamente determinato e coincide con il baricentro della

sezione. 21/36

5 SCIENZA DELLE COSTRUZIONI

Esercizio (Sezione a C – Calcolo del centro di taglio)

Consideriamo la sezione rappresentata a lato e cerchiamo le

coordinate del centro di taglio.

Dato che la sezione ha un asse di simmetria orizzontale,

sappiamo già che la posizione del centro di taglio cadrà su tale

asse. Non sarà necessario calcolare la coordinata verticale y :

C T

=

essa è già nota ed è pari a y a / 2 .

C T x

Dovremo invece calcolare la coordinata orizzontale C T

applicando l’equazione del centro di taglio utilizzando una

forza ausiliaria verticale. τ

Prima procedere al calcolo della tensione tangenziale (con la formula di Jourawsky) dovuta alla

J

=

forza ausiliaria verticale Q 1 , cerchiamo di farci un’idea di come è distribuita la tensione all’in-

y

terno della sezione applicando le proprietà generali.

τ

- la è nulla negli estremi della sezione; τ

- nei rami ortogonali alla forza di taglio, la ha andamento li-

neare: tracciamo qualitativamente i diagrammi delle tensioni

per i due rami orizzontali (saranno speculari data la simmetria

della sezione);

- dalla proprietà per la quale la somma dei flussi su un nodo

deve essere nulla capiamo che in ciascuno dei nodi individuati

dall’intersezione dei tratti orizzontale/verticale deve entrare ed

uscire lo stesso flusso: poiché lo spessore S è costante avremo

la continuità della tensione; τ ha andamento

- nel ramo parallelo alla forza di taglio 1, la

parabolico: possiamo tracciare qualitativamente il diagramma

delle tensioni per il ramo verticale;

- il valore massimo della tensione si ha in corrispondenza dell’intersezione dell’asse neutro con la

sezione: l’asse neutro passa per il baricentro con direzione ortogonale alla forza di taglio 1, pertanto

il massimo si avrà a metà del tratto verticale;

- osservando che è presente un solo tratto verticale, possiamo dedurre immediatamente il verso delle

tensioni: in particolare nel tratto verticale le tensioni hanno verso concorde alla forza di taglio

(verso l’alto) nei tratti orizzontali la tensione dovrà avere verso tale da rispettare il bilancio dei

flussi ai nodi (da sinistra a destra nel tratto superiore, da destra a sinistra nel tratto inferiore).

Adottando un sistema di riferimento principale di inerzia (non baricentrico), usiamo la formula di

Q :

Jourawsky semplificata (la sezione ha infatti un asse di simmetria e la direzione di è solo verticale)

y

Q

1

τ y

= − − * *

( y y ) A

J G G

S J 22 J

Procediamo nel calcolo del momento di inerzia dell’intera sezione, rispetto all’asse x,

22

sommando i vari momenti di inerzia di ciascun tratto. La formula del momento di inerzia per un

rettangolo è in generale:

1

= = +

2 3 2

J y bH Ad

22 12

B 22/36

5 SCIENZA DELLE COSTRUZIONI

Per il tratto 2 (verticale) il momento di inerzia sarà (non è necessario aggiungere il termine riferito

al teorema di Huyghens perché il tratto 2 passa sull’asse x):

1

= 3 =

J a S infatti H a

22 ( 2 ) 12 =

b S

Per i restanti tratti 1 e 3 (orizzontali) il momento di inerzia sarà calcolato come segue:

2

1 a =

= +

3 H S

J S a ( aS ) infatti

22 (

1

) 12 2 =

b a

=

A aS

a

=

d 2

Ricordiamo che lo spessore S è molto piccolo rispetto alla lunghezza a della sezione, quindi, dato

3 3

<<

S a a S

che , trascureremo nei calcoli i termini contenenti il cubo di S.

Il momento di inerzia per l’intera sezione sarà quindi il seguente:

(poiché ci sono due tratti orizzontali sommeremo 2 volte il momento d’inerzia del tratto 1)

2

1 a

= +

3 2 ( )

J a S aS ovvero, risolvendo:

22 12 2

7

= 3

J a S (momento di inerzia intorno all’asse x dell’intera sezione)

22 12 =

Inserendo il momento di inerzia nella formula di Jourawsky (ricordiamo inoltre che Q 1 ):

y

Q

1

τ y

= − − * *

( y y ) A avremo:

J G G

S J 22

1 1

τ = − − * *

( y y ) A ovvero, risolvendo:

J G G

7

S 3

a S

12 −

* *

( y y ) A

12

τ = G G

J 3 2

7 a S τ *

* *

Abbiamo ottenuto la funzione al variare di A e y , cioè al variare del sottodominio B che

J G

individua la corda interna su cui avremo la tensione media.

Osservazione ~

J

In effetti nella formula di Jourawsky andrebbe inserito il momento di inerzia :

~ ~

[ ]

− 1

= − ⊗ = − 2

J J A r r J J A y

ovvero 22 22

G G G

Ma poiché in questo caso, per il sistema di riferimento adottato, l’origine degli assi cade proprio sull’asse del baricentro,

~ =

= J J

y 0

la quota del baricentro risulta essere nulla ( ), pertanto avremo che .

G τ

A questo punto, per ottenere il valore della tensione (il valore massimo sul tratto orizzontale 1 o

1 *

per simmetria sul tratto orizzontale 3), scegliamo il sottodominio B la cui corda interna si trova a

distanza a dall'

estremità destra (in cui abbiamo posto l'

ascissa 0), e risolviamo la F. di Jourawsky:

23/36

5 SCIENZA DELLE COSTRUZIONI

[ ]

a

12 6

τ =

= =

*

aS

( ) infatti A aS

N

1 2

3

a S aS

7 2 7 m a *

B

=

*

y

τ

Il valore della tensione (il valore massimo sul tratto verticale 2) sarà calcolato 1

G 2

2 *

B che va dall’estremità del tratto orizzontale al

considerando il sottodominio *

B

centro del tratto verticale. *

B

In particolare, l'

area di questo sottodominio sarà: 2

1

= +

* *

(area del sottodominio B )

A a a S

2 * *

Il baricentro di B sarà dato dalla media pesata dei baricentri con le aree dei due sottodomini di B :

A y

i Gi

=

*

y cioè:

i

G A

i

i a a a

+

aS S

( ) 2 2 4

=

*

y a

G +

aS S

2

1 1 2 5

= + =

* 2 *

B

(quota del baricentro di )

y a S a

G 2 8 3 12

τ

La tensione sarà la seguente:

2 [ ]

12 3 5 15

τ = =

aS a N

2 3 2 2

a S aS

7 2 12 14 m

A questo punto abbiamo tutti gli elementi per trovare la posizione del centro di taglio. Poiché la

y

sezione ha un asse di simmetria orizzontale,la coordinata del centro di taglio cadrà su tale asse.

y x

Pertanto la coordinata è già nota: andiamo a calcolare la coordinata .

C C

T T

τ

= × =

x r Q e

( )

2

C J

T B

Per risolvere l’equazione è necessario prima scegliere un polo rispetto al quale calcolare il

momento. La scelta del polo può essere qualunque, tuttavia è nel nostro interesse scegliere un polo

che ci semplifichi i calcoli da effettuare.

È certamente intuitivo scegliere il polo sull’asse di simme-

x ), ma è ancora meglio scegliere il

tria della sezione (a