Scienza delle Costruzioni - Il problema di Saint-Venant

Il Problema di Saint Venant

Eseguiremo lo studio della trave.

Cos'è la trave?

Definiz:La trave è un solido in cui una dimensione (cioè L ) prevale sulle altre due (cioè B e H ).

Alla trave sono applicate delle forze.

Ipotesi Generali

1. Forma del solido: La trave ha asse rettilineo e sezione retta costante.Il SDR cartesiano ortogonale che useremo (x_c1, x_c2, x_c3) ha x_c3 coincidente con l'asse della trave.

Il Problema di Saint Venant

Eseguiremo lo studio della trave.

Cos'è la trave?

Definiz:

La trave è un solido in cui una dimensione (cioè L) prevale sulle altre due (cioè B ed H)

Alla trave sono applicate delle forze.

Ipotesi Generali

Forma del solido: La trave ha asse rettilineo e sezione retta costante. Il SDR cartesiano ortogonale che useremo (x₁, x₂, x₃) ha x₃ coincidente con l'asse della

Trave e Origine del Baricentro G della Sezione

x₃ = 0

2) Materiale:

Il materiale è elastico, lineare, omogeneo, isotropo

Perchè? Perchè tale ipotesi attua numerose semplificaz. sulle equaz da usare.

3) Carichi:

Le forze di massa sono nulle => b_j = 0

Ma il peso proprio? Si considera forza esterna.

Le forze di superficie sono applicate solo sulle basi x₃ = 0 e x₃ = L

(Cosa non vera: nella realtà è la superficie laterale ad essere caricata)

Il corpo è in equilibrio

4) Vincoli:

La trave non ha vincoli (e dunque niente R_v) ma è comunque ferma, ancorata al punto G(0,0,0)

In G(0,0,0), dunque:

• ⍵₁ = ⍵₂ = ⍵₃ = 0 Traslazioni
• ⍵_3,1 = ⍵_3,2 = ⍵_2,1 = 0 Rotazioni

5) Lo stato di Tensione: Ovvero σ_ij.

• ⨍n e v sono 2 versori ortogonali a scelta.
• n = (ᵅ₁, ᵅ₂, ᵅ₃), n ⊥ al piano considerato.
• coseni direttori di n

Ora la proiezione di t(P,n) su n è la

tensione normale σ_nn.

Sugli elementi piani paralleli a x₃, n è ⊥ a x₃ di conseguenza.

Dunque n (ᵅ₁, ᵅ₂, 0)

Un coseno nullo indica ortogonalità, infatti

Ebbene, suppongo che per questi elementi σ_nn = 0.

Ora σ_nn = t_ijᵅ_jᵅ_i

Perché? σ_nn = [σ_ij : n_j] x n_i

Sviluppando per n [ ᵅ₁, ᵅ₂, 0 ]:

σ_nn - σ₁₁ᵅ₁² + σ₂₂ᵅ₂² + σ₁₂ᵅ₁ᵅ₂ x 2

x 2 = 0

A che serve saperlo?

Per supporre qualcosa che ci rendera' piu' semplice trovare σ_ij

Poiche' posso scegliere tutti gli η che voglio purche' α₁² + α₂² = 0, suppongo:

[α₁ = 0] ⇒ σ₂₂ = 0

[α₂ = 1]

[α₁ = 1] ⇒ σ₁₁ = 0

[α₂ = 0]

Allora σ₁₁ = σ₂₂ = σ₁₂ = 0

E quindi:

σ_ij = | 0   0   σ₁₃ |

         | 0   0   σ₂₃ |

         | σ₁₃ σ₂₃ σ₃₃ |

Poiche' σ_ij = σ_ji

Conseguenze

Queste 5 ipotesi comportano notevoli ai-duz. alle equazioni usate per risolvere ilproblema.

Problema:

Ho un solido di volume V. È in equilibrioGli sono applicate:

• Forze di volume, b_j = 0 per noi, in V
• Forze di superf, f_j in 2V

E per questo il corpo si deforma.

