Scienza delle Costruzioni - appunti

Meccanica dei solidi

Insieme elastico cioè un solido. In generale è importante sottolineare che un solido è caratterizzato da uno stato della materia in cui le particelle non possono muoversi. I solidi possono essere sempre definiti come continui ma non sempre i continui sono solidi.

Ovviamente i solidi si distinguono in due grandi categorie: i solidi rigidi in cui la distanza tra le particelle non varia, e deformabili, in cui la distanza può variare in modo congruente, compatibile con la legge di Hooke o meno.

Ovviamente noi ci occupiamo dei deformabili puri.

In particolare molto importante approfondire i 3 aspetti, precedente. 1. Congruenza: la trasformazione da un solido deve avvenire in modo compatibile. 2. Non possono avvenire implosioni, esplosioni e l'unione di punti materiali. Tali ipotesi formano parte della "teoria di congruenza". 3. Compatibile con la legge di Hooke: la variazione delle distanze deve essere compatibile con la legge di Hooke. 4. Moderato è il limite di una fattispecie in cui la variazione delle distanze non supera il valore delle distanze stesse. Dobbiamo dare una limitazione al gradiente di spostamento.

Queste sono le conclusioni che rendono un continuo un solido.

Ricordiamo, come ipotesi, che nel continuo ad ogni punto geometrico dello spazio è associato un punto materiale.

Inoltre come ulteriore ipotesi vi è l'elettatica, cioè studiamo solidi elastici in un vale di conservazione dell'energia (Entropia ₀).

Un'altra ipotesi è l’omogeneità, un corpo è detto omogeneo se presenta in ogni suo punto le stesse proprietà e ma ovviamente interessano le proprietà meccaniche.

Infine l'ultimo ipotesi è l'isotopia, cioè in un punto le proprietà non variano al variare della direzione e agendo con forze in direzioni diverse otteniamo lo stesso risultato.

Il legno ad esempio è un moderato poco isotopo, l’ acciaio si.

Ritornando ai solidi, abbiamo detto che essi si dividono in solidi rigidi e deformabili. Ovviamente vogliamo studiare anche i corpi rigidi poiché lo studio è più semplice. Studiamo i corpi rigidi con le travi (corpi rigidi allungati geometric. della tot. hsolocena che ciò superficie piana lungo una traiettoria e le traiettorie (sostemi di travi). Il vantaggio delle travi è che si studiano usando le equazioni cosi dette della statica e cinematica dei corpi rigidi.

Tuttavia non possiamo studiarci solo corpi rigidi. Dobbiamo studiarci anche corpi deformabili che si dividono in due grandi famiglie: travi e continui

Stato Tensionale (equilibrio)

Fin qui abbiamo parlato di vettori. In questo caso dobbiamo però introdurre il concetto di funzione di vettori. Ma una funzione è costituita da infiniti vettori. Abbiamo bisogno quindi di un ente che definita una direzione mi assegni un vettore. Tale ente è una tensione. Il tensore può essere definito come un operatore che trasforma vettori in vettori. Quando puo ente definito come un operatore da R³ -> R³ E fin qui, un logico immagina che tagliare un corpo solido lungo una determinata direzione. Il foglio del solido individuato ovviamente una direzione (individuata dal vettore normale), voglio conoscere la tensione in tale direzione. Il vettore tensione della tensione si indica con t_n, il pedice "n" indica proprio la direzione.

Cambiando la direzione, cambia la tensione. Per capire meglio prendiamo un piano. Ad ogni piano, in un punto corrisponde una sola normale alla superficie (n). Il tensore è quello che permette di trasformare n nel vettore tensione. la tensione viene definita come la forza esercitata sulla superficie infinitesimale attorno al punto p.

Ovviamente la tensione puo essere di trazione o di pressione. Il grande matematico riguardo le tensioni fu Augustin Cauchy. Egli intuisce che tagliando un solido lungo un piano e considerando su un'area infinitesima, la risultante della forza è nulla. Lim S_r : -> _ΔA->0 Come seconda ipotesi, gli immaginò che di tendere a zero dell'area, non possono esistere coppie di forze (cioè forze parallele ad risultante nulla). Da tale ipotesi Cauchy definì come tensione t_mn = Lim ΔF_m /ΔA_n.

Tale vettore tensione t_mn noi la definiamo come direzione di "n" ma in reatà è una forza mai parallela ad "n" ma è scomposibile ad una componente normale. Analogamente si può definire la componente tangenziale.

Ovviamente la radice di tali componenti ci permette di calcolare il valore della tensione t_n = Lt_t ² + t_t ². Riguardo a t e z e importanti sapere che essi, rispetto ai materiali, non sono attivi allo stesso modo. Si ipotizzò infatti, cosa

l'asse della trave è contenuto in un piano

2) le forze sono contenute nel piano

3) il piano deve essere asse di simmetria per la sezione della trave.

Imponiamo che come per il caso si, affinché le parti della trave siano in

equilibrio, dobbiamo agire su di

esse con una forza pari alla risultante. Scegliamo ora due

compomenti (vicenti del foglio)

Rx: sforzo normale

Ry = nullo

Rz: sforzo di taglio

Nel caso del momento, l'asse y è quello di rotazione.

Detto questo, prendiamo un pezzo infinitesimo di trave e applichiamo le forze

di sollecitazione (prendiamo la parte finae del blocco destro).

Annullando

sollecitazione vediamo che a momento

sono positivi ⇔ provocano una fessura.

Detto questo, prendiamo un esempio e vediamo di calcolare la caratteristica

da sollecitazioni lungo il piano in cui togliamo

la trave. Ovviamente dobbiamo calcolare

la forze orizzontali e verticali = i momenti.

Individuando le forze, possiamo calcolare o

lo risultante delle forze a della parte destra

della trave, o della parte sinistra.

Iniziamo annullando le forze a sinistra.

N(x) = p

T(x) = F

N(x) = 0

T(x) =

Ovviamente, con N(x) si indicano le forze normali alla trave, i cui che torna

durante orizzontali. Con T(x) le forze tangenziali, con M(x) i momenti.

Individuamente quindi deduciamo le caratteristiche di sollecitazione assendo

di forma pari e ortogonale.

Della caratteristica di sollecitazione possiamo fare anche un grafico.

Riprendiamo lo stesso esempio fatto in precedenza e vediamo come

Equazioni indefinite di equilibrio (trave piana col suo rettilineo)

Pensiamo una trave ad asse rettilineo su cui immaginiamo che agiscono dai carichi e dai momenti. Per vedere che relazioni ci sono tra tali carichi, prendiamo un pezzo di trave, supponiamo ovviamente la porzione di trave non è più in equilibrio, per un breve intervallo di costruzione ci sollecitazione (per sfruttare l'equilibrio).

Sindiamo ora a scrivere le equazioni di equilibrio _ΣR: 0 ^{(-N + E) + p(dz) + dN = 0 → -p(dz)} _{t(E) - q(dz)dt = 0 → dt = - q(dz) t(E) - m(dz)dt + q(dz)dt² = (mt,dt,dN) t(R,dN) = 0}

Nelle primo equazione posso dividere per de e ottiamo un equazione differenziale dN/de - p(e) = N → P

Analogamente ² otteniamo dt - 9 = t = 9

Infine nella 3/dz dt² che più tracciamo poiché un comportamento di ordine superiore anche questa dopo la semplificazione diciamo

m(z)dt/de + tck/dl da - dt ² = I