Scienza delle Costruzioni - Il problema di Saint-Venant

Il Problema di Saint Venant

Eseguiremo lo studio della trave.

Cos'è la trave?

Definiz:

La trave è un solido in cui una dimensione (cioè L) prevale sulle altre due (cioè B ed H)

Alla trave sono applicate delle forze.

Ipotesi Generali

• Forma del solido: La trave ha asse rettilineo e sezione retta costante. Il SDR cartesiano ortogonale che useremo (x_c1, x_c2, x_c3) ha x_c3 coincidente con l'asse della

TRAVE E ORIGINE DEL BARICENTRO G DELLA SEZIONE

X₃ = 0

1. MATERIALE: Il materiale è elastico, lineare, omogeneo, isotropo

Perchè? Perchè tale ipotesi attua numerose semplificaz. sulle equaz da usare.

3. CARICHI:

• Le forze di massa sono nulle => b_j = 0 ma il peso proprio? Si considera forza esterna.
• Le forze di superficie sono applicate solo sulle basi X₃ = 0 e X₃ = L ( Cosa non vera: nella realtà è la superficie laterale ad essere caricata )

Il corpo è in equilibrio.

4. VINCOLI: La trave non ha vincoli ( e dunque niente R_v ) ma è comunque ferma, ancorata al punto G (0,0,0)

σ_ij,i + b_j = 0 in V

L

Derivata di α_ij rispetto ad i

(Ne tralascio la dimostrazione)

Per noi σ_ij,i = 0 in V

Per j = 1 ⇒ ∂σ₃₁/∂x₃ = 0 ⇒ σ₃₁ = f(x₁, x₂)

Per j = 2 ⇒ ∂σ₃₂/∂x₃ = 0 ⇒ σ₃₂ = f(x₁, x₂)

Che significa? σ₃₂ e σ₃₁ sono le tensioni tangenziali.

Ovvero sono le proiez di t_n su v_t.

Il primo indice individua l'elemento piano.

Il secondo la direz della componente.

Ebbene σ₃₁ e σ₃₂ sono le stesse per ogni sezione poiché non variano con x₃.

Li possiamo immaginare come le componenti del vettore tens. tangenziale:

T₃ = σ₃₁i + σ₃₂j ⇒ T₃ = f(x₁, x₂)

Per j = 3 σ_13,1 + σ_23,2 + σ_33,3 = 0 ⇒ σ_33,3 = 0

Principio di Saint-Venant

Quello che conosciamo delle forze, non sono le effettive distribuz. delle forze superficiali f applicate sulle basi, ma _R e _M, le risultanti.

Saint-Venant propose:

Se una certa distribuz. di forze superficiali agenti su una porzione della superficie di un corpo è sostituita da un altro agente sulla stessa porzione, gli effetti prodotti dalle due distribuz. in punti sufficientemente distanti dalla zona di applicaz. della forza sono essenzialm. gli stessi, purché le 2 distribuz. di forze abbiano la stessa _R e lo stesso _M.

Il volume che risente della particolare distribuz. di forze superf è tratteggiato.

E s.