In ogni punto del solido V(x₁, x₂, x₃)voglio conoscere:

• w_j spostamenti
• ε_ij deformaz
• σ_ij tensioni

Per farlo ho le seguenti equazioni cosìtrasformate:

1) Equaz. Indef. Equilibrio

(o Equaz di Cauchy)

Se il corpo è in equilibrio, in ogni puntointerno a V:

(σ_ij,i + b_j = 0 in V

↳ derivata di α_j rispetto ad i

(ne tralascio la dimostrazione)

Per noi σ_ij,i = 0 in V

Per j = 1 ⇒ ∂σ₃₁ / ∂x₃ = 0 ⇒ σ₃₁ = f(x₁, x₂)

Per j = 2 ⇒ ∂σ₃₂ / ∂x₃ = 0 ⇒ σ₃₂ = f(x₁, x₂)

Cosa significa? σ₃₂ e σ₃₁ sono le tensioni tangenziali.

Ovvero sono le proiezioni di t_n su V.

Il primo indice individua l'elemento piano.

Il secondo la direzione della componente.

Ebbene σ₃₁ e σ₃₂ sono le stesse per ogni sezione poiché non variano con x₃.

Li possiamo immaginare come le componenti del vettore tens. tangenziale:

τ₃ = σ₃₁i + σ₃₂j ⇒ τ₃ = f(x₁, x₂)

Per j = 3 σ₁₃,1 + σ₂₃,2 + σ₃₃,3 = 0 ⇒ σ₃₃,33 = 0

Dunque σ₃₃ = Funz Lineare

PS. Se z₃ = 0 σ_33,3 = 0

σ₃₃ = f(x₁, x₂)

Anche le tensioni normali non variano da sez. a sez

2) Equaz. ai Limiti

Sulla superficie: f̂_j = σ_ijα_i

• x₃ = ℓ (base) → n(0,0,1)
  • j = 1 f̂₁ = σ₃₁
  • j = 2 f̂₂ = σ₃₂
  • j = 3 f̂₃ = σ₃₃
• x₃ = 0 (base) → n(0,0,-1)

Ho le stesse relaz. ma con segno -

• Superf. Laterale

n(α₁, α₂, 0)

0. σ_ijα_i

J=1

σ₁₁α₁ + σ₁₂α₂ = 0

J=2

σ₁₂α₁ + σ₂₂α₂ = 0

J=3

σ₁₃α₁ + σ₂₃α₂ = 0

Cioè τ·n=0!

τ·n=0

• τ₃=0
• τ₃∥n

3) EQUAZ COSTITUTIVE

SONO LE EQUAZ. CHE LEGANO IL TENSORE DELLA TENS. CON QUELLO DELLA DEFORMAZIONE.

σ̅_ij = σ̅_ij(ε̅_ij)

PER UN MATERIALE ELASTICO: σ̅_ij = C_ijklε̅_klCHE È UNA GENERALIZZAZIONE DELLA LEGGE DI HOOKE: F = K·u

TALE EQUAZIONE, PERÒ, SI SEMPLIFICANO NELL’EQUAZ. DI BELTRAMI

∇²σ̅_hk + ¹/_1+ν Iσ̅,_hk = 0

ESSE SONO PERÒ SOGGETTE ALLE EQUAZ. DI CONTORNO.

DOVE E: MODULO DI ELASTICITA’ NORMALE(O MODULO DI YOUNG)ν: COEFF. DI POISSON

DIVIENE:

ε̅_ij = ¹/_E [(1+ν)σ̅_ij - ν Iσ̅ a_ij ]

ORA, NEL NOSTRO CASO, Iσ̅ = σ̅₃₃

Cosa se ne deduce?

