Scienza delle Costruzioni - Teoria delle Travi e Principio dei Lavori Virtuali

Teoria delle travi

Concetti fondamentali

Nella trave reale, a differenza della trave di Saint-Venant:

1. Le azioni sono applicate sulla superficie laterale e non sulle basi.
2. Le travi non hanno sempre sezione costante.
3. L'asse non è sempre rettilineo.

Ma con alcuni accorgimenti, si possono comunque applicare i risultati di Saint-Venant alla trave reale. Tra questi accorgimenti c'è il postulato di Saint-Venant. Esso, infatti, svincola i risultati del problema di Saint-Venant dalla particolare condizione di carico, escludendo le zone direttamente influenzate dal tipo di applicazione dei carichi. La soluzione dipende soltanto dalle caratteristiche di sollecitazione N, T_xi, T_eta, M_xi, M_eta, M_z.

Ve ne sono anche altri:

• Es: Trave a cui applicate forze in equilibrio. Considero il tratto tra F₁ ed F₂. Tale tratto è come una trave di Saint-Venant (trascurando però i tratti, direttamente sotto i carichi), sollecitata solo sulle basi.
• Tale considerazione ci permette di considerare come travi di Saint-Venant tutti i tratti rettilinei compresi fra due carichi concentrati.
• Nella pratica si considerano anche i tratti, le travi con debole curvatura dell'asse, con sezione variabile escludendo le zone di cambiamento di sezione, e le travi con carichi distribuiti.

Spostamenti e rotazioni nelle travi

Sappiamo che:

1. L_e* = Σ Fiui* + Σ Miφi* + Σ Riu*ic + Σ Miφic*
2. Dove: Fiui* = forze applicate alla trave per i movimenti dei loro punti di applicazione. Miφi* = momenti applicati alla trave per le rotazioni dei loro punti di applicazione. Riu*ic = lavoro compiuto dalle reazioni vincolari dei vincoli cedevoli. Miφic* = lavoro compiuto dalle reazioni vincolari dei vincoli cedevoli.
3. Li* = ∫_s(Np_z* + M_ξk_ξ* + M_ηk_η* + T_ξρ_ξ* + T_ηρ_η* + M_zk_z*) ds
4. Dove s = linea d'asse della trave; ξ, η = assi principali d'inerzia della sezione; N, T_ξ, T_η, M_ξ, M_η, M_z = caratteristiche di sollecitazione; ρ_z*, k_ξ*, k_η*, T_ξρ_ξ*, ρ_η*, k_z* = caratteristiche di deformazione.

Se il sistema delle forze è equilibrato e quello degli spostamenti è congruente, vale che:

L_e* = L_i*

Principio dei lavori virtuali

Procedura:

• Ci serviamo del PLV per trovare spostamenti e rotazioni nelle travature.
• Scelgo un sistema delle forze. È un sistema in equilibrio, perciò può riferirsi alla struttura assegnata resa isostatica. Esso è caricato con carico di esplorazione di valore 1.
• Scelgo un sistema di spostamenti e deformazioni. È il sistema assegnato, con la reale condizione di carico.

Si procede poi ad usare il PLV, attribuendo forze e sollecitazioni al primo sistema e spostamenti e deformazioni al secondo.

Esempi

1) Soli carichi espliciti

Voglio lo spostamento del punto S lungo la direzione T-T. Suppongo di aver risolto la struttura (vedremo dopo come). Il Galano mi disse di prendere la struttura principale (una qualsiasi) e poi applicare PLV.

Se è risolta:

1. Calcolo le caratteristiche di sollecitazione.
2. Da queste calcolo le caratteristiche di deformazione: p_z, p_e, p_n, k_ξ, k_η, k_z w, ψ sono incognite.

Ora costruisco il sistema delle forze. Esso è dato dalla stessa struttura, resa isostatica, caricata con un carico virtuale F* = 1 applicato in S nella direzione dello spostamento cercato. La risolvo, trovando Ha*, Va*, Ma*. Poi determino N*, T_ξ*, T_η*, M_ξ*, M_η*, M_z*.

Scriviamo il PLV "associando" i due sistemi.

L_e* = F* u_s = 7: u_s = u_s

L_i* = ∫_ω(N*p_z + M_ξ*k_ξ + M_η*k_η + T_ξ*p_ξ + T_η*p_η + M* z K_z) dω

L_e* = L_i* ⟹ trovo u_s.

2) Sole variazioni termiche

Il problema è lo stesso, ma la trave è soggetta solo a variazioni termiche. Poiché la struttura è iperstatica, la variazione termica induce sollecitazioni. N̅_θ, T̅_ξ, T̅_η, M̅_ξ, M̅_η, M̅_z. Questo non avviene se la struttura è isostatica.

p_z = N_θ / EA + αθ_o;

k_ξ = M̅_ξθ / E_3ξ + α(θ_1θ - θ_2η) / h_η;

p_ξ = χ_ξ / GA T̅_ξ;

k_η = M_ηη / E_3η + α(θ_1ξ - θ_2ξ) / h_ξ;

p_η = χ_η / GA T̅_η;

k_z = q / G5_o M_zθ;

Lo abbiamo visto precedentemente!

L_e^* = L_ℓu_s

L_i^* = ∫₀^ℓ(N^* p_z + M_ξ^* k_ξ + M_η^* k_η + T_ξ^* p_ξ + T_η^* p_η + M_z^* k_z) dω

L_e^* = L_i^* ⟹ trovo u_s.

3) Soli cedimenti vincolari

Il problema è sempre lo stesso, però la struttura è soggetta a soli cedimenti vincolari. Pertanto, i cedimenti sono anelastici, e dunque sono assegnati. La struttura è iperstatica, dunque i cedimenti vincolari producono sollecitazioni. N̅_c, T̅_ξc, T̅_ηc, M̅_ξc, M̅_ηc, M̅_zc.

Dunque avrò:

ρ_z = N̅_c / EA;

K_ξ = M̅_ξc / E_ξξ;

ρ_ξ = χ_ξT̅_ξc / GA;

K_η = M̅_ηc / E_ξη;

ρ_η = χ_ηT̅_ηc / GA;

K_z = qM̅_zc / G_zo;

L_e^* = L_i^*

L_e^* = + 4u_s + M_A^*β + V_c^*2

L_i^* = ∫{N^*ρ_z + M^*_ξK_ξ + M^*_ηK_η + T^*_ξρ_ξ + T^*_ηρ_η}, abbiamo tolto.