(1 + ν̄) [σ_hK,11 + σ_hK,22 + σ_hK,33] + σ_33,hK = 0

Per h_K,11 ⇒ σ_33,11 = 0

h_K,22 ⇒ σ_33,hK = 0

h_K,12 ⇒ σ_33,12 = 0

h_K,33 ⇒ 2(1 + ν̄) + σ_33,hK = 0

Ma ν̄ ≠ 0 σ_33,33 = 0

h_K,13 ⇒ (1 + ν̄) [σ_13,11 + σ_13,22 + σ_13,33] + σ_33,33 = 0

Ma σ₁₃ = f(x₁, x₂)

h_K,23 ⇒ (1 + ν̄) [σ_23,11 + σ_23,22 + σ_23,33] + σ_33,23 = 0

Ma σ₂₃ = f(x₁, x₂)

Dunque:

σ₃₃ = a + bx₁ + cx₂ + x₃(a₁ + b₁x₁ + c₁x₂)

Ma se t₃ = 0 il secondo termine è ∅

PS. x₁, x₂, x₃ sono le coordinate del punto in cui mi trovo.

Principio di Saint-Venant

Quello che conosciamo delle forze, non sono le effettive distribuz. delle forze superficiali f applicate sulle basi, ma _R e _M, le risultanti.

Saint-Venant propose:

Se una certa distribuz. di forze superficiali agenti su una porzione della superficie di un corpo è sostituita da un altro agente sulla stessa porzione, gli effetti prodotti dalle due distribuz. in punti sufficientemente distanti dalla zona di applicaz. della forza sono essenzialm. gli stessi, purché le 2 distribuz. di forze abbiano la stessa _R e lo stesso _M.

Il volume che risente della particolare distribuz. di forze superf. è tratteggiato.

Esempio:

^f _N = ^N

= _Â/2

= _Â/2

RISULTANTE DELLE FORZE

SUPERFICIE APPLICATE

ALLE BASI

• Base x₃ = ℓ
• Sono Ŕ ed Ṁ le risultanti, rispetto a G.
  • Ŕ = (Ṫ₁, Ṫ₂, Ň)
  • Ṁ = (Ṁ₁, Ṁ₂, Ṁ₃)
  Nel SDR (x₁, x₂, x₃)

1) Ň = ∫_A f₃ dA; Per il principio di Saint-Venant.

Ṫ₁ = ∫_A f₁ dA;

Ṫ₂ = ∫_A f₂ dA;

2)

M̂₁ = MOMENTO RISPETTO A x₁

M̂₁ = ∫_A ƃ₃ dA = > ƒ̂₂ //; ƒ̂₂ br.⊘PORTA x₁ SU x₃

M̂₂ = ∫_A -ƃ₃ dAPORTA x₁ SU x₃

M̂₃ = ∫_A ((ƒ₂ x₁ - ƒ₁ x₂) dA↓       →PORTA x₁ SU x₂  PORTA x₂ SU x₁

P.S.ORA, LE PROIEZ DI Â E M̂ SUGLI ASSI D'INERZIASONO LE CARATT. DI SOLLECITAZIONE.

PER UNA GENERICA SEZIONE:N = Ň;  T₁ = T̂₁ ;  T₂ = T̂₂ ;M₁ = M̂₁ - T̂₂ (ℓ - x₃)M₂ = M̂₂ + T̂₁ (ℓ - x₃)M₃ = M̂₃DUNQUE ...

Ň̂ = ∫_A σ₃₃dA; Ť̂₁ = ∫_A σ₃₁dA; Ť̂₂ = ∫_A σ₃₂dA;

Ṃ̂₁ = ∫_A σ₃₃x₂dA; Ṃ̂₂ = ∫_A -σ₃₃x₁dA;

Ṃ̂₃ = ∫_A (σ₃₂x₁ - σ₃₁x₂) dA;

Casi Fondamentali

1) Forza Normale Semplice

Ň̂ Ň̂

N = Ň̂ ≠ 0 Ť̂₁, Ť̂₂, Ṃ̂₁, Ṃ̂₂, Ṃ̂₃ = 0

2) Flessione Semplice

Ṃ̂( ) Ṃ̂

Ṃ̂ = Ṃ̂₁i + Ṃ̂₂j

Ň̂ = Ť̂₁ = Ť̂₂ = Ṃ̂₃ = 0

3) Torsione